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1、第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,3.1 周期信号的傅里叶级数,一三角傅里叶级数,其中，,，为基波频率，,为n次谐波频率。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,其中，傅里叶系数,和振幅,，相位,之间的关系为,可以看出，,和,都是,的偶函数，,和,都是,的奇函数。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,二指数傅里叶级数,（设,）,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,因,，从而得到傅里叶级数的指数表达式,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,图形称为相位谱；而描述,3.2 周期信号的频谱,描述,和,间
2、关系的图形称为幅度谱；描述,和,间关系的,和,间关系的图形称为复数振幅谱。,如图所示，一周期矩形脉冲信号,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,其一个周期的函数表达式为,将其展开成三角傅里叶级数,该信号第n次谐波的振幅,振幅值与,之比有关。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,设,，周期矩形脉冲信号的振幅谱、相位谱如图,其中，使,的,为,(,)。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,当,不变，随着T的增大，其谱线间的间隔即基波频率,随之减小，,频谱相应地变密集。,一般周期信号振幅谱的特性：,一. 离散性，即由不连续的线条组成；,二. 谐
3、波性，即频谱只出现在基波频率,的整数倍频率上；,三. 收敛性，各条谱线的幅值随着谐波次数的增高而逐渐减小。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,还可以将周期矩形脉冲信号展开成指数傅里叶级数，即,从而可得其复振幅频谱，如图所示（,）,幅度的正负变化，对应着相位0和,的变化。,正负频率对应的两条谱线矢量相加起来，才代表一个实际频率分量的幅度。指数形式负频率的出现完全是数学运算的结果，并无任何物理意义。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,对于一个信号，将从零频率开始到所需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围，,）的,或,，有,称为信号所占有的频带宽度。对于
4、图3.2所示的具有取样函数形式（,频谱，常把从零频率开始到频谱包络线第一次过零点的那个频率之间的频带作为,信号,的频带宽度，记作,或,可见，信号的频带宽度只与脉宽,有关且成反比，这是信号分析中最基本的,特性，即信号的频宽与时宽成反比。也就是说时间函数中变化较快的信号必定,具有较宽的频带。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,常用的周期信号的傅里叶级数,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,函数的对称性与傅里叶级数的关系,1偶函数,偶函数的傅里叶级数中，只包含有直流分量和余弦项谐波分量,而不含有正弦项谐波分量。,，,2奇函数,奇函数的傅里叶级数中，只有正弦项
5、谐波分量,，而无直流分量,和余弦项谐波分量,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,3奇谐函数和偶谐函数,满足,的函数,即为奇谐函数，其信号波形沿时间轴平移,半个周期并相对于时间轴上下反转后，波形不发生变化。如图所示。,（n为偶数）,（n为奇数）,（n为奇数）,在奇谐函数的傅里叶级数展开式中，只包含有基波和奇次谐波的正弦和,余弦项，不含偶次谐波项。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,满足,的函数,即为偶谐函数，其信号的任意,半个周期的波形与前半周期波形完全相同。,同理可以得出，其傅里叶级数展开式中，只包含偶次谐波分量，,不含奇次谐波分量。,第三章 连续时间
6、信号与系统的频域分析,Chapter3,3.3 非周期信号的傅里叶变换,以周期矩形信号为例，其频谱图如图所示，当周期T无限增大时，则周期信号就转化为非周期性的单脉冲信号。所以可以把非周期信号看成是周期T趋于无限大的周期信号。,当周期信号的周期T增大时，谱线的间隔,变小，若周期T趋于,无限大，则谱线的间隔趋于无限小，这样，离散频谱就变成了连续频谱；而,各分量的振幅将趋于无穷小，不过这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。,频谱密度函数。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,将周期信号,展开成指数形式的傅里叶级数的系数,上式两边同乘以,，得到,对于非周期信号，当周期,，则角频率,
7、，谱线间隔,，而离散频率,。在这种极限情况下，,，但,趋近于有限值，且变成一个连续函数，通常记为,，即,式中,表示单位频带的频谱值即频谱密度，因此,称为原函数,的频谱密度函数，也简称为频谱函数。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,同理，对于傅里叶级数,可改写为,当周期,时，谱线间隔,，而离散频率,，,，,，可改写为,非周期信号的傅里叶变换。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,傅里叶变换存在的充分条件是,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,3.4 常用信号的傅里叶变换,1. 单边指数衰减信号,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,C
8、hapter3,2. 双边指数衰减信号,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,3. 矩形脉冲信号,通常将,时的矩形脉冲信号称为门函数用,表示。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,4. 单位冲激信号,由单位冲激函数的定义及筛选性质有,即,“均匀谱”或“白色谱”。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,5. 直流信号,不满足绝对可积条件，不能直接计算其频谱函数。,看作双边指数信号当,的极限情况,直流信号的频谱函数在,处含有频域的冲激函数。该冲激函数的冲激强度为,于是，有,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,此结果还可由门
9、函数取,的极限求得。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,6. 符号函数,借助于符号函数与双边指数衰减函数相乘，先求得此乘积信号,的频谱，,的频谱。通常称,为奇双边指数衰减,然后取极限，得到符号函数,信号，其波形如图。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,先求乘积信号,的频谱,。,从而,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,再求符号函数,的频谱,所以,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,7. 单位阶跃函数,单位阶跃函数,可以看作幅度为,的直流信号与,函数之和。即,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3
10、,8. 一般周期信号的傅里叶变换,首先讨论复指数函数,的傅里叶变换,由,有,即,因为,为偶函数，则,积分变量,代换,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,周期为T的周期信号,的指数傅里叶级数表示式为,其中,是,的傅里叶级数的系数,周期信号,的傅里叶变换是由一系列冲激函数组成，这些冲激位于信号的谐波,频率,处，每个冲激的强度等于,的傅里叶级数相应系数,的,倍。,周期信号的频谱是离散的,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不等于傅里叶级数，这里不
11、是有限值，而是冲激函数，它表明在无穷小的频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱值。,从周期性脉冲序列,中截取一个周期，得到所谓单脉冲信号。它的傅里叶,等于,变换,显然可以得到,周期脉冲序列的傅里叶的级数,等于单脉冲的傅里叶变换,在,频率,。,点的值乘以,利用单脉冲的傅里叶变换式可以很方便地求出周期性脉冲序列,的傅里叶系数。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,例 若周期单位冲激序列的间隔为T，用符号,表示，即,求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。,解 因为,是周期函数，所以可以把它展成傅里叶级数,可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于,的频率分量，每个频
12、率分量的大小是相等的，均等于,。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,下面求,的傅里叶变换。,因为,，所以，,的傅里叶变换为,可见，周期单位冲激序列的傅里叶变换是位于频率,处的一系列冲激函数，其强度均等于,。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,例 已知周期矩形脉冲信号,如图。求其傅里叶级数与傅里叶变换。,解 设单矩形脉冲,的傅里叶变换,周期矩形脉冲信号的傅里叶级数的系数,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,这样,的傅里叶级数为,可得到,的傅里叶变换,第三章 连续时间信号与系统的
13、频域分析,Chapter3,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,一些常用函数的频谱函数,时间函数,频谱函数,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,3.5 傅里叶变换的性质,1. 线性性质,若,和,，则,傅里叶变换是一种线性运算，它满足齐次性和叠加性。,2. 延时性质,若,，则,信号,在时域中沿时间轴右移,，等效于在频域中频谱乘以因子,，也就是说信号右移后，其幅度谱不变，只是相位谱产生了附加变化,。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,3. 频移性质,若,，则,可见，若时间信号,乘以因子,，等效于,的频谱,；,或者说在频域中将频谱沿频率轴
14、右移,沿频率轴,右移,，等效于在时域中信号乘以,。,所以，若时间信号,乘以,或,，等效于,的频谱,一分为二，沿频率轴向左向右各平移,。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,4. 尺度变换性质,若,，则,另外，不难证明：,信号在时域中压缩,等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中,扩展,则等效于在频域中压缩。,信号的脉宽与其占有的频带宽度成反比。这一重要结论与前面对周期信号频谱分析的结论是一致的。所以在通信技术中，信号的传输速率（每秒钟传输的脉冲数）与所占用频带是矛盾的。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,5. 对称性质,若,，则,若,是,偶函数,可见，在
15、一般情况下，若,的频谱为,，则,的频谱可利用,给出。当,为偶函数时，那么形状为,的波形，其频谱必为,。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,例 求信号,的频谱函数。,解 因为双边指数衰减信号的傅里叶变换为,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,6. 时域微分性质,若,，则,可见，在时域中,对t取n阶导数等效于在频域中,的频谱,乘以,7. 频域微分性质,若,，则,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,8. 时域积分性质,若,，则,
16、如果,，上式可化简为,即,同理可导出,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,9. 奇偶性,在一般情况下，,的傅里叶变换,是复函数，可写成,显然,（1）当,是实函数时，因为,则有,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,即满足,即实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数。,若,在积分区间内为实奇函数，即,则,则,必为,的虚奇函数。,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,（2）当,是虚函数时，即,，则,显然,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,Chapter3,10. 卷积定理,（1）时域卷积定理,若,、,，则,时域卷积定理说明两个时间函数卷积的频谱等于两个时间函数频谱的乘积，即在时域中的卷积运算等效于在频域中的频谱相乘。,（2）频域卷积定理,
