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1、复合函数的导数,一、复习与引入：,1. 函数的导数的定义与几何意义.,2.常见函数的导数公式.,3.导数的四则运算法则.,4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢?,又如我们知道函数y=1/x2的导数是 =-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?,为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算法则,这就是复合函数的导数.,二、新课复合函数的导数：,1.复合函数的概念:,对于函数y=f (x),令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f (
2、x) 是自变量x的复合函数.,2.复合函数的导数:,设函数 在点x处有导数 ,函数y=f(u)在 点x的对应点u处有导数 ,则复合函数 在点x处也有导数,且 或记,如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 从而 .结果与我们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.,在书写时不要把 写成 ,两者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变量 的求导.,3.复合函数的求导法则:,复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间 变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.,法则可以推广到两个以上的中间变量.,求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系
3、,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再选中间变量.,复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导数,逐步掌握复合函数的求导法则.,三、例题选讲：,例1:求下列函数的导数:,解:设y=u5,u=2x+1,则:,解:设y=u-4,u=1-3x,则:,解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:,说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.,例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;,解:,(3)y=tan3x;,解:,(2),解:,(4),解:,(5):y=
4、sin2(2x+/3),法一:,法二:,练习1:求下列函数的导数:,答案:,例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度.,解:由已知知:圆半径R=R(t),且 = 2cm/s.,又圆面积S=R2,所以 =40(cm)2/s.,故圆面积增加的速度为40(cm)2/s.,例4:在曲线 上求一点,使通过该点的切线平行于 x轴,并求此切线的方程.,解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:,切线斜率,把x0=0代入曲线方程得:y0=1.,所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.,例5:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9
5、y2=72在交 点处的切线互相垂直.,证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.,联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨 证明过P点的两条切线互相垂直.,由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得,同理由4x2+9y2=72得,因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.,例6:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x),解:,说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法 则.,我们曾经利用导数的定义证明过这样的一
6、个结论: “可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加以证明:,证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x 求导得: ,故 为 奇函数.,同理可证另一个命题.,我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函数.,证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).,两边同时对x求导得: 即 也是以T为周期的周期函数.,例7:求函数 的导数.,说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达 式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用 定义来讨论
7、分段点的可导性.,解:当x1时, .,又 ,故f(x)在x=1处连续.,而,从而f(x)在x=1处不可导.,四、小结：,利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变 量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体, 这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.,在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线 问题,但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限 的情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意
8、点的切线怎样求的问题,由于它涉及到隐函数的求导问题.我们不便去过多的去研究.,下面举一个例子使同学们了解一下求一般曲线在任意点的切线的方法.(说明:这个内容不属于考查范围.),例子:求椭圆 在点 处的切线方程.,解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x 的函数)得:,于是所求切线方程为:,备用,利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:,(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程是: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.,(2)过椭圆 上一点P0(x0,y0)的切线方程是:,(2)过椭圆 上一点P0(x0,y0)的切线方程是:,(4)
9、过抛物线y2=2px上一点P0(x0,y0)的切线方程是:y0y =p(x+x0).,(3)过双曲线 上一点P0(x0,y0)的切线方程是:,证:设x有增量x,则对应的u,y分别有增量u, y.,因为 在点x处可导,所以 在点x处连续.因此当x 0时, u 0.,当u0时,由 ,且 得:,当u=0时,公式也成立.,上面的证明其实不是一个很严格的证明,而且中间还会有不少的疑问,譬如, u=0时公式也成立, 怎样去理解;x 0时与u 0时的极限相等问题等等.因此同学们只要了解公式证明中的基本思想和方法即可,不必过多的去深究证明的过程.因为事实上,还有更严格的证明.,上海保健 上海保健 xrg08
10、yua 口气，趴在桌子上。由于动作过猛，吹起了写着作文的纸，突然发现还有一张纸是空白的。慕容凌娢拿起来一看，顿时有种想骂人的冲动。这上面居然还有两道题。第一道九百九十九文钱，及时梨果买一千。一十一文梨九个，七枚果子四文钱。问:梨果多少价几何?小学级别的数学题，绝对是送分题。慕容凌娢飞快点的算出了答案。第二题算是几何题，用勾股定理求证边长。慕容凌娢很轻松的写出了求证过程。然后以下就是她的懵逼时间盯着写满整张纸的阿拉伯数字发呆这个朝代的人估计不会支持使用阿拉伯数字吧不知怎么了，她居然在悲愤纠结中睡了过去。被拽醒时，她依稀记得那个收卷人嫌弃的表情。毕竟她的睡相很糟糕，而且还把试卷压得死死的浑浑噩噩的
11、走出号房，慕容凌娢感觉已经是生无可恋了，就像马上要开家长会了一样。等等！这个年代好像没有家长会吧？那我怕个毛线！太阳落了明早依旧爬上来劳资考砸明天还是一样的嗨大不了换个路线，或者三年之后再考。慕容凌娢绕开人员密集的地带，不仅感叹，没想到这个时代的人居然也会对答案。可惜啊我连个可以对答案的人都没有。还是赶快回去吧慕容凌娢走到了贡院的正门附近，看见门前站着几人，应该也是在讨论题目的考生，本想要直接走过去。结果其中一人无意间回眸，吓得慕容凌娢赶紧窜回了人多的地方。我去我怎么这么倒霉啊。那个是张祁渊吗？应该是的，也许是的，很可能是我骗谁啊！明明就是。他好像看到我了，怎么办怎么办慕容凌娢有种身体被掏空的
12、紧张感。诶他好像没有见过我长什么样吧对，他绝对不认识我，不认识我柯蒂丽娅隐藏在一群人中，跟着他们出了贡院。“祁渊，你怎么心不在焉的？”“没什么。”张祁渊温煦一笑，“好像认错了人”出了贡院，慕容凌娢快步往回走，生怕张祁渊出来时认出她。“这位姑娘情留步。”好像是冲着自己叫得慕容凌娢回头到一半，然后又赶快扭了回来。差点就露馅了自己现在可是穿的男装啊。可是这说话的声音怎么有点熟悉呢？第080章 天机不可泄露迟疑了片刻，慕容凌娢终于回过头。发现路边坐着一个算命先生，留着很长的胡子，身前的桌子上摆着铜钱，周易，挂签之类的东西。桌旁摆着的旌旗上还写着“胡半仙”。历史果然总是惊人的相似，当年夏桦不就是这样把自己骗到晴穿会嘛。慕容凌娢不禁多打量了那个算命先生几眼，结果发现算命先生也正在看着自己。反正闲着也没事，慕容凌娢就走了过去。好奇心害死猫的剧情又有了进展。“你在叫我？”“是啊。”“你认识我？”“没错。”“你知道我女扮男装？”“当然。”“我去666，你开挂了？”“没,
