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1、2018年9月3日,1,2018年9月3日,2,2018年9月3日,3,最优控制理论与应用,第一章 最优控制问题的一般概念,第二章 最优控制的变分方法,第三章 极小值原理及其应用,第四章 线性二次型问题的最优控制,第五章 动态规划,2018年9月3日,4,一 基本概念 最优控制理论中心问题： 给定一个控制系统（已建立的被控对象的数学模型），选择一个容许的控制律，使被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到极小值（或极大值）,第一章 最优控制问题的一般概念,2018年9月3日,5,二 最优控制问题,1 例子,飞船软着陆问题 宇宙飞船在月球表面着陆时速度必须为零，即软着陆，这要靠发动机的推
2、力变化来完成。问题是如何选择一个推力方案，使燃料消耗最小。,m 飞船的质量，h 高度，v 垂直速度， g 月球重力加速度常数，M 飞船自身质量 F 燃料的质量,2018年9月3日,6,软着陆过程开始时刻t为零,末端条件,2018年9月3日,7,性能指标,控制约束,任务：满足控制约束条件下，求发动机推力的 最优变化律，使登月舱由初始出发点到达目标处 （末态），并使性能指标达到极值（燃耗量最小）,2018年9月3日,8,例2 火车快速运行问题 设火车从甲地出发，求容许控制，使其到达乙地时间最短。m 火车质量； 火车加速度；u（t）产生加速度的推力且 火车运动方程,2018年9月3日,9,2 问题描
3、述,(1) 状态方程 一般形式为,为n维状态向量,为r维控制向量,为n维向量函数,给定控制规律,满足一定条件时，方程有唯一解,2018年9月3日,10,(2) 容许控制,：,2018年9月3日,11,(4) 性能指标,对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标,积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求,终点型指标，表示仅对终点状态的要求,2018年9月3日,12,最优控制的应用类型,积分型1）最小时间控制2）最小燃耗控制3）最小能量控制,2018年9月3日,13,末值型复合型 1）状态调节器2）输出跟踪系统,2018年9月3日,14,最优控制的研究方法,解析法：适用于性能指标及约束条
4、件有明显解析式 数值计算方法：性能指标比较复杂 1）一维搜索法：适合单变量求极值 2）多维搜索法：适合单变量求极值 梯度法：解析与数值方法相结合 1)无约束梯度法 2)有约束梯度法,2018年9月3日,15,第二章 最优控制中的变分法,2.1 泛函与变分法基础,平面上两点连线的长度问题,其弧长为,2018年9月3日,16,一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为 。,，称为泛函。,，称泛函的宗量,泛函定义：x(t)是自变量t的函数，若对每个函数x(t)，有一个J值与之对应，则变量J称为依赖于x(t)的泛函，记J(x(t),例举：,2018年9月3日,17,线性泛函与连续泛函： 线
5、性泛函 泛函对宗量是线性的连续泛函 若定义在线性赋范空间上的泛函又满足连续条件，称J(x)为连续线性泛函,2018年9月3日,18,泛函与函数的几何解释,宗量的变分,泛函的增量,2018年9月3日,19,定理 2.1 泛函的变分为,2018年9月3日,20,例 2.1 求泛函的变分,2018年9月3日,21,泛函的极值,2018年9月3日,22,变分学预备定理,2018年9月3日,23,2.2 欧拉方程 (1)无约束泛函极值的必要条件 定理2.3 设有如下泛函极值问题：,及横截条件,2018年9月3日,24,2.2 欧拉方程,变分,分部积分,证明：,2018年9月3日,25,例 2.2 求平面
6、上两固定点间连线最短的曲线,2018年9月3日,26,例2.3： 已知边界条件为 求使泛函达到极值的轨线 解：,2018年9月3日,27,2.2 欧拉方程 (2)有等式约束泛函极值的必要条件 定理2.4 设有如下泛函极值问题：,及横截条件,2018年9月3日,28,例2.4：设人造地球卫星姿态控制系统的状态方程为,2018年9月3日,29,2.3 横截条件,讨论： A. B. C. D.,2018年9月3日,30,左端固定右端沿曲线变动,横截条件C,的推导,2018年9月3日,31,2018年9月3日,32,例 2.5 设性能指标泛函,末值时刻,未定，已知,，,解：由欧拉方程得,由x(0)=1
7、求出b=1；由横截条件知,2018年9月3日,33,2018年9月3日,34,2.4 含有多个未知函数泛函的极值,泛函,欧拉方程,边界值,横截条件,2018年9月3日,35,2.5 条件极值,状态方程,泛函,引进乘子,构造新的函数和泛函,欧拉方程,约束方程,2018年9月3日,36,解：化为标准形式,把问题化为标准形式，令,2018年9月3日,37,约束方程可定为,边界条件为,2018年9月3日,38,引进乘子,构造函数,欧拉方程,2018年9月3日,39,解出,利用边界条件，可得：,2018年9月3日,40,2018年9月3日,41,问题：确定最优控制 和最优轨线 ，使系统由已知初态转移到要
8、求的目标集,2.6变分法解最优控制问题,并使指定的目标泛函,达到极值,2018年9月3日,42,2.6.1末端时刻固定时最优解的必要条件 （1）末端受约束的情况,引入拉格朗日乘子构造广义泛函,有,构造哈米顿函数,2018年9月3日,43,变分,2018年9月3日,44,定理2.5：对于如下最优控制问题：,u(t)无约束，tf固定.最优解的必要条件,2018年9月3日,45,定理2.6：对于如下最优控制问题：,u(t)无约束，tf固定，x(tf)自由.最优解的必要条件,（2）末端自由的情况,2018年9月3日,46,定理2.7：对于如下最优控制问题：,u(t)无约束，tf固定，x(tf)固定.最
9、优解的必要条件,（3）末端固定的情况,2018年9月3日,47,例 2.7 考虑状态方程和初始条件为,的简单一阶系统，其指标泛函为,，使,其中,，,给定，试求最优控制,有极小值。,，,2018年9月3日,48,2018年9月3日,49,则最优控制为,得,代入状态方程求解得,2018年9月3日,50,边界条件,指标泛函,哈米顿函数,伴随方程,，,其解为,2018年9月3日,51,2018年9月3日,52,习题1：设一阶系统方程为性能指标取为式中常数 试求使J取极小值的最优控制和相应的性能指标,习题2：设二阶系统方程为性能指标取为求系统由已知初态 在 转移到目标集且使J取极小的最优控制和最优轨迹,
10、2018年9月3日,53,2.6.2 末端时刻自由的最优解问题,tf有时是可变的，是指标泛函，选控制使有tf极小值,变分,2018年9月3日,54,，,必要条件,2018年9月3日,55,例 2.7,指标泛函,哈米顿函数,伴随方程,必要条件,2018年9月3日,56,第三章 最大值原理,3.1 古典变分法的局限性,u(t)受限的例子,矛盾!,2018年9月3日,57,3.2 最大值原理,且,2018年9月3日,58,最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。但对于线性系统,，,最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。,2018年9月3日,59,例 3.2 重解例 3.1,，,哈密顿函数,伴随方程
11、,由极值必要条件，知,，,又,于是有,2018年9月3日,60,，,协态变量与控制变量的关系图,2018年9月3日,61,，,例 3.3,性能指标泛函,哈密顿函数,伴随方程,，,2018年9月3日,62,上有,2018年9月3日,63,协态变量与控制变量的关系图,整个最优轨线,2018年9月3日,64,例 3.4,把系统状态在终点时刻转移到,哈米顿函数,伴随方程,，,，,2018年9月3日,65,H是u的二次抛物线函数，u在 上一定使H有最小值，可能在内部，也可能在边界上。,最优控制可能且只能取三个值,此二者都不能使状态变量同时满足初始条件和终点条件,2018年9月3日,66,，,，,最优控制
12、,最优轨线,最优性能指标,2018年9月3日,67,例 3.5,使系统以最短时间从给定初态转移到零态,哈米顿函数,伴随方程,2018年9月3日,68,最优控制切换及最优轨线示意图,2018年9月3日,69,3.3 古典变分法与最小值原理,古典变分法适用的范围是对u无约束，而最小值原理一般都适用。特别当u不受约束时，条件,就等价于条件,2018年9月3日,70,3.4 极大值原理的应用： 快速控制系统,如，当被控对象受干扰后，偏离了平衡状态，,希望施加控制能以最短时间恢复到平衡状态。,凡是以运动时间为性能指标的最优控制问题称,为最小时间控制。,2018年9月3日,71,3.4.1 快速控制问题,
13、2018年9月3日,72,例 3.4.1 有一单位质点，在 处以初速度2沿直线运动。现施加一力 ， ，使质点尽快返回原点，并停留在原点上。力 简称为控制。若其它阻力不计，试求此控制力。,质点运动方程,状态方程,哈密顿函数,伴随方程,2018年9月3日,73,最优控制,协态变量与控制函数4种情况示意图,2018年9月3日,74,相轨线族示意图,开关曲线,2018年9月3日,75,开关曲线,总时间,2018年9月3日,76,3.4.2 综合问题,上例之最优综合控制函数,2018年9月3日,77,例 3.4.2,求快速返回原点的开关曲线和最优综合控制函数,构造哈密顿函数,2018年9月3日,78,最优控制与协态变量的变化情况,控制是“砰砰控制”，除了首尾之外，在 和 上的停留时间均为,2018年9月3日,79,备选最优轨线族,2018年9月3日,
