阻尼和固有频率的测量

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1、阻尼系数和固有频率的测量,8.1 阻尼系数的测量,8.1.1 自由振动衰减法,图1 单自由度系统模型,图1所示的一个单自由度质量-弹簧-阻尼系统，其质量为m (kg)，弹簧刚度系数为k (N/m)，粘性阻尼系数为r (N. m /s)。当质量上承受初始条件t=0时，位移 ，速度 激励时，将做自由衰减振动。在弱阻尼条件下其位移响应为,衰减系数,（1）,响应曲线如图2所示。,结论：,为衰减振动的周期， 为衰减振动的频率， 为衰减振动的圆频率。,图2 弱阻尼衰减振动的响应曲线,从图2衰减振动的响应曲线上可直接测量出 ，然后根据 可计算出 n ； 计算出 p； 可计算出计算出r； 计算出无阻尼时系统的

2、固有频率 ； 计算出无阻尼时系统的固有周期,对于衰减系数n，可以用三种方法来计算：,1、由相邻的正逢（或相邻的负峰）幅值比计算,2、由相邻的峰-峰幅值比计算,3、小阻尼情况适用公式,8.1.2 半功率点法,图3所示为一个单自由度质量-弹簧-阻尼系统强迫振动模型。其质量为m(kg)，弹簧刚度系数为k (N/m)，粘性阻尼系数为r (N. m /s)。质量m上承受简谐激振力作用。其强迫振动的位移响应为,图3 单自由度系统模型,引入符号,则有,上式中， 相当于激振力的最大幅值 静止地作用在弹簧上所引起的弹簧静变形； 称为频率比； 称为放大因子，以 为横坐标， 为纵坐标，对于不同的 值所得到的一组曲线

3、，称为幅频响应曲线，如图4所示（图中只给出了一种 值）； 为位移响应滞后力的相位角，以 为横坐标， 为纵坐标，对于不同的 值所得到的一组曲线，称为相频响应曲线，如图5所示。,图4 强迫振动幅频响应曲线,图5 强迫振动相频响应曲线,在幅频响应曲线中，当 时， ；当 时，其最大值 。在图中作一条水平线，其纵坐标为 ，与曲线交于 两点，该两点称为半功率点，两点之间的距离为,图4 强迫振动幅频响应曲线,8.1.3 共振法,强迫振动的位移响应为,速度响应为,速度幅值为,取得极值的条件为 ，即当 时，系统发生速度共振，。此时相位差 ，即速度响应与激振力 之间的相位差为0；阻尼力 ，即激振力所作的功全部被阻

4、尼所消耗。故有系统发生速度共振时，,因此，只要测量系统发生速度共振时的速度幅值 和激振力幅值 ，即可计算出阻尼系数 ，并根据 算出衰减系数 ， 算出相对阻尼系数 。,也可利用示波器力与速度的图像来测量阻尼系数。如图6所示，将力信号接入示波器的x 轴，速度信号接入示波器的y 轴，两通道的放大倍数调成一致，因二者之间的相位差为0，故形成图示的直线，该直线的斜率即为阻尼系数，即,图6 共振法测阻尼的图像,若x轴接入的是位移信号，则形成的图像为正椭圆，椭圆与x、y轴的交点即为 和 。据此也可测出阻尼系数,8.2 固有频率的测量,8.2.1 自由振动衰减法,系统的固有频率是指系统无阻尼时自由振动的频率，

5、即 。 对图1所示的单自由度质量-弹簧-阻尼系统，当受初始扰动后，其自由振动的衰减曲线如图2所示。在曲线上可直接测量并计算出衰减的周期 ，衰减系数 、相对阻尼系数 ，因而有,图1 单自由度系统模型,图2 弱阻尼衰减振动的响应曲线,8.2.1 速度共振的相位判别法,图3 单自由度系统模型,图3所示为一个单自由度质量-弹簧-阻尼系统强迫振动模型。,位移响应为,幅值B取得极值的条件为 ，即在该点发生共振。共振幅值,位移信号与激振力信号之间的相位差,速度响应为,幅值 取得极值的条件为 ，即在该点发生共振。共振幅值,速度信号与激振力信号之间的相位差,加速度响应,幅值 取得极值的条件为 ，即在该点发生共振

6、。共振幅值,加速度信号与激振力信号之间的相位差,图7 速度响应判别速度共振,图8位移响应判别速度共振,图9加速度响应判别速度共振,速度共振的相位判别法的依据即为系统发生速度共振时，激振力和速度响应之间的相位差为0。实验时，将激振力信号接入示波器的轴，速度响应信号接入示波器的轴，改变激振信号的频率 ，根据李沙育原理，屏幕上将出现如图的图像。即当图像变成斜直线时，系统发生速度共振，此时， ，即激振力的频率就是系统的固有频率。 若示波器轴上分别接入的是位移信号和加速度信号，则屏幕上出现图，的图像。,8.2. 稳态激振法,图3 单自由度系统模型,图3所示为一个单自由度质量-弹簧-阻尼系统强迫振动模型。

7、,位移响应为,位移幅值,系统确定后p,n,m是确定的。只要保证激振力幅值 是常量， 的大小唯一取决于激振力频率 。稳态激振法是每给定一个激振频率 ，测量一次位移响应幅值 ，从而得到一组 随 变化的数据。以 为横坐标， 为纵坐标，可描在曲线上，振幅最大的点对应的激振频率称为共振频率，测试系统发生了位移共振。,图10 强迫振动时幅频响应曲线,式中，相对阻尼系数 可以通过半功率点法测得，在 的情况下也可忽略，此时系统的共振频率等于固有频率。 若测量的是系统速度响应幅值与激振频率之间的关系曲线，则系统的共振频率就是固有频率，即 若测量的是系统加速度幅值与激振频率之间的关系曲线，则系统的共振频率与固有频

8、率的关系为,8.3 传递函数与频响函数,图11单自由度粘性阻尼系统,由振动理论可知，图11所示单自由度粘性阻尼系统，阻尼力 ，系统运动的微分方程为：,对上式两边进行拉普拉斯变换，并假设初始速度、位移值为0，有,式中s为拉氏变换因子，为复变量，也称复频率，其实部和虚部常用 和 表示，即 ； 为 的拉氏变换， 为 的拉氏变换。按照机械系统传递函数的定义，有该系统的传递函数,对于自由振动， ，则有 。在小阻尼的情况下，求得的一对共轭复根为,和 称为该系统的复频率，其实部 即为系统的衰减系数，虚部 为系统的有阻尼固有频率。,对系统运动的微分方程两边进行傅立叶变换，即 ，即有系统的频响函数,式中， 为

9、的傅立叶变换， 为 的傅立叶变换。,频响函数是频率的函数，为复数，即有幅值与相位，又有实部与虚部，常用以下曲线来描述其特性。,8.3.1 Bode图,频响函数的幅频图和相频图称为Bode图。对粘性阻尼，其模与相位角为,式中， 为频率比， 为相对阻尼系数，图形如图12,图12 频响函数的幅频与相频图,8.3.2 实频图与虚频图,频响函数的实部和虚部分别为,其图形如图13所示。在实部图上，利用半功率点法可以识别出系统的相对阻尼系数 ， 时虚部达到极大值，实部为0，系统处于共振状态，可识别出系统的固有频率。,图13频响函数的实部与虚部图,8.3.2 Nyquist图,以频响函数的实部为横坐标，虚部为纵坐标，绘出频响函数矢量随频率的变化图，这些变化矢量的端点轨迹图称为Nyquist图，图形方程为：,图形如图14所示。在图中虚部与图的交点处的频率即为系统的固有频率 p ，实部达到极值的两点即为半功率点，由此可确定系统的相对阻尼系数。,图14 频响函数的Nyquist图,