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1、第四章 线性方程组,4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,伟大的数学家,诸如阿基米得、牛顿和高斯等,都把理论和应用视为同等重要而紧密相关。 克莱因(Klein F,18491925),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.1 消元法,1.内容分布4.1.1 线性方程组的初等变换4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵4.1.3 线性方程组有解的判别 2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 线性方程组的消元解法,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,前一章中我们只讨论了这
2、样的线性方程组,这种方程组有相等个数的方程和未知量,并且方程组的系数行列式不等于零,在这一章我们要讨论一般的线性方程组:,在实际的解线性方程组时,比较方便的方法是消元法.,(1),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例1 解线性方程组:,从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍,来消去这两个方程中的未知量,(2),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,得到:,为了计算的方便,把第一个方程乘以 -2 后,与第二 个方程交换,得:,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,现在很容易求出方程组(2)的解. 从第一个方程 减去第三个方程的3倍,再从第二个方程减去第三 个方程,得,再从第一个
3、方程减去第二个方程的5/3倍,得:,这样我们就求出方程组的解.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,交换两个方程的位置; 用一个不等于零的数某一个方程; 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.,4.1.1 线性方程组的初等变换,线性方程的初等变换: 对方程组施行下面三种变换:,这三种变换叫作线性方程组的初等变换.,定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,线性方程组的(1)的系数可以排成下面的一个表:,而利用(1)的系数和常数项又可以排成下表:,(3),(4),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.1.2矩阵的初等变换,叫
4、做一个s行t列(或st)的矩阵,,叫做这个矩阵的元素.,注意:矩阵和行列式在形式上有些类似,但有完全不同的意义,一个行列式是一些数的代数和,而一个矩阵仅仅是一个表.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,矩阵(3)和(4)分别叫作线性方程组(1)的系 数矩阵和增广矩阵. 一个线性方程组的增广矩阵显 然完全代表这个方程组.,定义2 矩阵的行(列)初等变换指的是对一个矩阵 施行的下列变换:,3) 用某一数乘矩阵的某一行(列)后加到另一行 (列),即用某一数乘矩阵的某一行(列)的每一 个元素后加到另一行(列)的对应元素上.,1) 交换矩阵的两行(列),2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行(列),即
5、 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行(列)的每一 个元素;,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,显然,对一个线性方程组施行一个初等变换,相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换,而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法,就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次把未知量写出.,在对于 一个线性方程组施行初等变换时,我们的目的是消去未知量,也就是说,把方程组的左端化简. 因此我们先来研究,利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题. 在此,为了叙述的方便,除了行初等变换外,还允许交换矩阵
6、的两列,即允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置,这不影响对方程组的研究.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,在例1中,我们曾把方程组(2)的系数矩阵,先化为,然后,进一步化为,定理4.1.2 设A是一个 m行n列的矩阵:,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为 以下形式:,(5),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,进而化为以下形式,,(6),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,乘第一行,然后由其余各行分别减去第一行的适 当倍数,矩阵A化为,若B 中,除第一行外,其余各行的元素都是零,,宁波工程学院理学院高等
7、代数课程组制作,那么B 已有(5)的形式. 设B 的后m 1 行中有 一个元素b 不为零,把b 换到第二行第二列的 交点位置,然后用上面同样的方法,可把B 化为,如此继续下去,最后可以得出一个形如(5)的矩阵.,形如(5)的矩阵可以进一步化为形如(6)的矩阵是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,显然的. 只要把由第一,第二,第r 1 行 分别减去第r 行的适当倍数,再由第一,第二, 第r 2行分别减去第r 1行的适当倍数,等等.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.1.3用消元法解线性方程组,考察方程组(1)的增广矩阵(4). 由定理4.1.2,我们可以对(1)的系数矩阵(3)施行一
8、些初等变换而把它化为矩阵(6). 对增广矩阵(4)施行同样的初等变换,那么(4)化为以下形式的矩阵:,(7),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,与(7)相当的线性方程组是,(8),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由于方程组(8)可以由方程组(1)通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到,所以由定理4.1.1,方程组(8)与方程组(1)同解. 因此,要解方程组(1),只需解方程组(8). 但方程组(8)是否有解以及有怎样的解都容易看出.,情形1,,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,情形2,,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,当r 0 . 这时,矩阵(3)含有一个r 阶的子
9、式:,定义1 在一个s行t列的矩阵中,任取k行k列,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩. 若一个矩阵没有不等于零的子式,就认为这个矩阵的秩是零. 按照定义,一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的行的个数,也不能超过它的列的个数. 一个矩阵A的秩用秩A来表示. 显然,只有当一个矩阵的元素都为零是,这个矩阵的秩才能是零.,这个子式不等于零. 但矩阵(3)不含阶数高于r的不等于零的子式. 这是因为;在r = m 或r = n 时,矩阵(3)根本不含阶数高于r的子式;而当r m , r r . 那么有三种可能的情形: D不含第i 行的元素,这时D
10、也是矩阵A的一个s阶子式,而s大于A的秩r ,因此D= 0.,设把一矩阵的第j 行乘以k加到第i行而得到矩阵B:,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,因为后一行列式是矩阵A的一个s阶子式., D含第i行的元素,也含第j行的元素. 这时,由命题3.3.10,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这里,D含第i行的元素,但不含第j行的元素,这时,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,但我们也可以对矩阵B 施行第三种行初等变换而得到 矩阵A. 因此,也有,因此,在矩阵B有阶数大于r的子式的情形,B 的任何 这样的子式都等于零,而B的秩也不超过r . 这样,在任何情形,都有,这样,我们也就证明了,秩A = 秩B ,即第三种行初等变换不改变矩阵的秩. 对于其它的初等变换来说,我们可以完全类似地证明定理成立. 这样,我们就解决了前面的第一个问题(甲).,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.2.2 线性方程组可解的判别法,定理4.2.2 (线性方程组可解的判别法)线性方程组(1)有解的充分且必要条件是:它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.,