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1、无约束最优化,数学建模与数学实验,实验目的,实验内容,2.掌握用数学软件包求解无约束最优化问题.,1.无约束最优化基本算法.,1. 无约束优化基本思想及基本算法.,4. 实验作业.,3. 用MATLAB求解无约束优化问题.,2. MATLAB优化工具箱简介.,无约束最优化问题,求解无约束最优化问题的基本思想,*无约束最优化问题的基本算法,返回,标准形式：,求解无约束最优化问题的基本思想,求解的基本思想 ( 以二元函数为例 ),5,3,1,连续可微,多局部极小,唯一极小 (全局极小),非唯一极小 (局部极小),搜索过程,最优点 (1 1) 初始点 (-1 1),-1,1,4.00,-0.79,0
2、.58,3.39,-0.53,0.23,2.60,-0.18,0.00,1.50,0.09,-0.03,0.98,0.37,0.11,0.47,0.59,0.33,0.20,0.80,0.63,0.05,0.95,0.90,0.003,0.99,0.99,1E-4,0.999,0.998,1E-5,0.9997,0.9998,1E-8,返回,无约束优化问题的基本算法,最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，当接近极值点时，宜选用别种收敛快的算法.,1最速
3、下降法（共轭梯度法）算法步骤：,2牛顿法算法步骤：,如果f是对称正定矩阵A的二次函数，则用牛顿法，经过一次迭代 就可达到最优点,如不是二次函数，则牛顿法不能一步达到极值点， 但由于这种函数在极值点附近和二次函数很近似,因此牛顿法的收 敛速度还是很快的.,牛顿法的收敛速度虽然较快，但要求黑塞矩阵可逆，要计算二阶导数和逆矩阵，就加大了计算机的计算量和存储量.,3拟牛顿法,返回,MATLAB优化工具箱简介,1.MATLAB求解优化问题的主要函数,2.优化函数的输入变量,3.优化函数的输出变量见下表:,4控制参数选项的设置,(3) MaxIter: 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数.,选项中常用的
4、几个参数的名称、含义、取值如下:,(1) Display: 显示水平.取值为off时,不显示输出; 取值为iter时,显示每次迭代的信息;取值为final时,显示最终结果.默认值为final.,(2) MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数.,例：opts=optimset(Display, iter, TolFun,1e-8)该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为iter, TolFun参数设为1e-8.,控制参数选项可以通过函数optimset创建或修改.命令的格式如下：,(1) options=optimset(optimfun)创建一个含
5、有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构.,（2）options=optimset(param1,value1,param2,value2,.)创建一个名称为选项的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值.,(3) options= optimset(oldops, param1,value1,param2,value2,.)创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数.,返回,用MATLAB解无约束优化问题,其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2）的等式右边。函数fminbnd的算法基于黄金分割
6、法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。,常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2,options) （3）x，fval= fminbnd（） （4）x，fval，exitflag= fminbnd（） （5）x，fval，exitflag，output= fminbnd（）,MATLAB(wliti1),主程序为wliti1.m:f=2*exp(-x)*sin(x);fplot(f,0,8); %作图语句xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8)f1=-2*exp(-x)*si
7、n (x);xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8),例2 有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？,解,先编写M文件fun0.m如下:function f=fun0(x)f=-(3-2*x)2*x;,主程序为wliti2.m:x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5);xmax=xfmax=-fval,运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5m时水槽的容积最大,最大容积为2m3.,MATLAB(wliti2),命令格式为: （1）x= fminunc（fu
8、n,X0）；或x=fminsearch（fun,X0 ） （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （3）x，fval= fminunc（.）；或x，fval= fminsearch（.） （4）x，fval，exitflag= fminunc（.）；或x，fval，exitflag= fminsearch （5）x，fval，exitflag，output= fminunc（.）；或x，fval，exitflag，output= fminsearch（.）,2.多元函数无约束优化问题,标准型为：min,3 fm
9、inunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由选项中参数LineSearchType控制： LineSearchType=quadcubic (缺省值)，混合的二次和三次多项式插值；LineSearchType=cubicpoly，三次多项式插,使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解.,说明:,fminsearch是用单纯形法寻优.fminunc算法见以下几点说明：,1 fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法.由选项中的参数LargeScale控制： LargeScale=on (默认值),使用大型算法 LargeScale=off (默认值)
10、,使用中型算法,2 fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由 选项中的参数HessUpdate控制：HessUpdate=bfgs（默认值），拟牛顿法的BFGS公式； HessUpdate=dfp，拟牛顿法的DFP公式； HessUpdate=steepdesc，最速下降法,例3 min,MATLAB(wliti3),1.编写M文件 fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);2.输入M文件wliti3.m如下:x0 = -1, 1;x=fminunc(fun
11、1,x0);y=fun1(x),3.运行结果:x= 0.5000 -1.0000y = 1.3029e-10,MATLAB (wliti31),MATLAB (wliti32),3.用fminsearch函数求解,MATLAB (wliti41),输入命令:f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2; x,fval,exitflag,output=fminsearch(f,-1.2 2),运行结果:x =1.0000 1.0000 fval =1.9151e-010 exitflag = 1 output= iterations: 108funcCount: 202algorth
12、m: Nelder-Mead simplex direct search ,4.用fminunc 函数,MATLAB (wliti44),(1)建立M文件fun2.mfunction f=fun2(x)f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2,(2)主程序wliti44.m,Rosenbrock函数不同算法的计算结果,可以看出，最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.,例5 产销量的最佳安排某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大.所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.,基本假设,1价格与
13、销量成线性关系,2成本与产量成负指数关系,模型建立,若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,1=0.015, c1=20, r2=100,2=0.02,c2=30,则 问题转化为无约束优化问题： 求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使总利润z最大.,为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化求 z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2的极值.显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我们把它作为原问题的初始值
14、.,总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2,模型求解,1.建立M文件fun.m: function f = fun (x)y1=(100-x(1)- 0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1);y2=(280-0.2*x(1)- 2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2);f=-y1-y2;,2.输入命令:x0=50,70;x=fminunc(fun,x0),z=fun (x),3.计算结果:x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.,MATLAB(wliti5),返回,实验作业,
