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1、1,南京 海天 教育 考研 高辅 课程 高等数学,授课人：周蔷,2010年12月19日,2,听课要求：,1.参考教材是知识体系的最大范围，而考试范围仅仅是教材的子集，对于（数一，二，三）要求是有差异的，并非教材上都是考点，即使考点也有主次之分，搞清楚主次有利于时间的利用率和复习重心的把握。 2.上课记笔记回去可以找到依据来进一步消化 3.以课堂讲授的概念为重点来消化知识和构建自 己的知识体系，课后训练的习题均应以此为主线来选取强化理解，切不可偏离主线。,3,授课提纲：,本章知识结构图表章节内容在考研中的知识点分布章节学习内容串讲配合习题讲解答疑,4,一元函数微分学及其应用,第二章 一元函数微分
2、学及其应用,6,数学一，二，三考研大纲中涉及本章知识点分布：,理解导数和微分的概念与关系 函数的可导性与连续性之间的关系 导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程法线方程 导数的物理意义，会用导数描述一些物理量 导数的经济意义（含边际与弹性的概念）（数三） 基本初等函数的求导公式，导数四则运算法则，会求复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的导数，分段函数的导数，利用一阶微分形式的不变性求函数的微分以及逆向凑微分 高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数,7,理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用 会用导数判断函数图形的凹凸
3、性（会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形 （数一，数二）了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径 理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理掌握用洛必达法则求未定式极限的方法,8,近10年考研试题中与本章有关联的题型,第二章 一元函数微分学 题型 1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题辨析（选择题） 题型 2函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定 题型 3 函数在某点处的可导性及导函数的连续性，分段函数在分段点 的可导性判断 题型 4 求各种形式函数（包括复合
4、函数、隐函数等）的导数 题型 5 某些实际问题利用提炼导数模型来求解 题型 6函数性态（极值点、拐点、曲线的渐近线方程等）判定与求解 题型7 求一元函数在一点的切线方程或法线方程 题型8 求已知曲线的曲率（数二） 题型9 经济学中弹性相关的计算（数三） 题型10 函数单调性等性态的判断或讨论 题型 11 证明不等式 题型 12证明某一区间至少存在一个点或两个点使某个式子成立 题型 13 证明方程根的唯一性,9,学习内容串讲：,函数的几种表达形式： 显函数形式 反函数形式 分段函数形式 极限形式 隐函数形式 一般参数形式 极坐标参数形式 变限积分形式 级数形式 复合结构 抽象函数 其他形式,10
5、,11,12,一，导数的实际问题的模型,1. 变速直线运动的速度,设质点运动函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,13,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,（割线 M N 的极限位置 M T）,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,14,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,15,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点
6、,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,16,1.运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,2. 曲线,在 M 点处的切线斜率,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,就说函数,的导数为无穷大 .,也称,在,则前面的实际问题模型均可以用导数的表达式进行改写,17,导函数的定义,如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作,易见,求导函数的步骤,(1)求增量,(2)算比值,(3)求极限,18,例1. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,19,基本求导公式,20,单侧导数,1.左导数:,
7、2.右导数:,函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相等.,函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一 点可导,函数f(x)在闭区间a b上可导是指函数f(x)在开区间 (a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数,21,.,练习：判断是非(是： 非： )：,22,.,23,.,.,.,.,.,.,24,解: 因为,4. 设,存在, 且,求,所以,25,例2.,若,且,存在 , 求,解:,原式 =,且,联想到凑导数的定义式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,三、函数的可导性与连续性的关系：,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此,其中,故,在点
8、x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,27,解：,例3. 讨论函数,在x=0处不可导,在x=0处的连续性和可导性,28,设,解:,又,例4.,处的连续性及可导性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,解,例5.,即,30,例6. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,31,例7.设,试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求,解:,得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,是否为连续函数 ?,判别:,机动 目录 上页 下页 返
9、回 结束,33,例8:试确定常数 之值, 使函数,在 =0 处可导。,解 ( ) 在 =0 处可导的必要条件:是 ( ) 在 =0 处连续,即,故 当 时, 在 处连续,34,又因,故,当 时,解方程组,得,故 当 时, 在 处可导,35,三、导数的几何意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,36,解,所求法线方程为,并写出在该点处的切线方程和法线方程,所求切线及法线的斜率分别为,所求切线方程为,即4x+y-4=0,即2x-8y+15=0,例9.求等边双曲线 在点 处的切线的斜率,37,例10. 问曲线,哪一点有垂直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得
10、,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点 (0 , 0) 有垂直切线,38,小结：,1. 导数的实质:,2. 导数的几何意义:,3. 可导必连续, 但连续不一定可导;不连续, 一定不可导.,4. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,增量比的极限;,切线的斜率;,法线的斜率,39,二、反函数的求导法则,三、复合函数的求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,函数的求导运算,四、基本求导法则与导数公式,40,基本初等函数的导数,41,0, sinx,cscxcotx,nxn1,0,.,.,.,.,.,.
11、,.,.,导数基本公式练习,42,导数基本公式练习,cosx,.,.,.,.,.,.,.,0,.,43,四则运算求导法则,定理2.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,则,推论:,( C为常数 ),44,解,例1,例2 y=ex (sin x+cos x) 求y,=2excos x,解,y=(ex)(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x),= e x,(sin x+cos x),+e x,(cos x -sin x),求导法则,45,反函数的求导法则,定理3.,y 的某邻域内单调可导,则,46,例3. 求(arcsin x),解,因为y
12、=arcsin x是x=sin y的反函数 所以,反函数的求导法则:,47,.,.,.,48,在点 x 可导,复合函数求导法则,定理4.,在点,可导.,复合函数,且,在点 x 可导,则,49,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,50,.,2,0,0,复合函数求导练习,.,.,.,.,.,.,.,51,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,复合函数求导练习,.,52,解,复合函数的求导法则:,例5,53,例6,复合函数的求导法则:,例7,解,解,54,1. 导数的四则运算法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,2.反函数求导法
13、则,总结,55,例8.,求,解:由于,56,例9. 设,求,解:,57,例10. 若,存在 , 求,的导数.,58,例11. 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,59,二、高阶导数的运算法则,一、高阶导数的概念,高阶导数,60,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,61,所以 y 3y10,证明,例1,62,设,存在，求下列函数的二阶导数,解:（1）,例2.,（1）,（2）,（2）,63,设,求,解:,依次类推 ,例3.,可得,n
14、 阶导数,64,例4. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,例5. 设,求,65,例6. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,66,例7. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,67,高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,68,例8.,求,解: 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,69,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼兹公式,总结：高阶导数的求法,70,常用高阶导数公式：,71,例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,(3),解:,72,二、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,隐函数和参数方程求导,三、相关变化率,73,一、隐函数的导数,显函数与隐函数形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数,把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化,例如 方程xy310确定的隐函数为,隐函数的求导法把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.,74,例1 求由方程eyxye0所 确定的隐函数y的导数,(ey)(xy)(e)(0),即 eyyy+xy0,
