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1、中小学 1 对 1 课外辅导专家毅帆教育个性化学习中心教务管理部1 锐角三角函数及解直角三角形的实际应用解直角三角形，可将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系. 一般有以下几个步骤：1. 审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知；2. 明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3. 是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；4. 确定合适的边角关系，细心推理计算。1, 锐角三角函数计算的实际应用
2、仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。例 1. 如图， 为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端AB的距离， 飞机在距海平面垂直高度为100米的点 C处测得端点A的俯角为60，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500 米，在点D测得端点B的俯角为 45，求岛屿两端AB的距离（结果精确到0.1 米，参考数据：）2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比） 。坡度常用字母i 表示。斜坡的坡度和坡角的正切值关系是： lhatan. 注意：（ 1）坡度一般写成
3、1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数） ；（ 2）若坡角为a，坡度为a lhitan，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。hla中小学 1 对 1 课外辅导专家毅帆教育个性化学习中心教务管理部2 O 东北DA观测点CB例 2.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为 30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度1:5i，则AC的长度是 cm例 3.今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB 到达 B 点，再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示.斜坡 AB 的长为
4、1040 米，斜坡 BC 的长为 400 米，在 C 点测得 B点的俯角为30,.已知 A 点海拔 121 米， C 点海拔 721 米. （1）求 B 点的海拔；（2）求斜坡AB 的坡度 . 3, 方向角的定义方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。如图，目标方向线0A、0B、0C的方向角分别为北偏东 15、南偏东20、北偏西60。其中，南偏东45习惯上又叫东南方向，同样，北偏西45又叫西北方向。如 OE的方向角为南偏东45， OG的方向角为南偏西45，那么， G、E可以说在O的哪个方向呢？由方向角的定义可知，G在 O
5、的西南方向， E在 O的东南方。例 1.已知 B港口位于A观测点北偏东方向53.2，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为 16km。一艘货轮从B港口以 40km/h 的速度沿如图所示的BC方向航行， 15min 后到达 C 处。现测得C处位于观测点北偏东79.8方向。 求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长 （精确到 0.1km） .( 参考数据：sin53.2 0.80，cos53.2 0.60，sin79.8 0.98，cos79.8 0.18，tan26.6 0.50，21.41，52.24)A B C 30 18 中小学 1 对 1 课外辅导专家毅帆教育个性化学习中心教务管理部3 a
6、l图 5 C D A B O E 五 , 测量物体的高度1, 测量底部可以到达的物体的高度（重点）简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成。如图。使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：(1) 把支杆竖直插入地面, 使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0刻度线重合 , 这时度盘的顶线PQ在水平位置。（ 2）转动转盘 ,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数。此度数就是测点相对于被测点的仰角或俯角。说明：（ 1）所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。（ 2）测量步骤如图（测量物体MN的高度）：在测点A处安置测倾器，测得M的仰角 MCE= ；量出测点A到物体底
7、部N的水平距离AN=l；量出测倾器的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）。（ 3）物体 MN的高度 = al tan。例 1： 在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的 细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD 如图 5，已知李明距假山的水平距离BD为 12m ，他的眼睛距地面的高度 为 1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅 垂线 OE经过量角器的60刻度线，则假山的高度为（）A(43 1.6)m B (1231.6)m C(42 1.6)m D 43 m 2, 测量底部不可以到达的物体的高度（难点）（ 1）所谓“
8、底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离。（ 2）测量步骤（如图。测量物体MN的高度）：在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角 MCE= ；在测点A与物体之间的B处拟制测倾器（A、B与 N在一条直线上，且 A、B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角 MDE= ；量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A、B之间的距离AB=b。（ 3）物体高度MN=ME+EN=) tantantantan(ab米。提示：测量底部不可以到达的物体的高度，求解时常要解两个直角三角形。中小学 1 对 1 课外辅导专家毅帆教育个性化学习中心教务管理部4 FE第20题图60o30o45
9、o45oD(老君岭 )C（太婆尖）BAABCDPNM例 1： 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22时，教学楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子CE ；而当光线与地面夹角是45时，教学楼顶A在地面上的影子F 与墙角 C有 13 米的距离 （B、F、C在一条直线上）求教学楼AB的高度；学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）. （参考数据：sin22 38，cos221516， tan22 25）例 2： 在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处） ，测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭 （D处） 的仰角都是45， 游
10、船向东航行100 米后 （B处） ， 测得太婆尖、 老君岭的高度为多少米？（31.732，结果精确到米） 。 【解析】设太婆尖高h1米，老君岭高h2米。可分别在直角三角形中 利用正切值表示出水平线段的长度，再利用移动距离为AB=100米， 可建立关于h1、h2的方程组，解这个方程组求得两山峰高度。例 3： 小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点 A的仰角为45，测得办公大楼底部点B的俯角为60，已知办公大楼高46 米， CD10 米求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）中小学 1 对 1 课外辅导专家毅帆教育个性化学习中心教务管理部5 例 4：如图，已知斜坡AB长 60 米，坡角（即 BAC ）为30，BC AC ，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台 DE和一条新的斜坡BE （请讲下面2 小题的结果都精确到0.1 米，参考数据：1.732） （ 1）若修建的斜坡BE的坡角（即 BEF ）不大于45，则平台DE的长最多为米；（ 2）一座建筑物GH距离坡角A点 27 米远（即AG=27米） ，小明在 D点测得建筑物顶部H的仰角（即 HDM ）为30点 B、C、A、G 、H在同一个平面内，点C、A 、 G在同一条直线上，且HG CG ，问建筑物GH高为多少米？
