换元思想在微积分中的应用

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1、换元思想在微积分中的应用 摘要：换元思想是解决数学问题的重要思想方法之一，它渗透到数学领域的各个方面，对提高我们解决数学问题能力方面有着非常重要的意义利用换元法求解问题的关键是理解换元的思想，在具体的问题中要能够把握如何换元，在“元”不明显的时候，要能构造“元”.对一个具体的问题，换元式的选取，不是唯一的，但也不是随意的，如何根据题形的特征，选取它的换元式，至关重要.本文通过对微积分中换元法的研究，充分展示和体会换元思想方法的妙用关键词：换元思想；微积分；应用引言不论在自然科学领域，还是社会科学领域，都存在着大量问题需要人们解决解决问题的方法很多通过合理假设，抓住问题的主要矛盾，将实际问题转化

2、为数学问题，即将实际问题数学化，从而可利用数学方法解决数学问题自身也不例外，换元法就是解决数学问题经常采用的有效方法之一其基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，实现从未知向已知转化，从而达到解决问题的目的所谓换元是指引入一个或几个新变量代替原式中的某些变量，使得原式中仅含有这些新变量，然后对新变量求出结果，通过回代求出原变量的结果下面就通过具体例子来谈谈换元法的应用.一、换元法在求积分中的应用换元积分法是不定积分和定积分运算中极为重要的一种方法，它是由复合函数的导数公式反转过来的，它对求不定积分和定积分的重要性如同复合函数的导数公式对求导运算的重要性一样，因此，正确的掌握换元积分法是学好

3、求不定积分和定积分的关键.1、不定积分中的换元积分法换元积分法是求不定积分经常使用的重要方法之一，熟练掌握变量替换公式是正确计算不定积分的重要一环.不定积分的变量替换公式有两种用法：(1)将函数替换为变量，称为第一换元积分法（也称“凑”微分法）. 2若函数u= (x)在a,b可导，且 (x)， u,，有，则函数 存在原函数 ，即 =)(ufF)(xf )(xFdxf)(，或 ,是将被积cx cudfdfd)(表达式“凑”成微分的形式，亦称“凑”微分法.这种方法最根本的就是体现在这个“凑”字上，通过拼凑使原本不能利用公式求的积分变为可应用公式求了其实“凑”的过程也是一个求原函数的过程因此要想熟练

4、运用这种方法，除应牢固掌握微积分基本公式外,还要了解一些常用微分形式，如： e (x+1)dx=d(xe ),(xcosx+sinx)dx=d(xsinx),xx(1+ )dx=d(x- ),(1+x)dx=d(xx)等.21下面是“凑”微分法的几种具体运用：直接“凑” 即将被积函数中的某个函数直接与dx凑成微分形式，然后利用公式求.例1：求 .xdln解： = = = .xllxdlncl分部“凑” 被积函数形式较为复杂，直接观察不易凑成微分形式，可先将部分因子化简后，分部来凑.例2：求 dx1ln2解：由于 = , = ，)l()l(x1=dx1ln2 dln2= )1l()l(1l xx

5、= dlnl3= （ln ） +c.41x2变形后“凑” 有些积分通过恰当的变形（加、减、乘、除某些因子）后，可以使用“凑”微分法.例3：求 .)1(6xd解：由于 及 ,被积函数分子分母同乘以x ，则 =565)1(6xd=)1(6xd)1(6d= 66xx= x -(x +1)+c= +c.616x(2)将变量替换为函数，称为第二换元积分法.若函数x= 在 , 可导， 且 0.函数 在 , )(t)(t)(t)(xf有定义， t , ,有 ,则函数 在 , 存在原函数，)(ftGxf且 =G +c.dxf)()(1第二换元积分法可表为 = ,由于第一换元积dxf)( ctGdtf)()(分

6、法中新变量往往不必出现，因此这是一种“真正意义”的换元，但要注意的是必须将换元积分后函数的变量换回原变量.例4：求 .dx2)ln(1解：令x= ,则 t4= =-dx2)ln(1dtt)1(ln(2dtt2)ln(=- = +c2)l1(ttl= +c.xln例5:求不定积分 ( 0).da2a解：令x= ,0 ,或 ,dx= ,有tasecttgdsec= = .dx2tgdatsecta（1）当x 时，有0 ， ,att从而 = = = +C.dx2tga2dt1sec2)(tga而 = = = .tg1)(sec2t2x于是有 = - arccos +C.dxa22axa（2）当x -

7、 时，有 t ， ,tg从而 ， Ctgadtatdxa )()1(sec222而 =- =- ,1sec2ttg12x于是有 = + arccos +C.dxa22axa5综合(1)与(2)，得到 =dxa2.,arcos,22 ax当 当2、定积分中的换元积分法 定积分中大部分换元的思路与方法和不定积分十分相似，不过计算中注意“换元必换限，上限变上限，下限变下限”.但有一些换元需利用定积分本身的性质，是不定积分所没有的.例 6：求 .102)ln(dx解：令 ,则当 时， .tgx10:40:= =102)ln(d402sec)ln(dtg0cosinld=40cos)(lt4令 04)(

8、cs2lt=40)sin(c21lndtt=40sioltt=2 +401)cinl(dtt= 2- .40osilt所以 = 2.102)ln(dx8二、换元法在求极限中的应用 换元法这一重要的数学思想方法不仅在求积分中有重要的作用，而且在求极限中也有广泛的应用. 6例 7:求 .)21(limxx6解：令 z= ,x 时 z 0,故= = = =e .xx6)21(limzz120)(li 120)(limz120)(lizz例 8：求 .xx3arcsinli0解：令 ,则 时，t 0,故tri 0,ixt= = = .x3arcsn2lm0ttsi2l0ttsinlm302例7、例8两

9、道题利用换元法将一般的求极限问题转化为重要极限，使问题变得更加简单.例9：求 .1li)0,(, xyyx解：令 时， .故),(t 0t.2)1(lim)1(li1lim1li 000)0,(, tttxy tttyx这道题利用换元法将二元函数极限问题转化为易于解决的一元函数的极限问题.三、换元法在求导数中的应用 对求导数的某些问题，初看起来，难以入手或过程复杂，利用换元思想解决，往往事半功倍.例10： ，求 .yxz2)1(z解：该函数为幂指函数，直接求 较难下手.y令 ,则 .yxvu2,1vuz由多元复合函数求导法则得721lnxuvuyzuyz v.)1ln()1(l)(12122

10、22 xyyxyxx这道例题属于幂指函数求偏导问题，直接计算不易求解，但通过换元方法将其转化为多元复合函数的求导问题，从而使问题易于解决.例11： ，求 .xey2)20(y解：直接求 需连续求20次一阶导数，很复杂.)0(设 ，套用莱布尼茨公式 ，22,xveu )(0)( knknvuCuv则可较为简单求出20)(20()(kkvuCy)20()17(320)18(20)19(20)(20 uvCvuC8 xxx eee.)5(20本例题要求高阶导数，直接求解较复杂，利用换元法后可直接套用莱布尼茨公式进行求解，过程也较简单.四、换元法在解微分方程中的应用 换元思想不论在初等数学领域还是在高

11、等数学领域都有着广泛的应用，这种换元思想在常微分方程中也有着充分体现.例12：求 的通解.2xyd解：原方程即 ，1xy8令 ，则 ，uxyx.d于是原方程变为最为简单的可分离变量型微分方程 1ux分离变量得 ，xd即 .u)1(两边积分得 ， lnxC回代变量得原方程的通解（C为任意常数）.xyxl本题通过换元法将原方程转化为最简单的可分离变量型微分方程，从而使题目变得简单、易于求解.例13：求微分方程 (x0,y0)的通解.yxy24解：将原方程改写为 21这是一个伯努利微分方程，因 ，n故作代换 ,21yu21yu代入原方程并整理，化为我们熟悉的一阶线性微分方程, x它的通解为 ,)(l

12、n2Cu将u换成 ,得原方程的通解21y9.24)(lnCxy这道题通过换元法将伯努利微分方程转化为我们熟悉的一阶线性微分方程使题目本身的难度降低，从而很容易求解.例14：求方程 的通解.221xy解：令 ， ，则原方程的参数形式为xp（4）,21,2xpy由此得 .d即 .012由 ，得 代人(4)的第三式，得原方程的一个特解 .xp2xp 42xy再由 ，解得 ，代人(4)的第三式，得原方程的通解 01dc.221xy这道题通过换元法将形如 的方程转化为参数形式，从而使原方程0),(F的通解易于求解.例15：求微分方程 的通解.2y解：这是一个不显含 的二阶微分方程，x作代换 ,则 ,py

13、 dyp原方程化为一阶微分方程,即 .02pdy0)(pdy(1)当 时，由 得 (C为任意常数).C10(2)当 时，有 ，即 ，0p0pdypdy分离变量得 ,P积分得 ,即 .yCp1ydx1再分离变量，求积分得通解(C1、C 2为任意常数).xey12本例题原是一个不显含 的二阶微分方程，直接解起来有一定的难度，通过换元法将其转化成比较简单的一阶微分方程，易于求解.例16：求解方程 （这里 ）.033xydxy解：令 ，则由方程得 ，tpy 31t从而 ，321t于是 ，dttdy32)(9积分之，得到 ctt2332)1(4)1(因此，方程的通解表成参数形式： .)1(42323ct

14、ytx本例题通过换元法使形如 的微分方程易于求解.0),(xF结束语通过本文的论述，我们知道，换元思想是一种重要的数学思想，本文仅从换元思想在微积分计算中的应用这一个方面着手做了一定的研究.但是，换元思想在微11积分的整个理论体系中都有着广泛的应用，大量的理论推导及证明都涉及到换元思想.其中，换元思想是换元法的依据，而换元法在数学中扮演着非常重要的角色，它是通过代换未知量来解题的一种方法，在具体的问题中常常可以使高次转化为低次，分式转化为整式，无理式转化为有理式；而在一般情况下通过换元可以使形式复杂的问题转化为形式简单的问题，生疏的问题转化为熟悉的问题，困难的问题转化为容易的问题，从而使问题得到有效解决.参考文献1刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上) M.北京:高等教育出版社,1992 .6.2李庆春,高述春.数学分析的内容与解题方法M.青岛海洋大学出版社,1991 .6 .3华东师范大学数学系编.数学分析(第二版).北京:高等教育出版社,1996.4刘玉琏,杨奎元,吕 风,等.数学分析讲义学习指导书M.北京：高等教育出版社，l987.5亢红道,罗开秀.中学数学解题对策M.昆明:云大出版社,2003.10.6.6邵铭心.谈可换元方程J