《大学数学(高数微积分)第五章二次型第一节(课堂讲义)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学数学(高数微积分)第五章二次型第一节(课堂讲义)（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主要内容,问题的提出,第一节 二次型及其矩阵表示,二次型的定义及矩阵表示,线性替换,合同矩阵,在解析几何中, 为了便于研究二次曲线,把方程化为标准形,的几何性质, 我们可以选择适当的角度，作转轴,ax2 + 2bxy + cy2 = f (1),(反时针方向转轴),一、问题的提出,变量的二次齐次多项式的化简问题.,(1) 式的左边是一个二次多项式, 从代数学的,观点看, 化标准的过程就是通过变量的线性替换(2),化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.,这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常,会遇到.,现在我们把这类问题一般化, 讨论 n 个,二、二次型的定义及矩阵表示,f(x1 ,
2、 x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 +annxn2,+ 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an-1,nxn-1xn (3),称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次,1. 定义,定义1 设 P 是一数域，一个系数在数域 P 中,的 x1 , x2 , , xn 二次齐次多项式,型.,2. 二次型的矩阵表示,设有二次型,f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 +annxn2,+ 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an-1,nxn-1xn .,令,aij = aji , i j .,由于,xi xj
3、= xj xi ,所以二次型可以写成,f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a12x1x2 + + a1nx1xn,+ a21x2x1 + a22x22 + + a2nx2xn,+ an1xnx1 + an2xnx2 + + annxn2,把上式的系数排成一个 n n 矩阵,它就称为二次型的矩阵.,因为 aij = aji , i , j = 1, 2, n , 所以,A = AT .,我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型,的矩阵都是对称矩阵.,令,因为,所以二次型可表示成,f (x1 , x2 , , xn ) = XTAX .,这即为二次型的矩阵表示形式.,应该
4、看到，二次型的矩阵 A 的元素，当 i j,时 aij = aji 正是它的 xixj 项的系数的一半，而 aii 是,xi2 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一,决定的.,由此还能得到，若二次型,f (x1 , x2 , , xn ) = XTAX = XTBX,且 AT = A，BT = B，则 A = B .,例 1 已知二次型,写出二次型的矩阵 A.,解 设 f = XTAX , 则,例 2 已知二次型,写出二次型的矩阵 A.,解 设 f = XTAX , 则,三、线性替换,1. 定义,定义 2 设 x1 , x2 , , xn ； y1 , y2 , , yn 是,两组文字，系
5、数在数域 P 中的一组关系式,称为由 x1 , x2 , , xn 到 y1 , y2 , , yn 的一个线性,替换，或简称线性替换.,如果系数行列式,| cij | 0 ,那么称线性替换为非退化的.,例如，前面我们讲过的坐标旋转公式,是一个线性替换，且,所以它是非退化的.,2. 线性替换的矩阵形式,令,于是线性替换 (4) 可以写成,或者,X = CY .,3. 线性替换的性质,性质 线性替换把二次型还是变成二次型.,证明,设有二次型 f = XTAX，和线性替换,X = CY ，则,f = XTAX,= YTCTACY,= YT( CTAC )Y .,= ( CY )TA( CY ),又
6、因为 ( CTAC )T = CTAT(CT)T = CTAC ，,所以 f 还是,一个二次型.,证毕,四、合同矩阵,1. 概念的引入,我们知道，经过一个非退化的线性替换，二次,型还是变成二次型.,现在来讨论替换前后的二次型,的矩阵之间的关系.,设 f(x1 , x2 , , xn ) = XTAX，A = AT ，是一个,二次型，作非退化线性替换 X = CY .,得到一个关,于 y1 , y2 , , yn 的二次型 YTBY.,现在来看矩阵 B,与 A 的关系.,f(x1 , x2 , , xn ) = XTAX,= ( CY )TA( CY ),= YTCTACY,= YT( CTAC
7、 )Y,= YTBY .,又因为矩阵 CTAC 也是对称的(前面已证)，由此即,得,B = CTAC .,这就是前后两个二次型的矩阵的关系.,2. 定义,定义 3 数域 P 上的 n n 矩阵 A，B 称为,合同的，如果有数域 P 上可逆的 n n 矩阵 C，使,B = CTAC .,3. 性质,合同是矩阵之间的一个关系，合同关系有以下,性质：,1) 反身性 A = ETAE ；,2) 对称性 若 B = CTAC，则 A = ( C-1 )TBC-1 ;,3) 传递性 若 A1 = C1TAC1， A2 = C2TA1C2 ,则 A2 = ( C1C2 )TA ( C1C2 ) .,因此，经
8、过非退化的线性替换，新二次型的矩,阵与原二次型的矩阵是合同的.,这样，我们就把二,次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供,了有力的工具.,最后指出，在变换二次型时，我们总是要求所,作的线性替换是非退化的.,从几何上看，这一点是,自然的，因为坐标变换一定是非退化的.,一般地，,当线性替换,X = CY,是非退化时，由上面的关系即得,Y = C-1X .,这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.,这,样就使我们从所得二次型的性质可以推知原二次型,的一些性质.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 !
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