《高等数学课件 1.2行列式性质与计算》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等数学课件 1.2行列式性质与计算(46页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、行列式的性质,一、行列式的性质,行列式 称为行列式 的转置行列式.,若记 ,则 .,记,性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 .,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,证明,根据行列式的定义,有,若记 ,则,行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.,验证,于是,推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.,证明,互换相同的两行,有 ,所以 .,备注:交换第 行(列)和第 行(列),记作 .,性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数 ,等于用数 乘以此行列式.,验证,我们以三阶行列式为例.
2、记,根据三阶行列式的对角线法则,有,备注:第 行(列)乘以 ,记作 .,推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,备注:第 行(列)提出公因子 ,记作 .,验证,我们以4阶行列式为例.,性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零,性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 例如:,则,验证,我们以三阶行列式为例.,性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变,则,验证,我们以三阶行列式为例. 记,备注:以数 乘第 行(列)加到第 行(列)上,记作 .,例,二、应用举例,计算行列式常用方法:
3、利用运算 把行列式化为 上三角形行列式,从而算得行列式的值,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 列都加到第一列得,例3 设,证明,证明,对 作运算 ,把 化为下三角形行列式,设为,对 作运算 ,把 化为下三角形行列式,设为,对 D 的前 k 行作运算 ,再对后 n 列作运算 , 把 D 化为下三角形行列式,故,(行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立).,计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,计算4阶行列式,思考题,思考题解答,解,行列式按行(列)展开,对角线法则只适用于二阶与三阶
4、行列式. 本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.,一、引言,结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.,思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示?,例如,把 称为元素 的代数余子式,在n 阶行列式中,把元素 所在的第 行和第 列划后,留下来的n1阶行列式叫做元素 的余子式,记作 .,结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素,所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,引理 一个n 阶行列式,如果其中第 行所有元素除 外都为零,那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积,即 ,例如,即有,又,从而,下面再讨论一般情形.,分析,当 位于第1行第1列时,我们以4
5、阶行列式为例.,思考题:能否以 代替上述两次行变换?,思考题:能否以 代替上述两次行变换?,答:不能.,被调换到第1行,第1列,二、行列式按行(列)展开法则,定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即,同理可得,例(例7续),证明 用数学归纳法,例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,所以n=2时(1)式成立.,假设(1)对于n1阶范德蒙行列式成立,从第n行开始,后行 减去前行的 倍:,按照第1列展开,并提出每列的公因子 ,就有,n1阶范德蒙德行列式,推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,分析 我们以3阶行列式为例.,把第1行的元素换成第2行的对应元素,则,定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即,推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,综上所述,有,同理可得,例 计算行列式,解,例 设 , 的 元的余子式和代数余子式依次记作 和 ,求,分析 利用,及,解,