02祖冲之和π值的计算

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1、凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展祖冲之和值的计算祖冲之 (429500)，中国南北朝时期著名的数学家和天文学家他在数学上的主要贡献是：1 推算出圆周率 在不足近似值 3.1415926 和过剩近似值 3.1415927 之间，精确到小数点后 7 位2和祖暅一起解决了球体积的计算问题，得到球体积公式，并提出了“幂势既同，则积不容异”的原理祖冲之，字文远，他是我国南北朝时期的一位杰出的科学家祖冲之的祖籍在河北，但晋朝末年以来，北方连年混战，民不聊生，中原地区的大量人口移到了南方，这就促进了长江流域的农业生产和社会经济各方面的迅速发展祖冲之的祖父就是这些移民中的一员 祖冲之出生在南方，他的几代祖先

2、都在南方做官，他的家庭具有浓厚的研究科学的传统，祖家历代对天文历法都很有研究据说他的祖父掌管土木建筑， 也懂得一些科学知识 在家庭的影响下， 祖冲之从小就对天文学和数学发生了浓厚的兴趣青年时祖冲之进入了政府的学术机构华林学省，专门从事学术活动， 后来他又担任过大大小小的各种官职但是做官并没有使他放弃对科学的研究，他一生中对科学的研究孜孜不倦，并取得了杰出的成就 他的主要成就在数学、 天文历法和机械制造三个领域在数学上，祖冲之研究过九章算术和刘徽为之所做的注解，同时给九章算术和刘徽的重差作过注解他还写过一部著作缀术这部书被收入著名的算经十书中，作为唐代国子监算学课本令人遗憾的是这些重要的文献都已

3、失传， 这是我国科学史上的一个重大损失所幸的是在隋书律历志中留下了一小段祖冲之的关于圆周率工作的记载，他算出的值在 3.1415926和 3.1415927 之间，准确到小数后 7 位，成为当时世界上最先进的成就唐代的李淳风在九章算术 的注文中记载了祖冲之和儿子祖暅求球体积的方法，才使得这一成果能够流传下来在天文历法方面，祖冲之创制了大明历，这是以制成的年代命名的这部历法有许多革新突破点，例如最早将岁差引进历法；采用3391 年加 144 个闰月的新闰周；首次精密测出交点月日数（27.21223）和回归年日数（ 365.2428）凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展等数据，并且发明了用圭表测量冬

4、至前后若干天的正午太阳影长以定冬至时刻的方法，可以说大明历开辟了历法史的新纪元然而这样一部优良的历法上书皇帝要求颁布实行时，遭到宋孝武帝的宠臣戴法兴的百般刁难，于是在朝廷上发生了激烈的争论 戴法兴认为祖冲之引进岁差、改革闰周等都违背了儒家经典戴法兴指责祖冲之是“诬天背经”，大力宣扬日月运行的规律 “非凡夫所测” 的不可知论观点 祖冲之针锋相对地写了一篇辩驳的奏章他表示“愿闻显据，以核理实”“浮辞虚贬，窃非所惧”，并且引用历史文献和天象观测的大量事实，逐条批驳了戴法兴的论点， 明确指出“天体运行的规律，不是什么神圣的，不可捉摸的东西，是有形体可供观察考验，有数据可以推算的”，科学在不断进步，人们

5、不能“信古而疑今”这场辩论充分体现了一位科学家不畏强权，敢于坚持真理，勇于革旧创新的可贵品质但是，在祖冲之的有生之年，这部优秀的历法未能颁布实行祖冲之在机械制造方面曾经设计制造过利用水力加工粮食的水碓磨，铜制机件传动的指南车，一天能走百里的“千里船”以及一些陆上运输工具他还设计制造过漏壶（古代的计时器）和巧妙的款器等此外，祖冲之还精通音律， 是一位下棋能手， 甚至写过小说， 他的著述很多，可惜大部分都已失传他是我国历史上少有的一位博学多才的人物为了纪念和表彰祖冲之在科学上的卓越贡献，莫斯科大学里排列着世界上最著名的科学家的雕像，祖冲之是其中之一1961年，苏联发射宇宙火箭成功后，决定用世界上最

6、著名的科学家的名字来作为月球上山谷的名字，于是月背面就有了以祖冲之命名的环形山我国紫金山天文台于1977 年把该台在 1964 年 11 月9 日发现的 1888号小行星命名为祖冲之 , 从此，祖冲之这个名字将与日月并存！在人类的生活中，最常见的图形之一是圆形的东西例如：火红的太阳、皎洁的月亮，清晨的露珠，旋转的年轮等等逐渐地，人类在对这一类物体的观察与研究中抽象出了一个几何概念：圆圆是人类最早认识的几何图形之一，这个被人们视为最简单而美丽的图形中包含着一个神秘的数：圆周率 ，这是一个与直径的大小无关的常数凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展在人类的生产实践中常常遇到需要计算圆的面积和周长的问题

7、，这就引发了人们对于 值的探讨在远古时代， 所取的 值是非常粗糙的 例如我国最早的一部古书周髀算经中说：“周三径一”，即 3这个值在古巴比伦和埃及人那里也曾被应用 计算 的第一次科学尝试归功于古希腊的大数学家阿基米德从他以后， 对求得 的更精确的值成了古代数学的一个经久不衰的课题，许多人为此付出了大量的心血和汗水现在，人们对 值的重视似乎已不在值本身，而把每一次更精确的 值的得出看作人类对于自身毅力的检验，值成了各民族坚韧不拔的毅力的象征 总的来说， 在漫长的 值计算史中， 人们所用的方法有两种：古老的几何方法和17 世纪以后风靡一时的分析方法下面，我们就沿着时间的走廊来浏览一下值简捷的年表公

8、元前 240 年，阿基米德在他的论文 圆的量度 中记载了这样一个方法：从圆内接和外切正六边形开始， 每次把边数加倍， 用这样一系列的内接和外切正多边形来穷竭圆周， 从而求得圆的周长与其半径之比阿基米德求得了圆内接与外切正九十六边形的周长，得到220 70 22371公元 263 年， 我国三国时代的著名数学家刘徽首创了利用圆的内接正多边形的面积接近于圆的面积的方法来计算圆周率，即割圆术他的方法是以 1 尺为半径作圆，作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，计算出正十二边形，正二十四边形，正四十八边形和正九十六边形的面积，舍弃了分数部分后，得 3.14 ，后人把 3.14 称为“徽率”公元 480

9、年，祖冲之把圆周率的计算又向前推进了一大步他仍然采用刘徽的割圆术， 一直算到圆的内接正12288 （6211）边形的边长， 并算出了正 12288和 24576 边形的面积后推得 3.1415926在祖冲之的时代，还没有纸和笔，只能用算筹在地上摆出数字和计算过程从圆内接正六边形起， 每次倍增直到内接正12288边形每进一步， 都要把许多算筹按照加、减、乘、除、开方、平方等11 个步骤的同一运算程序反复摆弄12次，而每次都是对 9 位数字进行的， 要完成这样复杂的运算， 需要多么顽强的意志和严谨细致的作风啊！凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展祖冲之还找到了两个近似于的分数值，一个是22 7，称为

10、约率， 另一个355 113，称为密率，后者是祖冲之独创的，因此，后人称之为“祖率”，以纪念这位数学家1429年，阿拉伯数学家第一次打破了由祖冲之保持了1000 多年的 值“世界纪录”他在关于弦和正弦一文中分别计算了圆内接和圆外切805，306，368 边形（3228边形）的周长，计算出2 6.2831853071795865，使圆周率精确到小数点后 16 位1579年，法国著名的数学家韦达由圆内接6216边形算出 的 9 位小数，并且得到了 的第一个无穷乘积表达式1610年，德国的鲁道夫用262边形计算 到小数点后第 35 位这一工作几乎耗费了鲁道夫毕生的心血 他去世后， 人们为了纪念他，

11、将这一值铭刻在他的墓碑上，并称之为“鲁道夫数”1630年，数学家格林贝尔格 (Gtrienberger)把 计算到小数点后 39 位，这是用古老的几何方法计算的最后的较为重要的尝试了17世纪， 随着分析学的建立与扩展， 人们相继发现了许多有关 的表达式例如，1650年，英国数学家沃里斯把 表示成下面的形式1671年，苏格兰数学家詹姆斯格里高里得到无穷级数当 x1 时，此级数变为但是用这些式子去计算有一些问题： 要么计算过于复杂， 要么级数收敛速度太慢例如，若要用最后一个公式把计算得准确到第 6 位数字，就必须计算公式的前 2，000，000 项凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展1706年，英国

12、的一个不太出名的数学家约翰梅软发现了另一个公式：使得计算 值的速度大大加快他用此公式算达 100 位小数人们花费如此高昂的代价来求的数值，其中有一个目的是想找出 值有什么规律然而，由于林德曼在1882 年证明了 是个超越数，也就是的小数部分一定是无限而又不循环的这样，原来的目的再也没有什么意义了不过，人们还是不肯罢休后来，数学家们又相继找出了一系列公式，应用这些公式，的位数节节上升1873年，英国学者威廉欣克用格里高里级数与梅软公式，经过30 年坚持不懈的努力， 将 算到了 707位小数无论如何这是人工计算的极限了在新的计算手段出现以前， 要想继续推进这个结果使人望而却步欣克死后， 人们将这一

13、凝聚着欣克毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂扬他的顽强意志1948年，英国的弗格森（ DFFerguson ）用手工计算机对欣克的结果进行了核查，他足足算了1 年，结果发现欣克的值在第 528 位错把 5 写成了 4，结果他后面的计算全都错了，10 年的功夫全费了弗格森于1947年算出了 710位的正确值 同时，美国的小伦奇发表了808 位的 值，但是不久弗格森发现了723 位上的一个错误 1948年 1 月，弗格森和伦奇联合发表了准确到808位的 值1946年，世界上第一台电子计算机问世，从此，值的计算以人力不能比拟的速度直线上升 1958年 1 月 20 日，在法国 IBM 公司工作的

14、弗朗索瓦裘纽斯利用一台 IBM704型电子计算机把 值计算到了 1 万位，计算时间仅为 1 小时 10分1959年 7月 20 日，法国另一位学者吉劳德在巴黎仍用IBN704计算 到了16，167 位1973 年 9 月 3 日，吉劳德又与她的合作者一起在CDC7600 计算机上将 的值计算到 100 万位她们把结果印成了一本大书，这本书全是数码， 因此被人们称为有史以来世界上最最沉闷乏味的一本读物，然而它却显示了计算机的计算威力凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展1986年，日本东京大学的廉正蒲田在一台IVECSZ 2 巨型计算机上计算 值达 134 217 700 位1989年，一对姓丘德诺维斯的兄弟在美国超级计算机上把值计算到了 10 亿位，打印纸长度达37 米曾有人计算过，若用小数点后18 位的 值，就可算出以地球到月亮间的距离为半径的圆周长，其误差小于104毫米，这是一根头发的1细因此，在实践中，祖冲之的结果 3.1415926 就足够了，花费很大力气而过分追求的位数已没有多大意义，顶多， 值只剩下检验计算机性能和训练工作人员操作技术这一层意义了