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1、,主要内容,典型例题,习 题 课,第二章 极 限,（一）极限的概念,（二）连续的概念,一、主要内容,左右极限,两个重要 极限,求极限的常用方法,无穷小 的性质,极限存在的 充要条件,判定极限 存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小 及其性质,唯一性,两者的 关系,无穷大,1. 极限的定义,左极限,右极限,另两种情形:,无穷小:,极限为零的变量称为无穷小.,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,无穷大:,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,无穷小与无穷大的关系,2. 无穷小与无穷大,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无
2、穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,无穷小的运算性质,定理,推论1,推论2,3. 极限的性质,4. 求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,5. 判定极限存在的准则,(夹逼准则),(1),(2),6. 两个重要极限,定义:,7. 无穷小的比较,定理(等价无穷小替换定理),8. 等价无穷小的性质,9. 极限的唯一
3、性,左右连续,在区间a,b 上连续,连续函数 的 性 质,初等函数 的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的 充要条件,连续函数的 运算性质,非初等函数 的连续性,1. 连续的定义,定理,3. 连续的充要条件,2. 单侧连续,4. 间断点的定义,(1) 跳跃间断点,(2)可去间断点,5. 间断点的分类,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,第二类间断点,6. 闭区间的连续性,7. 连续性的运算性质,定理,定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,定理2,8. 初等函数的连续性,定理3,定理4 基本初等函数
4、在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,9. 闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,2.,1.,3.,典型例题,6.,4.,5.,典型例题解答,1.,解,将分子、分母同乘以因子(1-x), 则,解,解法讨论,2.,解,3.,4.,解,解,5.,证明,讨论:,6.,由零点定理知,综上,2SLS与ILS估计量的等价性,在恰好识别情况下。 IL
5、S的工具变量是全体先决变量。 2SLS的每个工具变量都是全体先决变量的线性组合。 2SLS的正规方程组相当于ILS的正规方程组经过一系列的初等变换的结果。 线性代数方程组经过初等变换不影响方程组的解。,六、简单宏观经济模型实例演示,模型,消费方程是恰好识别的；投资方程是过度识别的；模型是可以识别的。,下列演示中采用了1978-1996年的数据，与教科书不同。, 数 据,用狭义的工具变量法估计消费方程,用Gt作为Yt的工具变量,估计结果显示,用间接最小二乘法估计消费方程,C简化式模型估计结果,Y简化式模型估计结果,用两阶段最小二乘法估计消费方程,比较上述消费方程的3种估计结果，证明这3种方法对于
6、恰好识别的结构方程是等价的。估计量的差别只是很小的计算误差。,代替原消费方程中的Yt，应用OLS估计,第2阶段估计结果,用两阶段最小二乘法估计投资方程,投资方程是过度识别的结构方程，只能用2SLS估计。估计过程与上述2SLS估计消费方程的过程相同。得到投资方程的参数估计量为：,至此，完成了该模型系统的估计。,2SLS第2阶段估计结果,用GMM估计投资方程,投资方程是过度识别的结构方程，也可以用GMM估计。选择的工具变量为c、G、CC1,得到投资方程的参数估计量为：,与2SLS结果比较，结构参数估计量变化不大。残差平方和由24223582变为3832486，显著减少。为什么？利用了更多的信息。,
7、GMM估计结果,*七、主分量法的应用,方法的提出,主分量方法本身并不是联立方程模型的估计方法，而是配合其它方法，例如2SLS使用于模型的估计过程之中。 数学上的主分量方法早就成熟，Kloek和Mennes于1960年提出将它用于计量经济学模型的估计。,2SLS是一种普遍适用的联立方程模型的单方程估计方法，但是当它在实际模型估计中被应用时，立刻就会遇到不可逾越的困难。其第一阶段用OLS估计简化式方程，是难以实现的。为什么？,方法的原理,所谓主分量方法，就是用较少数目的新变量重新表示原模型中较多数目的先决变量的方法。 例如，如果能够找到5个左右的新变量表示宏观经济模型中的30个先决变量，那么只需要
8、15组以上的样本，就可以进行2SLS第一阶段的估计。,对充当主分量的变量是有严格要求：一是它必须是先决变量的线性组合，二是它们之间必须是正交的。前一条是保证主分量对先决变量的代表性；后一条是保证主分量之间不出现共线性。,主分量的选取,用两个主分量表示两个原变量：,可以证明，a1、a2分别是XX的2个特征值对应的特征向量。,用k个主分量表示k个原变量：,同样可以证明，a1、a2、ak分别是XX的k个特征值对应的特征向量。,用f个主分量表示k个原变量：,选择a1、a2、af分别是XX的f个最大特征值对应的特征向量。,在2SLS中主分量的选取对于简化式方程：,主分量法在ILS中的应用,对于2SLS，
9、直接利用主分量完成第一阶段的估计，得到内生解释变量的估计量。 对于ILS，必须求得到简化式参数，进而计算结构式参数。 首先估计Y=Z+，然后将Z=XA代入，得到Y=X 中的估计量。,*八、k级估计式,k级估计式,本身不是一种估计方法，而是对上述几种方法得到的估计式的概括。 对于联立方程模型中的第1个结构方程：,k级估计式 为：,显然，当：k=0时，即为OLS估计式；k=1时，即为2SLS估计式；k等于有限信息估计方法中的时，即为有限信息估计式。,k级估计式的性质,假设工具变量与随机误差项不相关，即：,且先决变量与随机误差项不相关，即：,那么，容易证明k级估计式是一致性估计式。,工具变量与随机误
10、差项不相关，对k是有限制的，必须有（证明见教科书）：,这就是说，只有在2SLS或有限信息估计方法中，k级估计式是一致性估计式，而在OLS方法中，不具有一致性。,6.5联立方程计量经济学模型若干问题的讨论,一、模型估计方法的比较 二、为什么普通最小二乘法被普遍采用 三、联立方程模型的检验,一、模型估计方法的比较,大样本估计特性的比较,在大样本的情况下，各种参数估计方法的统计特性可以从数学上进行严格的证明，因而也可以将各种方法按照各个性质比较优劣。 按渐近无偏性比较优劣。除了OLS方法外，所有方法的参数估计量都具有大样本下渐近无偏性。因而，除了OLS方法最差外，其它方法无法比较优劣。,按渐近有效性
11、比较优劣OLS 非一致性估计，未利用任何单方程外的信息；IV 利用了模型系统部分先决变量的数据信息；2SLS、LIML 利用了模型系统全部先决变量的数据信息；3SLS、FIML 利用了模型系统全部先决变量的数据信息和结构方程相关性信息。,小样本估计特性的Monte Carlo试验,参数估计量的大样本特性只是理论上的，实际上并没有“大样本”，所以，对小样本估计特性进行比较更有实际意义。 而在小样本的情况下，各种参数估计方法的统计特性无法从数学上进行严格的证明，因而提出了一种Monte Carlo试验方法。 Monte Carlo试验方法在经济实验中被广泛采用。,小样本估计特性的Monte Car
12、lo试验过程第一步：利用随机数发生器产生随机项分布的一组样本；第二步：代入已经知道结构参数和先决变量观测值的结构模型中；第三步：计算内生变量的样本观测值；,第四步：选用各种估计方法估计模型的结构参数。上述步骤反复进行数百次，得到每一种估计方法的参数估计值的序列。第五步：对每种估计方法的参数估计值序列进行统计分析；第六步：与真实参数（即试验前已经知道的结构参数）进行比较，以判断各种估计方法的优劣。,小样本估计特性实验结果比较无偏性OLS 2SLS 3SLS（LIML，FIML）,最小方差性LIML 2SLS FIML OLS,最小均方差性OLS LIML 2SLS 3SLS（FIML）,为什么O
13、LS具有最好的最小方差性？ 方差的计算公式：,均方差的计算公式：,前者反映估计量偏离实验均值的程度；后者反映估计量偏离真实值的程度。所以尽管OLS具有最小方差性，但是由于它是有偏的，偏离真实值最为严重，所以它的最小均方差性仍然是最差的。,二、为什么普通最小二乘法被普遍采用, 小样本特性,从理论上讲，在小样本情况下，各种估计方法的估计量都是有偏的。, 充分利用样本数据信息,除OLS之外的其它估计方法可以部分地或者全部地利用某个结构方程中未包含的先决变量的数据信息，从而提高参数估计量的统计性质。但是其前提是所有变量具有相同的样本容量。 在实际上变量经常不具有相同的样本容量。 采用先进估计方法所付出的代价经常是牺牲了该方程所包含的变量的样本数据信息。, 确定性误差传递,确定性误差：结构方程的关系误差和外生变量的观测误差。 采用OLS方法，当估计某一个结构方程时，方程中没有包含的外生变量的观测误差和其它结构方程的关系误差对该方程的估计结果没有影响。 如果采用2SLS方法 如果采用3SLS方法,
