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1、第五讲 对角化与 Jordan 标准形一、正规矩阵1. 实对称矩阵与厄米矩阵实对称矩阵：实矩阵ATAA厄米矩阵：复矩阵AHAA实反对称矩阵：实矩阵ATAA反厄米矩阵：复矩阵AHAA2. 正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵ATTA AAAI（1TAA）酉矩阵：复矩阵AHHA AAAI（1HAA）3. 正交相似变换和酉相似变换P为正交矩阵，A为实矩阵，1P AP为对A的正交相似变换；P为酉矩阵，A为复矩阵，1P AP为对A的酉相似变换。4. 正规矩阵实矩阵A，若满足TTA AAA，则A为实正规矩阵；复矩阵A，若满足HHA AAA，则A为复正规矩阵。显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩
2、阵；厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。5. 相似矩阵具有相同的特征多项式相同的特征值、迹、行列式。11det( IP AP)detP ( IA)P11det(P)det( IA)det(P)det(P)det(P)det(IA)det( IA)（det(AB)det(A)det(B)）二、酉对角化1. Schur 引理：设数12n,L是n阶方阵A的特征值，则存在酉矩阵U，使121nUAU0O证明 设1x是A的属于特征值1的特征向量，即111Axx，1 1 1xux，并由其扩充为一组标准正交向量12nu ,u ,uLH ij0iju u1ij令012nUuuuL，0U为酉矩阵HHHH
3、111121n HHHH H221222n 0012nnHHHH nn1n2nnuu uu uu uuu uu uu uU UuuuIuu uu uu uLLLMMMOML对A进行酉相似变换：H 1 H HH2 0012nijn nH nuuU AUA uuuu AuuL M第一列：HHH i1i111i1 10i1u Auuuu ui11H 00 1(n 1) (n 1)0 U AUA0MH HH2 222nH 3 123n(n1) (n1) HH n2nnH nuu uu u uAA uuuu uu uuLLMOM ML相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于1A，其特征值为2n,L，与上相同
4、，可得一个酉矩阵1U，使得2H 111 2(n2) (n 2)0 U A UA0M依次类推，分别可找到酉矩阵23n 2U ,U ,UL使3H 222 3(n3) (n 3)0 U A UA0Mn 1H n 2n 2n 2 nUAU0令2n 2 0 12n 210I0I0UU0U0U0ULU是酉矩阵，HU UIHU AU?n 2n 2HH 00HH n 211n2I01010I0U AUU AU0U0U0U0ULL1H 00 1U AU0A1 11 2HH 111111 2*10100*0U0A0U0U A U00A12Hn*U AU0O得证 什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？2. 定
5、理：n阶方阵A， 酉相似于对角阵的充要条件是： A为正规阵（实或复）。证明 由 Schur引理：存在酉矩阵U使得1ijH2ntU AU0O1ijn12n,L是A的特征值。1H2HHjin0U AUtO充分性 :已知A为正规阵，即HHA AAA，要证ijt0HHHHHHU AA UU A AUHH212H 2LMMLO2211j22H 22jttLMMLO由对角元素相等可得1jt0，2jt0，njt0ijt012Hn0U AU0O必要性：已知存在酉矩阵U使12Hn0U AU0O，要证A为正规矩阵。HHHHHHU AA UU A AUHHHHHHHHU AUU A UU A UU AUHHHHU
6、AA UU A AU U可逆HHA AAA得证 说明： （1）不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将其对角化，例如12A03T10A23TTAAA AA不是正规矩阵但(A)1,3，两个特征值互异，可以相似变换对角化。可见，A可以对角化，但不能酉对角化。（2）实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。 （若特征值全为实数， 则可正交相似对角化）如12A21， 特 征 值 为12 j，TT50AAA A05正规阵，但不可能对角化。不能对角化的矩阵一定具有多重特征值，对于不能对角化的矩阵也希望找到某种标准形式，使之尽量接近对角化的形式 Jordan标准形。三、 Jordan 标准形1. Jor
7、dan 标准形的存在定理任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下Jordan标准形：1122ssJ ()J ()JJ ()O其中ii iii10J ()10OO称为 Jordan块矩阵。12s,L为A的特征值，可以是多重的。说明： （1）iiJ ()中的特征值全为i，但是对于不同的i、j，有可能ij，即多重特征值可能对应多个 Jordan块矩阵。（2）Jordan标准形是唯一的， 这种唯一性是指：各 Jordan块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各 Jordan块矩阵的位置可以变化。2. 多项式矩阵（又称为阵）11121n21222nn1n2nnaaaaaaAaaaLLMMLML称为的多项
8、式矩阵， 其中矩阵元素ija ( )为的多项式。多项式矩阵的初等变换初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性 的前提下形式上变得简单。（1）互换两行（列）（2）以非零常数乘以某行（列）这里不能乘以的多项式或零，这样有可能改变原来矩阵的秩和属性 （3）将某行（列）乘以的多项式加到另一行（列）多项式矩阵的标准形式： 采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式：12rd0dAd000OO其中，多项式id是首一多项式（首项系数为1，即最高幂次项的系数为1） ，且12dd、23dd、r 1rdd， 即id是i 1d的因式。（1）多项式矩阵的标准形式不随所采用的初等变换而变，故称id为不变因子。（2）不变因子又
9、可采用如下方法求得：设iD为A的所有i阶子行列式的最大公因式，则i ii 1DdD，0D1。iD称为i阶行列式因子。（3）将每个不变因子化为不可约因式， 这些不可约因式称为A的初等因子，全体初等因子称为初等因子组。例如 : 22 1d ( )(2) (3)(2)(3)和2525 2d ( )(2) (3)(2)(3)和初等因子组中应包括两个2(2)。3. Jordan 标准形的求法（1）求出特征多项式IA的初等因子组，设 为1m1、2m2、sms。（2）写出各 Jordan 块矩阵（一个初等因子对应一个 Jordan块矩阵）iiiini iiiinn10J10OO（3）合成 Jordan矩阵：
10、12sJ0JJ0JO例： 求矩阵210110120011114101A010310000040100013的 Jordan标准形。解 写出特征矩阵210110120011114101( IA)010310000040100013第 14 行与第 1、2、4、5 列交叉的元素形成的四阶子式为21111201(2)(34)11100131第 1、2、3、5 行与 1、3、4、5 列交叉的元素形成的四阶子式为220111001(4)14100004这两个子式的公因式为1，故4D ( )1123D ( )D ( )D ( )1第 15 行与第 1、2、3、5、6 列交叉的元素形成的五阶子式为22101
11、012011(2)(4)114010101000040第 1、2、3、5、6 行与第 1、3、4、5、6 列交叉的元素形成的五阶子式为321110120114(2)111010131010013其 它 五 阶 子 式 均 含(2)因 式 ， 故5D()(2 )特征值行列式为33 6D ( )(2) (4)，从而有1234d ( )d ( )d ( )d ( )1，5d ( )(2)，23 6d ( )(2) (4)初等因子组为(2)，2(2)，3(4)相应的 Jordan块为2，2102，410041004Jordan标准形为20212414104作业：P106 1(1)(2), 2, 4, 5, 10 P79 19（1） （3）
