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1、量子化学与群论习题 1. 证明 x P ? 为厄米算符 . 2. 验证 xx PxxP ? ? ? . 3. 证明 x P ? 和 y P ? 可对易 . 4. 试求在一维无限深势阱中运动的电子在基态时的., 22 xxxx PxxPPxPx 5. 证明在一维深势阱中运动的质点的不同波函数互相正交. (证明)0 * dx mn 6. 函数 a x aa x a x 2 sin 2 3sin 2 2)(是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其 能量有无确定值？若有， 其值为多少？若无， 求其平均值 .7. 用变分函数 2 xxL, 求一维 势箱中 (0;0)(,0xxVLx或)(,xVLx)
2、粒子的基态能级 . 8. 假定 rc ercc 3 )1( 21是氢原子 Schr?dinger 方程的一个解 ,求出 ., 321 Eccc 9. 推导 2 2 2 2 2 2 2 zyx 在球坐标系和柱坐标系中的表达式. 10. 设 2 cr Ae为氢原子 1s态波函数的试探函数 ,计算归一化常数 A, 确定变分参数 c 及 能级 E. 11. 对 一维 势箱中 的 粒 子用 变分 法求 解. 在 11x 时 ,;0V其 他情 况下, .V 设 ,1,1 4 2 2 1 xx构造试探函数, 2211 cc求 2221121122211211 ,SSSSHHHH以 及能级., 21 EE 1
3、2. 假定氢原子的 1s 波函数的特解为 , r Ne 用待定系数法求 ., 1 NE s 13. 一 粒 子 在 有 一 个 小 势 坑 的 一 维 盒 中 运 动 ,;,0,LxxV;2/0,LxbV .2/,0LxLV将势坑视为一个 “规则的” 刚性盒)0,0;,0,(LxVLxxV的 一个微扰 , 求出基态的第一级能级 . V V E V0 V=0 b x=0 2/Lx x =L 0 x 14. 若粒子从左边入射，求上图所示一维阶梯势（E V0）的反射系数和透射系数. 15. 上题这若4/3 0 EV, 计算在 0x 处被反射的粒子的几率 (反射系数为多少 ). 16. 设 G 一切不
4、等于零的有理数集合, 证明 G 对于数的乘法构成一个群 . 17. 设1 ,0,1G,对于加法是否构成一个群 ?对于乘法是否构成一个群 ?为什么 ? 18. 构造 C2V点群的乘法表 . 19. 验证点群, 3 4 2 444 CCCEC和 ,1,1iiU及,V 同构. (为数的乘 法, 为动作 ,立正, 向后转 , 向左转 , 向右转 ) 20. 将下列 C3V的可约表示 分解为不可约表示 . C3VE 2C33V 3 0 1 21. 将下列 C2V的可约表示 分解为不可约表示 . C2VE C2V V 5 -1 -3 -1 22. 以 CH4分子中的 4 个氢原子的 1s 轨道为基 , 求
5、该可约表示的特征标表, 并将它分解为不 可约表示 . 23. 将 CH4分子中的 4 个氢原子的 1s轨道组合成为对称性匹配函数. 24. 用对称操作的表示矩阵证明)( ? ?:);( ? )( ? )( ? :); ? ?)( ? :) 22222 zCczCyCxCbizCa xzyzxy . 25. 求反式二氯乙烯分子中以2 个氢原子的 1s轨道为基的表示的特征标, 并将其分解为不可 约表示 . 26. 写出下列点群以 (x,y,z)为基的表示矩阵.:);:);:);:) 424dhh TdDcDbCa 27. 氢原子处于基态时 , 1s 波函数为 0 / 2 3 0 1 ) 1 ( 1 ar s e a ,求 1)r 平均值r; 2)位能 r e V 2 的 平均值 ; 3)动能的平均值T.
