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1、1,第 讲,7,二次函数 （第一课时）,第二章 函数,2,3,4,一、二次函数的图象特征 1. a0时，开口 ， 0时与x轴的 为方程ax2+bx+c=0的两实根； 0时，抛物线与x轴 ， 恒成立.,向上,交点的横坐标,不相交,ax2+bx+c0,5,2. a0时，开口 ， 0时与x轴 为方程ax2+bx+c=0的两实根； 0时，抛物线与x轴 ， 恒成立.,向下,交点的横坐标,不相交,ax2+bx+c0,6,二、二次函数的解析式 1. 一般式：f(x)= (a0). 2. 顶点式：f(x)= (a0). 3. 零点式：f(x)= (a0，x1，x2为两实根).,ax2+bx+c,a(x-h)2
2、+k,a(x-x1)(x-x2),7,三、二次函数在闭区间上的最大值和最小值 设f(x)=a(x-k)2+h (a0)， 在区间m，n上的最值问题有： 1. 若km，n，则ymin=f(k)= ， ymax=maxf(m)，f(n).,h,8,2. 若km，n，则 当km时，ymin= ，ymax= ; 当kn时，ymin= ，ymax= . (当a0)时，可仿此讨论).,f(n),f(m),f(m),f(n),9,1.若二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,-1)，与y轴的交点坐标为(0,11)，则( ) A.a=1,b=-4,c=-11 B. a=3,b=12,c=11
3、 C. a=3,b=-6,c=11 D. a=3,b=-12,c=11,10,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,-1) f(x)=a(x-2)2-1， 又f(x)与y轴的交点坐标为(0,11), 所以f(0)=a(0-2)2-1=11， 解得a=3， 所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11. 故选D.,答案：D,11,2.设a为常数，f(x)=x2-4x+3,若函数f(x+a)为偶函数， 则a= ；ff(a)= .由函数f(x+a)为偶函数， 知f(x)关于直线x=a对称， 而f(x)=x2-4x+3的对称轴是直线x=2, 所以a=2， 从而ff(a)=
4、ff(2)=f(-1)=8.,2,8,12,3.已知函数f(x)= x2+4x(x0)4x-x2(xf(a),则实数a的取值范围是( ) A. (-,-1)(2,+) B. (-1,2) C. (-2,1) D. (-,-2)(1,+)由题知f(x)在R上是增函数， 故得2-a2a， 解得-2a1，即a2时， 函数 在-1,1上单调递增， 由 得,22,(3)当 即a-2时， 函数 在-1,1上单调递减， 由 得a=-2(舍去). 综上可得：a=-2或,23,点评：二次函数在闭区间的最值，一般与区间的端点及顶点值有关；而含参二次函数在闭区间上的最值问题，一般根据对称轴与闭区间的位置关系来分类讨
5、论，如：轴在区间左边，轴在区间上，轴在区间右边，最后再综合归纳得出结论.,24,25,26,27,28,29,题型三：三个二次的关系 3. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为(1，3). (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.,30,(1)因为f(x)+2x0的解集为(1，3)， 所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a0. 因此f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. 由方程f(x)+6a=0， 得ax2-(2+4a)x+9a=0. ,31
6、,因为方程有两个相等的实数根， 所以=-(2+4a)2-4a9a=0， 即5a2-4a-1=0， 解得a=1或 由于a0，舍去a=1. 将 代入， 得f(x)的解析式为,32,(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a及a0， 可得f(x)的最大值为 由 a0，可得 故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是,33,点评：二次函数是联系二次方程、二次不等式的枢纽，解题中常以二次方程为基础，以二次函数图象为工具，解决有关方程、不等式、函数等综合问题.,34,第 讲,7,二次函数 （第二课时）,第二章 函数,35,题型四：二次方程实根的分布 1.方程x2-2ax+4=0的两根均大于1，
7、 求实数a的取值范围.,36,设f(x)=x2-2ax+4，由于方程x2-2ax+4=0的两根均大于1，因此，据二次函数图象应满足:0f(1)0， 解得 故实数a的取值范围是,37,点评：一元二次方程根的分布中的参数的取值范围问题，一般先构造对应的二次函数，借助二次函数的图象，对三要素(即判别式、二次函数的对称轴、根分布区间的端点值)的符号进行分析判断，得到相应的不等式组，通过解不等式组便可求得参数的取值(范围).,38,若关于x的方程2ax2-x-1=0在区间(0，1)内恰有一解，则实数a的取值范围是( ) A. (0，1) B. (-1，1) C. (1，+) D. (-，-1),39,设
8、f(x)=2ax2-x-1， 则f(0)=-1. 因为方程f(x)=0在区间(0，1)内恰有一解， 所以f(1)0， 即2a-20， 所以a1， 故选C.,答案：C,40,题型五：二次函数中的证明问题 2. 已知aR, f(x)=ax2+x-a,-1x1. (1)若f(x)的最大值为 求实数a的值; (2)若|a|1,求证:,41,(1)当a=0时， f(x)=x, 则f(x)max=xmax=1 当a0时， 二次函数f(x)在闭区间-1,1上的最大值只能在端点或顶点处取得.,42,因为f(-1)=-1, f(1)=1， 所以f(x)的最大值为 只能在顶点取得, 故 a0-1-12a1解得a=
9、-2.,43,(2)证明：|f(x)|=|a(x2-1)+x| |a|x2-1|+|x| |x2-1|+|x| =-|x|2+|x|+1,44,点评：解决与二次函数有关的代数证明，可以从两个方面入手：一是三个二次的关系式的相互联系及相互转化，利用函数思想解决有关不等关系或相等关系；二是利用二次函数的图象特征，结合数形结合思想实现数与形的转化.,45,设函数f(x)=x2+2bx+c(cb1)，f(1)=0，且方程f(x)+1=0有实根. (1)证明：-3c-1且b0； (2)若m是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(m-4)的正负并加以证明.,46,(1)证明：f(1)=01+2b+c=0又cb1，故 得 因为方程f(x)+1=0有实根， 即x2+2bx+c+1=0有实根，,47,故=4b2-4(c+1)0， 即(c+1)2-4(c+1)0， 解得c3或c-1. 所以-3c-1. 由 知b0.,48,(2)因为f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1)，f(m)=-10. 所以cm1， 所以c-4m-4-3c. 所以f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)0. 所以f(m-4)的符号为正.,49,二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，灵活性强，解题时要注意三者的互相转化，重视用函数思想处理方程、不等式问题.,
