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1、第二章 信号的傅里叶变换与分析,主要内容 1、序列的傅里叶变换 2、周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换 3、有限长序列离散傅里叶变换 4、频率采样定理 5、快速傅里叶变换 6、傅里叶分析的应用,第一节 离散时间序列傅里叶变换,一、离散时间序列傅里叶变换（DTFT） 的定义 (Discrete Time Fourier Transform ) 离散序列的傅里叶变换定义为：（2.1-1） 用 表示，其中 为数字频率。为离散时间系统的频率响应特性。DTFT成立的充分条件为满足绝对可和：（2.1-2）注意：若在频域引入冲激函数，则非绝对可和序 列的DTFT也可能存在。,序列的傅里叶反变换：（2.1-
2、3） 是将 分解成所有在区间 具有频率的复指数的线形组合。由逆Z变换概念可知：为包围 的所有极点的闭合积分曲线。,基本序列的傅里叶变换,计算序列的傅里叶变换可用下面两种方式 ：（I） 如果已知 ，求可将 直接代入 ，但条件是 收敛域包含单位圆。（II）利用公式直接计算参见例题2.1.2,例题2.1.3,例题2.1.4。,傅里叶变换的计算,1. 线性性（2.1-4）式中 为常数2. 时移与频移性（2.1-5）（2.1-6）,二、DTFT 的性质,例2.1.6 求系统 的频率响 应特性 。如果输入 ,求系统的输出频率响应。解：对系统差分方程两边同时作DTFT有：于是系统的频率响应特性为：系统的输出
3、频率响应为,3. 时间翻转性（2.1-7）即按时间翻转的结果是DTFT按频率翻转。 4. 时域卷积定理若 则 （2.1-8） 5. 频域卷积定理若 则 （2.1-9）（2.1-10）,6. 帕斯维尔（Parseval）定理由于当 时，变为（2.1-11）,即: 信号时域的总能量等于频域的总能量，经过DTFT 后，能量保持不变。要说明的是，这里频域总能量是 指 在一个周期中的积分再乘以 。,7.频域微分特性若则8. 周期性序列的傅里叶变换是关于频率 的周期函数，周期 为 ，即 （2.1-12）,9.对称性（1）共轭对称与共轭反对称概念定义满足 （2.1-13）为共轭对称序列。将用其实部与虚部表示
4、：（2.1-14）可得： （2.1-15）将式（2.1-14）与（2.1-15）相比较，并由式（2.1-13）可得：（2.1-16）（2.1-17）即共轭对称序列的实部为偶函数，虚部为奇函数。定义满足： （2.1-18）的序列为共轭反对称序列。同理，可推得共轭反对称序列的实部为奇函数，虚部为偶函数。,一般序列均可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示，即（2.1-19）其中， （2.1-20）（2.1-21）一个具有共轭对称的实序列 称为偶序列；一个具有共轭反对称的实序列 称为奇序列。 傅里叶变换 同样能分解成共轭对称与共轭反对称序列之和。式中 （2.1-22） 是共轭对称的。 （2.1-23
5、）而 （2.1-24）满足共轭反对称特性。,（2）DTFT的对称性任一序列分成实部与虚部两部分，实部对应的DTFT具有共轭对称性，虚部和 一起对应的DTFT具有共轭反对称性。即（2.1-27）（2.1-28）将任一序列可分成共轭对称与共轭反对称两部分，共轭对称部分对应着DTFT的实部，而共轭反对称部分对应着DTFT的虚部。即（2.1-31）（2.1-32）,对一个实序列，其DTFT的实部是偶函数，虚部是奇函数。其傅里叶变换的幅度 是 的偶函数，而相位 则是 奇函数。,例2.1.7 设如图2.1.2所示的序列 的DTFT用 表示，不直接求出 ，完成下列运算：（1） ； （2） ； （3） ； （
6、4） ；（5） ；,图2.1.2 例2.1.7图,解： (1)(2) 由 可得(3) (4) 由帕斯维尔（Parseval）定理可得：(5) 因为 所以,例2.1.8 试分析 的对称性。,周期序列本身并不满足绝对可和条件 引入频域冲激函数 及信号的正交傅里叶展开这一工具后，可以将周期离散序列的傅里叶分析也同样纳入到DTFT的框架下进行讨论,第二节 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式,一、离散傅里叶级数,（2.2-4）称 为 的离散傅里叶级数，用DFS（Discrete Fourier Series）表示。（2.2-5）式（2.2-4）与式（2.2-5）成为一对DFS。式（2.2-5）
7、表明将周期序列分解为N次谐波，第k个谐波的频率为 幅度为 。基波分量的频率是 ，幅度是 。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,周期序列 可看为是对 的一个周期 作Z变换，然后将其Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角频率抽样再延拓而得到的。例：令 则 的Z变换 将 代入，可得：（2.2-6）,例2.2.1 解： 由式（2.2-4）可得：其幅频特性如图2.2.1(b)所示：,图2.2.1 例题2.2.1图,对于连续函数 ,其傅里叶变换：（2.2-7）是在 处的单位冲激函数。对于离散序列， 为有理数，且 为周期函数。由例2.1.2的结论有 （2.2-8）,二、傅里叶变换（DTFT）表示式,
8、图2.2.2 的DTFT,对于一般周期序列，按式（2.2-4）展开成DFS，第k次谐波为 ，类似对于复指数序列的DTFT，其DTFT为 ，因此 的DTFT如下式：（2.2-9）当 时， 当 时，,（令 ） （其中 ）以此类推，可得：（2.2-10） 式中式（2.2-10）即为周期性序列的傅里叶变换表示式。其中 表示单位冲激函数，注意与 表示的单位脉冲序列的区别。,例2.2.3 求例2.2.1中周期序列的DTFT。 解: 将例2.2.1中得到的 代入式（2.2-10）中，得到：其幅频特性如图2.2.3所示：,图2.2.3 例2.2.3图,对于同一周期信号，其DTFT与DFS取模后的形状是一样，不
9、同在于DTFT用带箭头的单位冲激函数表示，而DFS则是用竖线表示。即周期序列的频谱分布用其DFS或DTFT均可表示。DFS系数序列 可以看作是有限长序列DTFT的等间隔采样,对模拟信号的一对傅里叶变换式为 ：（2.2-13）（2.2-14） 将模拟信号进行抽样后得到采样信号，它们之间的关 可表述为：（2.2-15）两边进行傅里叶变换,三、离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶 变换的关系,即 （2.2-16）那么由对模拟信号采样产生的时域离散信号 傅里叶变换 与 之间有什么关系呢？数字频率 与模拟频率 之间有什么关系呢？ 先将 代入式（2.2-14）中，得到：（2.2-19） 将其表示成无限多
10、个积分和，每个积分区间为 ，即为：（2.2-20）,序列的数字频率 与模拟信号的频率 成线形关系，即(2.2-11)式中T为采样周期，且 ，并将式（2.2-11）代入式（2.2-20）中，得到：（2.2-22）现在比较式（2.2-18）与式（2.2-22），得到：（2.2-23）即表示序列的傅里叶变换 与模拟信号 的傅里叶变换 之间的关系式。,序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号、模拟信号各自的DTFT之间的关系一样，都是 以周期 进行周期延拓，频率轴上取值的对应关系用式（2.2-21）表示。,图2.2.6 模拟频率与数字频率的定标,其中 ， ， 为归一化频率，由于 、
11、 和 都是无量纲量的，因此刻度是一样的。它们之间的转换关系满足： 及 。以 为例：由于 ，则 ，即模拟频率 对应数字频率 。根据采样定理，即模拟最高频率 不能超过 ；若不满足采样定理，则在 ，或附近引起混叠。,第三节 有限长序列离散傅里叶变换,一、DFT的定义 设 为长度M为的有限长序列，则定义 的N点离散傅 叶变换DFT为：， （2.3-1）的离散傅里叶反变换IDFT为：， （2.3-2）其中， ，N为DFT变换区间长度，一般 。将式 （2.3-1）与式（2.3-2）称为离散傅里叶变换对。,离散傅里叶变换的唯一性 由于因此 由此可得，离散傅里叶变换是唯一的。,例2.3.2 已知 ，求其10点DFT反变换。解： 由题意得 且 ， 因为 ， 因此 可见， 的离散 傅里叶变换与变换 区间长度的取值有关。,二、DFT与Z变换、DTFT的关系,
