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1、1 第第 1 1 章章 常用逻辑用语常用逻辑用语 1 怎样解逻辑用语问题 1利用集合理清关系 充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点要解决这个难点， 将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法本节使 用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好集合模型 解释如下： (1)A是B的充分条件，即AB. (2)A是B的必要条件，即BA. (3)A是B的充要条件，即AB. (4)A是B的既不充分又不必要条件， 即AB或A，B既有公共元素也有非公共元素 或 例 1 设集合S0，a，TxZ Z|x20)，若q是綈p的充分不必要条
2、件，求r的取值范 围 分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件” 设p，q对应 的集合分别为A，B，则可由A?R RB出发解题 解 设p，q对应的集合分别为A，B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面 区域，点集R RB表示到原点距离大于r的点的集合，也即是圆x2y2r2外的点的集合 A?R RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r， 直线 3x4y120 上的点到原点的最近距离大于等于r，原点O到直线 3x4y120 的距离 d，r的取值范围为. |12| 3242 12 5 (0， 12 5 点评 若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2y2r2
3、(r0)在p：Error!所对 应的区域的外部，也是可以解决的但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转 化为“p是綈q的充分不必要条件” ，更好地体现了相应的数学思想方法 3 2 辨析命题的否定与否命题 否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清 它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别 1否命题与命题的否定的概念 设命题“若A则B”为原命题，那么“若綈A则綈B”为原命题的否命题， “若A则綈B” 为原命题的否定所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的 新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论 “命题的
4、否定”是对原命题结论 的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反 例 1 写出下列命题的否命题及否定： (1)若|x|y|0，则x，y全为 0； (2)函数yxb的值随x的增加而增加 分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A则B”的形式，然 后再写出相应的命题 解 (1)原命题的条件为“|x|y|0” ，结论为“x，y全为 0” 写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|y|0，则 x，y不全为 0” 写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|y|0，则x，y不全为 0” (2)原命题可以改写为“若x增加，则函数
5、yxb的值也随之增加” 否命题为“若x不增加，则函数yxb的值也不增加” ； 命题的否定为“若x增加，则函数yxb的值不增加” 点评 如果所给命题是“若A则B”的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义，直 接写出相应的命题如果不是“若A则B”的形式，则需要先将其改写成“若A则B”的形 式，便于写出命题的否定形式及其否命题 2否命题与命题的否定的真假 从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可 能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假但是原命题与其否 定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真这也可以作 为检验写出
6、的命题是否正确的标准 例 2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假： (1)若x20 且n0，则mn0. 分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定根据不等式及方程的性质逐个判断其真 假 解 (1)否命题：“若x24，则x2 或x2” 命题的否定：“若x20 且n0，则mn0” 由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假 3 判断条件四策略 1应用定义 如果pq，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件判断时的关键是分清条 件与结论 例 1 设集合Mx|x2，Px|x0)，若p是q的充分不必要条件， 则m的取值范围是_ 解析 设p，q
7、分别对应集合P，Q， 则Px|2x10，Qx|1mx1m， 由题意知，pq，但qp，故P?Q， 所以Error!或Error!解得m9. 即m的取值范围是9，) 答案 9，) 4等价转化 由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由pq较困难时，可利用等价转化，先判 断由綈q綈p，从而得到pq. 例 4 已知p：xy2，q：x，y不都是 1，则p是q的_条件(填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”) 解析 因为p：xy2，q：x1 或y1， 所以綈p：xy2，綈q：x1 且y1. 因为綈p綈q，但綈q綈p， 所以綈q是綈p的充分不必要条件， 即p是q的充分不必要条件
8、答案 充分不必要 4 例析逻辑用语中的常见误区 误区 1 所有不等式、集合运算式都不是命题 例 1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假 (1)x20； (2)x220； (3)ABAB； (4)A(AB) 错解 (1)(2)(3)(4)都不是命题 剖析 (1)中含有未知数x，且x不确定，所以x2 的值也不确定，故无法判断x20 是 否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题 (2)x虽为未知数，但x20，所以x222，故可判断x220 成立，故(2)为真命题 (3)若AB，则ABABAB； 若A?B，则ABA?(AB)B. 6 由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题
9、 (4)A为AB的子集，故A(AB)成立，故(4)为真命题 正解 (2)(4)是命题，且都为真命题 误区 2 原命题为真，其否命题必为假 例 2 判断下列命题的否命题的真假： (1)若a0，则ab0；(2)若a2b2，则ab. 错解 (1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题； (2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题 剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判 断，应先写出原命题的否命题，再判断 正解 (1)否命题为：若a0，则ab0，是假命题； (2)否命题为：若a2b2，则ab，是假命题 误区 3 搞不清谁是谁的条件 例 3 使不等式x30 成立
10、的一个充分不必要条件是_ x3；x4；x2；x1,2,3 错解 由不等式x30 成立，得x3， 显然x3x2，又x2x3，因此填. 剖析 若p的一个充分不必要条件是q，则qp，pDq.本题要求使不等式x30 成立的 一个充分不必要条件，又x4x30，而x30Dx4，所以使不等式x30 成立的一 个充分不必要条件为x4. 正解 误区 4 考虑问题不周 例 4 如果a，b，cR R，那么“b24ac”是“方程ax2bxc0 有两个不等实根”的 _条件(填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”) 错解 判别式b24ac0，即方程ax2bxc0 有两个不等实根；若方程 ax2b
11、xc0 有两个不等实根，则判别式b24ac0，即b24ac.综上可知 “b24ac”是“方程ax2bxc0 有两个不等实根”的充要条件，故填充要 剖析 判别式b24ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断对于方程 ax2bxc0，当a0 时，原方程为一次方程bxc0(b0)，一次方程不存在判别式， 所以当b24ac时不能推出方程ax2bxc0 有两个不等实根；若方程ax2bxc0 有 两个不等实根，则它的判别式b24ac0，即b24ac.由上可知， “b24ac”是“方程 ax2bxc0 有两个不等实根”的必要不充分条件 正解 必要不充分 误区 5 用“且” “或”联结命题时只联结条件或
12、结论 7 例 5 (1)已知p：方程(x11)(x2)0 的根是x11；q：方程(x11)(x2)0 的根 是x2，试写出“pq” (2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出 “pq” 错解 (1)pq：方程(x11)(x2)0 的根是x11 或x2. (2)pq：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形 剖析 (1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“pq” ， “pq”也都应是假命题而上述解 答中写出的两命题却都是真命题错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结 了两个命题的条件 正解 (1)pq：方程(x11)(x2)0 的根是x11 或方程(
13、x11)(x2)0 的根是 x2. (2)pq：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形 误区 6 不能正确否定结论 例 6 p：方程x25x60 有两个相等的实数根，试写出“綈p” 错解 綈p：方程x25x60 有两个不相等的实数根 剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根” ，所以“綈p”应否定“有” ，而不能否定 “相等” 正解 綈p：方程x25x60 没有两个相等的实数根 误区 7 对含有一个量词的命题否定不完全 例 7 已知命题p：存在一个实数x，使得x2x20，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围 分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题
14、 解 设Ax|x24ax3a20， x|2x3x|x2 x|x1a4， 即q真a4. 由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假若p真q假，则无解； 若p假q真，则 1a4. 故满足题意的实数a的取值范围是(1,4) 答案 (1,4) 点评 若命题“p或q” “p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至 求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q” “p且q”的真假情况确定参数的 取值范围 3反例意识 在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命 题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法 例 4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是_ AB对任意xA，都有xB； ABAB； ABBA； AB存在xA，使得xB. 分析 画出表示AB的 Venn 图进行判断 解析 画出 Venn 图，如图 1 所示，则AB存在xA，使得xB，故是假命题， 是真命题 ABBA不成立的反例如图 2 所示同理可得BAAB不成立故是假命题 综上知，真命题的序号是. 答案
