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1、第四章 应力分析,主要内容,问题的提出 应力的基本概念 直角坐标系中一点的应力状态 平衡微分方程 平面应力状态和轴对称应力状态,4.1 问题的提出,一、实际应用中的问题 飞机蒙皮的成形： 破裂 起皱 能否一次成形，用什么样的模具。 变形量是否满足要求（厚度减薄量等）,二、理论分析基础,1.基本假设设 变形体是连续的，不存在微观结构，是宏观的，材料是均匀的。 变形体性能及变形行为在存在随机现象，性能是确定的,2.一点处欲求的未知量 方法：取单元体，代替一点处的状态。 位移：三个方向 应力：6个独立分量 应变：同上，6个独立分量,力的平衡平衡方程 3个 第四章 变形的协调几何方程 6个 第五章 材
2、料性质本构关系 6个 第七章 共15个方程。,4.2 应力的基本概念,1、外力：面力：集中、分布体力：重力、磁力、惯性力2、内力：质点之间的相互作用3.应力：单位面积上的内力，称为应力。,S：全应力 ：正应力，垂直于作用面 ：剪应力,镦粗时受力分析,P,P,0,C,C,Q,F0,C1,C1,S0,F1,N,Q,单向均匀拉伸时任意 截面上的应力,4.3 直角坐标系中一点的应力状态,一、应力分量,任意一点的应力状态可用九个分量来表示。 拉应力为正，压应力为负。在负面上，指向坐标轴负向的应力分量取正，反之取负。 由于单元体处于平衡之中，则绕单元体的合力矩必须为零。,= i，j=1，2，3,应力张量,
3、二、质点在任意方向上的应力和应力边界条件,任意面ABC 其法线的方向余弦为N（l，m，n） 设微分面ABC的面积为dF，则有 OBC=dFx=ldF OCA=dFy=mdF OAB=dFz=ndF,设：ABC上的全应力为S，其在三个坐标轴上的分量为,xy,xz,zy,yz,zx,yx,x,y,z,A,B,C,x,y,z,Sy,N,S,O,Sx,Sz,任意斜切微分面上的应力,由静力平衡得，,令,则,x,y,z,=,剪应力,外力,全应力,全应力 求和约定,正应力,在xyz中为,l，k=,为新坐标轴在原坐标系的方向余弦。 3个坐轴，共9个。,元素,求合约定,x,y,z,X,y ,z ,三、主应力和应
4、力不变量,主应力：=0的作用面上的正应力为主应力。 主平面,在任意面上,若=0，则为主应力平面，即主平面上S=,主平面上的应力,将,代入,得,l=m=n=0,其一组解为,不成立,条件：系数行列式的值=0,即,展开,令,例题1,物体中某一点的应力张量为,解：,试求主应力值及,10,10,10,-10,解方程组得,由主应力表示的 任意平面上的 正应力和剪应力,Sy,N,z,主平面上的应力,主应力图,四、主剪应力和最大剪应力,剪应力取极值的面上的剪应力称为主剪应力。,为应力主轴,将,代入上式,，,1,2,3,S,N,讨论,一组解为l=m=0，n=1，=0；,=,=,若,球应力状态，0,=,若,圆柱应
5、力状态,则由第一式得l=,一般情况,若,若l0，m0，则上式必有,=,主平面,与前提条件不符，故这时无解,若l=0，m0，,则联解得m=,则得此斜面的方向余弦为： l=0，m=n=,若l 0，m=0，,则联解得l =,则得此斜面的方向余弦为： m=0， l =n=,则得此斜面的方向余弦为： n=0， l =m=,将上述方向余弦分别代入,得,最大剪应力面上的主应力,最大剪应力,主剪应力,主切应力平面 上的正应力,五、应力球张量和应力偏张量,平均应力、应力球张量、静水应力,=,=,+,+,=,=,+,=,+,m,m,m,m,m,m,y,x,z,yx,xy,xz,zx,zy,yz,1,2,3,yz,
6、yx,xy,xz,zy,zx,a),b),应力张量,应力球张量,应力偏张量,应力张量的分解,任意坐标系,主轴坐标系,应力偏张量的三个不变量,根据应力偏张量可以判断变形的类型,应力状态分析,a) 简单拉伸,b) 拉拔,c) 挤压,=,+,-8,-8,-2,-3,-3,3,-6,-6,-6,-2,-2,4,4,4,-2,-2,-1,-1,-1,2,2,2,-2,6,=,+,=,+,-2,六、八面体应力和等效应力,微分八面体：,=,等效应力=应力强度=广义应力,为什么,单向拉伸,等应力反映应力偏张量部分，与塑性成形关系密切，单向拉伸时，,=,=0,加载过程,中性变载,卸载过程,理想塑性材料为加载过程
7、,七、应力莫尔圆,以应力主轴为坐标轴，作一斜微分面，其方向为l，m，n则有,通过求解上述三个方程得,变换形式得到,以和为轴，表示上述方程的图形， 便有三个圆。,O,2,1,3,P,P,L、m、n分别为定值的斜微分 面上的、 的变化规律,将l=0，m=0，n=0分别代入,得,O1,O2,O3,O1：l=0，m，n变化（，）轨迹 O2：m=0，l，n变化（，）轨迹 O3：n=0，m，l变化（，）轨迹,静力平衡状态下六面体上的应力,4.4 平衡微分方程,设一点Q（x，y，z） 取单元体：dx，dy，dz,静力平衡状态下六面体上的应力,Q点处的应力状态为,如：,在dx面上,条件是应力连续，一阶连续,不计体力，在y方向上有,静力平衡状态下六面体上的应力,同理：,简化记为,应力未知量有6个，三个方程无法求确定解。,4.5 平面应力状态和轴对称应力状态,一、平面应力状态,当,=,=,=0 ，i，j=x，y,=,根据应力莫尔圆得,由于,则有：,O,切应力顺时针为正，逆时针为负,AB=R=,=,OD+R=,OD-R=,R=,=,平面应力状态下的平衡方程为,二、轴对称应力状态,旋转体 无周向外力 子午面为平面，夹角不变,1、柱坐标表示,=,z,y,x,P（ ， ）,M（ ，Z ）,柱坐标平衡方程,+,+,-,同理,轴对称，由于面始终保持平面， 不变形，则,各应力分量与坐标无关,则平衡方程可写为：,
