《2013版高中全程复习方略配套课件：8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(人教a版·数学理)浙江专用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013版高中全程复习方略配套课件：8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(人教a版·数学理)浙江专用（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系,三年8考 高考指数: 1.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3.初步了解用代数方法处理几何问题.,1.直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点； 2.常与直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何性质结合,重点考查待定系数法、直线与圆的位置关系； 3.题型以选择题和填空题为主，属中低档题目.有时与其他知识点交汇在解答题中出现.,1.直线与圆的位置关系 （1）从方程的观点判断直线与圆的位置关系：即把圆的方程与直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判别式判断位置关系.,(2)从几何的观点判断直线
2、与圆的位置关系：即利用圆心到直线的距离d与半径r比较大小来判断直线与圆的位置关系.,【即时应用】 (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的_条件. （2）已知点M（x0,y0)是圆x2+y2=r2（r0)内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆的位置关系是_.,【解析】(1)当k=1时，圆心到直线的距离此时直线与圆相交； 若直线与圆相交，则 解得- 0)内的一点， 所以 ，圆心到直线x0x+y0y=r2的距离 所以直线与圆相离. 答案：(1)充分不必要 (2)相离,2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2= (r10), 圆O2:(x-a
3、2)2+(y-b2)2= (r20).,【即时应用】 (1)思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系？ 提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x、y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程.,（2）判断下列两圆的位置关系 x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是_. x2+y2+2x+4y+1=0与x2+y2-4x-4y-1=0的位置关系是_. x2+y2-4x+2y-4=0与x2+y2-4x-2y+4=0的位置关系是_.,【解析】因为两圆的方程可化为：(x-1)2+y2=1，x2+(y+2)2=4， 所以，两圆圆心距|O1O2|= 而两圆的半径之和r1+r
4、2=1+2=3； 两圆的半径之差r2-r1=2-1=1；所以r2-r1|O1O2|r1+r2， 即两圆相交； 因为两圆的方程可化为：(x+1)2+(y+2)2=4，(x-2)2+(y-2)2=9， 所以，两圆圆心距|O1O2|= 而两圆的半径 之r1+r2=2+3=5；|O1O2|=r1+r2，即两圆外切；,因为两圆的方程可化为： (x-2)2+(y+1)2=9，(x-2)2+(y-1)2=1， 所以，两圆圆心距|O1O2|= 而两圆的半径之差r1-r2=3-1=2；|O1O2|=r1-r2， 即两圆内切. 答案：相交 外切 内切,直线与圆的位置关系 【方法点睛】 代数法判断直线与圆的位置关系
5、的步骤 (1)将直线方程与圆的方程联立，消去x（或y）得到关于y （或x）的一元二次方程；(2)求上述方程的判别式，并判断 其符号；(3)得出结论.,2.几何法判断直线与圆的位置关系的步骤 (1)求出圆心到直线的距离d；(2)判断d与半径的大小关系； (3)得出结论. 【提醒】如果能判断直线过定点，则可由定点到圆心的距离 （即点在圆内、圆上、圆外）判断直线与圆的位置关系， 小于半径相交；等于半径相切或相交；大于半径相交、相切、 相离都有可能.,【例1】(1)过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线，则切线方程 为_； (2)若经过点A(4,0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1
6、有公共点，则直线l的 斜率的取值范围为_. （3）(2012温州模拟）已知圆x2+y2-4x+2y-3=0和圆外一点 M（4,-8）. 过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|=4,求直线AB的方程； 过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程.,【解题指南】(1)因为已知直线过点P(2,4)，所以确定直线方程斜率的存在性，进而利用条件，求出直线方程； (2)直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. （3）设出直线的方程，由条件可得圆心到直线的距离，再利用圆心到直线的距离求直线的斜率；求出以PM为直径的圆的方程，两圆方程相减可得CD所在直
7、线的方程.,【规范解答】(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2， 此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2), 即：kx-y+4-2k=0，因为直线与圆相切，所以， 圆心到直线的距离等于半径， 即： 解得：k= ，所以所求切线方程为：x-y+4-2 =0，即：4x-3y+4=0. 答案：x=2或4x-3y+4=0,(2)由题可设直线方程为y=k(x-4)，即：kx-y-4k=0， 因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于 或等于半径，即： 解得：- k . 答案：- ， ,(3)圆即（x-2）2+（y+1）2=8
8、, 圆心为P（2，-1），半径r=2 . 若割线斜率存在，设AB：y+8=k（x-4）, 即kx-y-4k-8=0,设AB的中点为N， 则 由 直线AB的方程为45x+28y+44=0. 若割线斜率不存在，AB：x=4，代入圆方程得,y2+2y-3=0,y1=1,y2=-3符合题意，综上，直线AB的方程为45x+28y+44=0或x=4. 切线长为 以PM为直径的圆的方程为（x-2）（x-4）+（y+1）（y+8）=0, 即x2+y2-6x+9y+16=0. 又已知圆的方程为x2+y2-4x+2y-3=0， 两式相减，得2x-7y-19=0, 所以CD所在直线的方程为2x-7y-19=0.,【
9、互动探究】将本例(2)中条件“经过点A（4，0）的直线l” 改为“在y轴上截距为-2的直线l”，其他条件不变，结论如何？ 【解析】由题可设直线方程为y=kx-2,即：kx-y-2=0， 因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于 或等于半径，即： 解得：,【反思感悟】1.已知直线与圆的位置关系求解其他未知量， 一般有以下两种方法： 方法一：几何法:利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大 小关系求解； 方法二：代数法:联立直线方程与圆的方程，利用方程组的解 来解决； 2.求切线方程时，要注意讨论直线的斜率不存在的 情况，否则容易漏解.,【变式备选】已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25
10、，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. (1)是否存在一点A,对于任意的实数m，直线l恒过A点？若有，请说明理由，并求出A点坐标； (2)证明：对于任意mR，直线l一定与圆C相交； (3)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.,【解析】(1)因为直线l的方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化 为：x+y-4+m(2x+y-7)=0， 所以，该直线一定过直线x+y-4=0与直线2x+y-7=0的交点， 即A(3,1)； (2)因为直线l过定点A(3,1)，而圆心坐标为C(1,2)， 所以 所以直线l一定与圆C相交；,(3)要使直线l与圆C所截得的弦长
11、最短，则直线l与AC垂直， 而 所以kl=2， 因此直线l的方程为：y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0. 圆心到直线l的距离为 弦长的最短长度为,与圆有关的弦长、中点问题 【方法点睛】 直线被圆截得弦长的求法 （1）代数方法：直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长 (2)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l， 则有：,【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1、C2的方程分别 为(x+3)2+(y-1)2=4和(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2 ，求直线l 的方程； (2)设P
12、为平面上的点，满足：存在过点P的无数多对互相垂直的 直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的 弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.,【解题指南】(1)本题求直线方程，因为直线过点A(4,0)，所以只差直线的斜率，因此可利用条件求斜率；(2)因为两直线都过同一点P(a,b)，设其中一条直线的斜率为k，由垂直及弦长相等，即可求出点P.,【规范解答】（1）由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜 率存在. 设直线l的方程为y=k(x-4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d， 因为直线l被圆C1截得的弦长为2 ，所以 由点到直线的距离公
13、式得： 从而k(24k+7)=0，即k=0或k=- ， 故直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.,(2)设点P(a,b)满足条件，由题不妨设直线l1的方程为 y-b=k(x-a)(k0)，则直线l2的方程为y-b=- (x-a)， 因为圆C1和圆C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与 直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的 距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等， 即 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b =-5k-4+a+bk， 即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)
14、k=a+b-5， 因为k的取值有无穷多个，这样的点P只可能是点P1( ,- )或P2( )， 当k=0时，对于P1点，P2点经验证符合题意. 综上可得:P点的坐标为（ ，- ）或( ).,【反思感悟】1.本题第一问是求直线方程，只需两个条件，题 设中已知一点，只需斜率即可，该问题易忽略斜率不存在的情况； 2.解答第二问要注意存在过点P的无数多对互相垂直的直线l1和l2， 说明弦长相等与斜率值无关，利用斜率存在（且不为0）的情况求 出点P，注意验证斜率不存在的情况也满足条件.,【变式训练】已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴 上，直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2 ，则过圆心且与直
15、 线l垂直的方程为_. 【解析】设所求直线的方程为x+y+m=0,圆心(a,0)，由题意知：,解得a=3或a=-1,又因为圆心在x轴的正半轴 上，a=3,故圆心坐标为（3，0），而直线x+y+m=0过圆心 （3，0），3+0+m=0，即m=-3,故所求直线的方程为x+y-3=0. 答案：x+y-3=0,【变式备选】直线 x+y-2 =0截圆x2+y2=4得到的劣弧的 弧长为( ) （A） （B） （C） （D） 【解析】选C.因为圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），圆心到直 线 x+y-2 =0的距离 而圆的半径为2，所以该直 线截圆所得弦长为 所以劣弧所对的圆心角为 , 所以劣弧所对的弧长为,圆与圆的位置关系 【方法点睛】 1.两圆公切线的条数2.判断两圆位置关系的方法 判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的 绝对值之间的关系求解.,【提醒】利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含.,【例3】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0. (1)m取何值时两圆外切； (2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.,
