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1、概率论与数理统计,1,教材： 概率论与数理统计 上海交通大学数学系 编 上海交通大学出版社,2,参考书,概率论与数理统计 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社 概率论与数理统计 教与学参考 阎国辉 主编 中国致公出版社 概率论与数理统计试题分析与解答 上海交通大学数学系编 上海交通大学出版社,3,概率论的诞生 概率(或然率或几率) 随机事件出现的可能性的量度, 其起源与博弈问题有关. 16世纪意大利学者(Girolamo Cardano（15011 576）， Galileo Galilei（15641642）等)开始研究掷骰子等赌博中的一些问题； 1651年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约
2、定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望。 17世纪中叶，B. 帕斯卡(法国数学家)、C. 惠更斯(荷兰数学家)等,基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题， 解决了“ 合理分配赌注问题” ( 即得分问题).,4,对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律. 使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以
3、后. 第二次世界大战军事上的需要以及大工业与 管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、 控制论与数理统计学等学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的数学分支学科.,5,统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.,6,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生
4、产和国民经济的各个部门中. 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与概率论紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能 否在临床中应用，均需要用到假设检验； 3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计和数据 处理；,7,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射都离不开可靠性估计; 5.探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用; 6. 研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述; 7. 在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；,8,8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购
5、物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是排队论. 目前, 概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题, 都大量采用概率统计方法. 法国数学家拉普拉斯(Laplace) 说对了: “ 生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率的问题.” 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行, 无所作为.”,9,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“可导必连续”,“
6、水从高处流向低处”,实例：,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,确定性现象的特征:,条件完全决定结果,第一章 随机事件及其概率,10,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”.,2. 随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,随机现象 。每次试验前不能预言出现什么结果 。每次试验后出现的结果不止一个 。在相同的条件下进行大量的观察或试验时，出现的结 果有一定的规律性-称之为统计规律性,11,结果有可能为:,“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.,实例3 “抛掷一枚骰子,观 察出
7、现的点数”.,实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.,结果: “弹落点会各不相同”.,12,实例4 “从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.,其结果可能为:,正品 、次品.,实例5 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.,实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可短.,随机现象的特征:,条件不能完全决定结果,13,2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验
8、?,如何来研究随机现象?,说明：,1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,14,1.1 随机试验(简称“试验”),随机试验的特点： 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可 能结果； 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。,说明：,1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进 行的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.,2. 随机试验通常用 E 来表示.,15,实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.,分析：,(1) 试验可以在相同的条件下重复地进
9、行;,(2) 试验的所有可能结果:,正面，反面;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,16,2.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.,3.“从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品的件数”.,4. 考察某地区 10 月份的平均气温.,5. 从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.,17,样本空间、随机事件,(一） 样本空间 实验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 或 S；试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e. 由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件, 记为e.,例： 给出E1-E5的样本空间,18,（二）随机事件,19,例如 对于试验E
10、1，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“三次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验E5中D“灯泡寿命超过1000小时” x:1000xT(小时）。 可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率. 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本
11、点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。,20,1.包含关系 “ A发生必导致B发生”记为AB AB AB且BA.,（三）事件之间的关系,21,2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”， 记作AB,n个事件A1, A2, An至少有 一个发生，记作,22,3.积事件 :A与B同时发生，记作 ABAB,n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An,23,4.差事件 ：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生.,思考：何时A-B=?何时A-B=A？,24,5.互斥（或互不相容）的事件 ：AB ,25,6. 互逆的事件 AB , 且AB ,26,（四）事件的运算律,1、交
12、换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,27,例1：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,28,例2 化简事件,解 原式= 作业: 习题一 2 ，3，5，6,29,1.2 概率的定义及其运算,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性,?,事件的概率应具有何种性质？,?,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多
13、少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？,30,?,（一）概率的统计定义,、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。 、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次，A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态比如投匀质硬币实验，频率将稳定在1/2附近 、统计概率：将事件A的频率的稳定值p作为事件A出现的可能性的度量，即P(A)=p为事件A的统计概率 统计概率的缺点： （）需要大量的重复试验 （）得到的是概率的近似值,31,历史上曾有人做过试验
14、,试图证明抛掷匀质硬币时， 出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005 实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。 可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.,32,频率的性质: (1) 0 fn(A) 1； (2) fn()1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B).,33,(二) 概率的公理化定
15、义,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义.,34,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： (1) 非负性: P(A) 0； (2) 规范性: P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,35,2.概率的性质 (1) P()=0; (2) 有限可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,(4) 事件差: A、B是两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB),(3) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)P(B),36,(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) P(AB) P(A)+P(B) 对任意事件A、B、C，有,
