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1、第3节 函数的基本性质,考纲展示 1理解函数的单调性,会讨论和证明函数的单调性;理解函数的奇偶性,会判断函数的奇偶性 2理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求函数的最大(小)值 3会运用函数图象理解和讨论函数的性质,1单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),则f(x)在区间D上是减函数,2单调区间 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间,,完全免费,无需注册,天天更新!,提示:函数的单调区间是其定义域的子集,如果一个函数在其定
2、义域内的几个区间上都是增函数(或减函数),不能说该函数在其定义域上是增函数(或减函数),也不能将各个单调区间用“”连接,而应写成(,0)和(0,),3函数的最值 (1)函数的最大值:一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: 对于任意的xI,都有f(x)M; 存在x0I,使得f(x0)M. 那么,我们称M是函数yf(x)的最大值 (2)函数的最小值:一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数N满足: 对于任意的xI,都有f(x)N; 存在x0I,使得f(x0)N. 那么,我们称N是函数yf(x)的最小值,函数的最值是函数在其定义域上的一个整体性质,它与值域有着密切的关系
3、函数的值域一定存在,但最值不一定存在,对于在一个闭区间上的连续函数f(x)来说,它一定有最小值m,也一定有最大值M,这时函数的值域是m,M,4函数的奇偶性 (1)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数,偶函数的图象关于y轴对称 (2)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数,奇函数的图象关于原点对称,1若函数f(x)ax1在R上递减,则函数g(x)a(x24x3)的增区间是( B ) (A)(2,) (B)(,2) (C)(2,) (D)(,2),解析:由f
4、(x)在R上递减知a0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1x2x3x4_.,思路点拨:根据已知条件分析函数f(x)在8,8的单调性,对称性,画出图象进行求解 解析:f(x)为奇函数并且f(x4)f(x) f(x4)f(4x)f(x),即f(4x)f(x), 且f(x8)f(x4)f(x),yf(x)的图象关于x2对称,并且是周期为8的周期函数, f(x)0,2上是增函数,f(x)在2,2上是增函数,在2,6上为减函数,据此可画出yf(x)的示意图象, 其图象也关于x6对称,,(1)奇函数在原点两侧具有相同单调性,而偶函数在原点两侧具有相反的单调性 (2)有关抽象函数涉及
5、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质时,可考虑结合函数的图象特征,运用数形结合的思想方法求解,变式探究31:(2010年浙江省五校模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x22x,若f(2a2)f(a),则实数a的取值范围是( ) (A)(,1)(2,) (B)(1,2) (C)(2,1) (D)(,2)(1,),解析:当x0时,f(x)x22x为增函数, 又f(x)是定义在R上的奇函数, f(x)在R上为增函数 f(2a2)f(a),2a2a, a2a20,2a0)上的奇函数,若g(x)f(x)2,则g(x)的最大值与最小值之和为( ) (A)0 (B)2 (C)4 (D)
6、不能确定,解析:设M是f(x)的最大值,则M是f(x)的最小值, g(x)maxg(x)minf(x)max2f(x)min24,故选C.,错源:不注意分段函数的特点,【选题明细表】,解析:由函数单调性定义知选C.,2(2011年安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数,则f(1)的值( A ) (A)恒为正数 (B)恒为负数 (C)恒为0 (D)可正可负,解析:f(0)0,f(x)在R上递增,f(1)f(0)0,故选A.,解析:由题意知f(x)为偶函数,所以f(2)f(2),又x0,)时,f(x)为减函数,且321,f(3)f(2)f(1),即f(3)f(2)
7、f(1),故选A.,4(2010年高考安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)1,f(2)2,则f(3)f(4)等于( A ) (A)1 (B)1 (C)2 (D)2,解析:由f(x)是R上周期为5的奇函数知 f(3)f(2)f(2)2, f(4)f(1)f(1)1, f(3)f(4)1,故选A.,6(2010年安徽四市联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1x)f(1x),且f(x)在区间3,5上单调递增,则函数f(x)在区间1,3上的( A ) (A)最大值是f(1),最小值是f(3) (B)最大值是f(3),最小值是f(1) (C)最大值是f(1),最小值是f(2)
8、 (D)最大值是f(2),最小值是f(3),解析:依题意知,f(x)的图象关于x1对称,且f(x1)f(x1), f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x),因此函数f(x)是以4为周期的函数由此可知,f(x)在3,1和1,3上是减函数,f(x)在1,3上的最大值为f(1),最小值是f(3),故选A.,二、填空题,,三星学科,教师助手,学生帮手,家长朋友!,三、解答题 9已知函数f(x)x2(x0) (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若f(1)2,试判断f(x)在2,)上的单调性,10设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f(x)g(x)f(x)g(x)0且g(3)0,则不等式f(x)g(x)0的解集为 ( A ) (A)(,3)(0,3) (B)(3,0)(0,3) (C)(,3)(3,) (D)(3,0)(3,) 解析:(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0 f(x)g(x)在x0上单调递增, 又f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, f(x)g(x)在R上是奇函数,且在x0上单调递增, 又f(3)g(3)f(3)g(3)0, f(x)g(x)0的解集为(,3)(0,3)故选A.,,完全免费,无需注册,天天更新!,