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1、离散数学,南京邮电大学计算机学院计算机科学与技术系罗 卫兰,概 述,关于这门课程，有几点要提醒大家注意的： 本身比较抽象，概念多，比较枯燥，内容一环扣一环，难学好。 要学好也不难。建议各位上课认真听讲，踏踏实实地学好每一个基本概念，基本内容，这样课后就不用花太多的时间复习。 作业建议独立完成，不会解答的可以讨论，可以向别人请教，直到弄懂为止。千万不要抄作业！,说 明,总学时：64学时（48+16） 答疑时间：每周 答疑地点：教师休息室 总评成绩：平时成绩占30%，期末成绩占70%。（每周收作业） 联系方式：,主要参考书：（1）上海科技文献出版社 离散数学 理论.分析.题解左孝凌等编著 （2）清
2、华大学出版社 离散数学学练考全面冲刺 王海艳编著 （3）清华大学出版社 离散数学习题与解析胡新启等编著 （4）高等教育出版社 离散数学结构第四版影印版DISCRETE MATHEMATICAL STRUCTURESBERNARD KOLMAN等著,说 明,离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中的基础课程，它具有两个特点：,(1)以离散量为研究对象，以讨论离散量的结构和相互之间的关系为主要目标，这些对象一般是有限个或可数个元素，充分描述了计算机科学离散性的特点，与我们以前学过的连续数学如高等数学、数学分析、函数论形成了鲜明对比。,(2)它是数学中的一个分支，因而它有数学的味道，比如用一
3、些符号、引进一些 定义、运用定理推导等等。因而学习离散数学，对提高我们的抽象能力，归纳能力、逻辑推理能力将有很大帮助。,课程简介,应用,Image segmentation,第一章 命题逻辑 1-1 命题及其表示法所谓命题是指能够判别真假的陈述句。一个命题，总是具有一个确定的“值”，称之为“真值”。一种是True,记为T，另一种是False,记为F。只有能够判别真假的陈述句才是命题。,例（1）：我是老师。 这是一个命题 ，其真值为T。,第一篇 数理逻辑,第一篇数理逻辑逻辑学是研究思维形式和规律的科学。它包括辨证逻辑和形式逻辑。而数理逻辑是：用数学方法来研究形式逻辑的推理规则。这里所指的数学方法
4、，就是指引进一套符号体系，所以又称为符号逻辑。下面介绍数理逻辑的最基本的内容：命题逻辑和谓词逻辑。,（4）：本句是假的。,若它是命题，若其值为T，则本句是假的；若说它是假(F)，则本句是真的。这是悖论，不能算是命题。（不能确定真假）,（2）：你住哪儿？（疑问句） （3）：这真是太好了！（感叹句）,（5）：我正在说谎。,若它是命题，则应有确定的真值。若为T，则我确定说谎，我讲的是真话，与说谎矛盾。若为F，则我不在说谎，我说的是真话，原命题成立，则“我 确实是在说谎” ，与“不在说谎”矛盾。 所以它不是命题，不能确定真假，是悖论。,1-1 命题及其表示法,（6）：X=3 不是命题 不能判断真假。,
5、命题有两种类型。一是原子命题（不能分解为更简单的陈述句）二是复合命题 （由原子命题，联结词，标点符号复合构成的命题）如：我学英语，或者我学日语。 由两个原子命题，联结词“或者”，标点符号“，”构成。又如：王英和王兰是姐妹。 它是原子命题。关于联结词我们下一节将做详细介绍。,1-1 命题及其表示法,在数理逻辑中，用大写英文字母P，Q，R, 表示命题，或带下标的大写字母如Pi ,P j, 或数字如12等表示命题，这些表示命题的符号称为命题标识符。,如果一个命题标识符表示确定的命题，称之为命题常量；如果一个命题标识符表示任意的命题，称之为命题变元；,命题变元不能确定真值，不是命题，就如函数中自变量不
6、代表特定值一样，只是变量。但当命题变元用一个特定命题取代时，就能确定真值，如P用一特定命题取代，称对P进行指派。另外，当命题变元表示原子命题时，称为原子变元。,1-1 命题及其表示法,1-2 联结词,五个基本联结词 否定 合取 析取 条件 双条件,（1）否定 若P是一命题，则P的否定是一个新的命题， 记作 P，读作“非P”，其取值情况如下： P P T F F T 如 P：上海是一个大城市。P：上海不是一个大城市。或：上海是个不大的城市。 P取值为T，而 P取值为F。,1-2 联结词,又如 Q：南京是一个小城市。Q：南京不是个小城市。 Q值为F， Q取值为T “ ”是一元运算，相当于数学中的“
7、求相反数”运算。,（2）合取（与）P，Q是命题，P，Q的合取是一个复合命题，记做P Q，读作“P与Q”，或“P且Q”。P Q当且仅当P与Q的值都真时，其值为T，否则为F。,1-2 联结词,合取的定义如下表：,P Q P Q T T T T F F F T F F F F,注意：这里的“与”运算与日常生活中的“与”意义不尽相同。,注：列表时P，Q均是先取T后取F 如P：今天下雨；Q：明天下雨 P Q：今天下雨且明天下雨。,又如，P：我们去看电影；Q：房间里有张桌子。P Q：我们去看电影和房间里有张桌子。 上述命题P Q在日常生活中无意义，无联系，但在数理逻辑中， P Q是一新的命题。“ ”是二元
8、运算。,1-2 联结词,（3）析取（或）P，Q是命题，P与Q的析取是复合命题，记做P Q，读作“P或Q”。P Q：只要P，Q之一T，则P Q值为T，否则为F。,P Q P Q T T T T F T F T T F F F,从取值可以看出，这里的或是指“可兼或”，即P，Q均可都为T，也可一个为T，另一为F。,1-2 联结词,1-2 联结词,排斥或、不可兼或，不能用PQ表示，具体表示法以后再学。同学可以自己先思考。 又如3：他昨天做了二十或三十道习题。或：大概 不是复合命题。 (4)条件P 、Q 是命题，P 和Q的条件是一个复合命题，记作PQ,读作“若P 则Q”或“如果P，那么Q”,P前件，Q-
9、后件。 PQ仅当P为T,Q为F时，其值为F，其余情况皆为T。,1-2 联结词,1-2 联结词,如：P:我借到这本小说。Q:我今夜读完这本小说。 PQ:如果我借到这本小说，那么今夜我就读完它。,(5)双条件P、Q是命题，其双条件命题是一复合命题，记作P Q,读作“P当且仅当Q”, 仅当P、 Q真假值相同时，P Q为T,否则为F。P Q P Q (P、Q同为F时，P Q值为T）T T T 如：P:两个三角形全等。T F F Q :两个三角形对应边相等。F T F F F T P Q:两个三角形全等当且仅当它们对 应边相等。,1-2 联结词,1-2 联结词,1：3 3：1 3：1 2：2,前面我们介
10、绍了命题的概念，它是可以判别真假的陈述句。学习了其表示方法，介绍了五种基本联结词：否定、合取、析取、条件、双条件。我们将日常生活中的命题用原子命题以及这些联结词表达，将之符号化为公式。但是许多日常生活中的命题是不能用这五个联结词单独写出，而且不是所有一些命题变元、联结词组成的符号串都有意义的公式。而数理逻辑首先就要引进一些符号体系，将实际生活中的命题符号化，给出其命题公式，也就是翻译。,1-3 命题公式与翻译,例如：判别下列式子是否是公式？(P Q) (P Q (P (P Q) (P Q) (P Q) R) (P Q) (PQ R) (P Q) R),其中（1）为基础，（2），（3）为归纳，（
11、4）为界限，这是一个递归的定义。,是 否是否 否否否否,1-3 命题公式与翻译,(1)单个命题变元是合式公式(2)若P是一公式，则 P也是公式；(3) 若P,Q是公式，则(P Q),(P Q),(P Q),(P Q)也是公式：(4) 只有有限次地应用（1）、（2）、（3）所得的结果才是公式。,定义：命题公式（合式公式），按规律构成：,1-3 命题公式与翻译,（2）命题公式实际上是一函数，值域为T,F),每一个命题变元取值也是T,F,因而它没有真 假值，只有当公式中命题变元用确定的命题代入后，才到一个命题，才能判断其真假。,如(P Q) R) (P Q) 可改写为：P Q R P Q,首先找出原
12、子命题，有两个：他聪明，用P表示；他用功，用Q表示。P：他聪明。 Q：他用功。联结词“既又”和联结词“与”意思一致。所以原命题所对应的命题公式为：P Q,例1：他既聪明又用功。,1-3 命题公式与翻译,有了命题公式的定义后，我们如何将日常生活中的命题用具体的公式表示呢？也就是说，如何将之翻译成公式呢？举例说明：,1-3 命题公式与翻译,例2：他虽聪明但不用功。这里原子命题也是P.Q. 联结词“虽但”也是“与”，所以公式应为： P Q。,找出所有原子命题，并符号表示出来。 找出原子命题之间关系对应的联结词。,因而翻译一个命题，关键有两个：,例3：如果明天上午七点不下雨，则我去学校。P：明天上午七
13、点下雨；Q：我去学校。“如果则”与“若，则”一致，所以公式为：P Q。 例4：除非你努力，否则你将失败。,1-3 命题公式与翻译,例3：如果明天上午七点不下雨，则我去学校。P：明天上午七点下雨；Q：我去学校。“如果则”与“若，则”一致，所以公式为：P Q。 例4：除非你努力，否则你将失败。P：你努力；Q：你将失败。“除非否则”相当于“如果不那么”，所以译为： P Q Q P,1-3 命题公式与翻译,例5：说数理逻辑枯燥无味或毫无价值，那是不对的。P：说数理逻辑是枯燥无味的；Q：说数理逻辑是毫无价值的。这里“或”是“可兼或”，与“ ”意义一致，所以译为：（P Q）。例6：上海到北京的14次列车是下午五点半或六点开。P：上海到北京的14次列车是下午五点半开；Q：上海到北京的14次列车是下午六点开；这里的“或”是“不可兼或”，因而用“P Q”是错误的。,1-3 命题公式与翻译,我们对P、Q取不同值看原命题的真值情况：P Q 原命题 P Q （P Q） 利用联结词组合起来 T T F T F P、Q真值相同时为F，否则为TT F T F T 原命题与 (P Q)真值相同F T T F T F F F T F,
