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1、行列式的性质,一、行列式的性质,行列式 称为行列式 的转置行列式.,若记 ，则 .,记,性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 .,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,证明,根据行列式的定义，有,若记 ，则,行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,验证,于是,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有 ，所以 .,备注：交换第 行（列）和第 行（列），记作 .,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.,验证,我们以三阶行列式为例.
2、记,根据三阶行列式的对角线法则，有,备注：第 行（列）乘以 ，记作 .,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,备注：第 行（列）提出公因子 ，记作 .,验证,我们以4阶行列式为例.,性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：,则,验证,我们以三阶行列式为例.,性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,则,验证,我们以三阶行列式为例. 记,备注：以数 乘第 行（列）加到第 行（列）上，记作 .,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：
3、利用运算 把行列式化为 上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 列都加到第一列得,例3 设,证明,证明,对 作运算 ，把 化为下三角形行列式,设为,对 作运算 ，把 化为下三角形行列式,设为,对 D 的前 k 行作运算 ，再对后 n 列作运算 ， 把 D 化为下三角形行列式,故,(行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,计算4阶行列式,思考题,思考题解答,解,行列式按行(列)展开,对角线法则只适用于二阶与三阶
4、行列式. 本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.,一、引言,结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.,思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？,例如,把 称为元素 的代数余子式,在n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，留下来的n1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 .,结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,即有,又,从而,下面再讨论一般情形.,分析,当 位于第1行第1列时,我们以4
5、阶行列式为例.,思考题：能否以 代替上述两次行变换？,思考题：能否以 代替上述两次行变换？,答：不能.,被调换到第1行，第1列,二、行列式按行（列）展开法则,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,同理可得,例（例7续）,证明 用数学归纳法,例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,所以n=2时(1)式成立.,假设(1)对于n1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行 减去前行的 倍：,按照第1列展开，并提出每列的公因子 ，就有,n1阶范德蒙德行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,分析 我们以3阶行列式为例.,把第1行的元素换成第2行的对应元素，则,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,综上所述，有,同理可得,例 计算行列式,解,例 设 , 的 元的余子式和代数余子式依次记作 和 ，求,分析 利用,及,解,
