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1、3 第 2 章测量误差、不确定度和数据处理2.1 测量误差与不确定度2.1.1 测量在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的。所谓测量就是将待测物理量与规定作为标准单位的同类物理量(或称为标准量)通过一定方法进行比较。测量中的比较倍数即为待测物理量的测量值。测量可分为两类，一类是用已知的标准单位与待测量直接进行比较，或者从已用标准量校准的仪器仪表上直接读出测量值(例如，用米尺量得物体的长度为0.7300m，用停表测得单摆周期为1.05s，用毫安表读出电流值为12.0mA 等)，这类测量称直接测量 (或简单测量 )；另一类测量，它不能直接把待测量的大小测出来，而是依据该待测量和一个或几个直接测
2、得量的函数关系求出该待测量(例如，测量铜 (圆柱体 )的密度时，我们首先用游标卡尺或千分尺测出它的高h 和直径 d，用天平称出它的质量M，然后再通过函数关系式hdM2/4计算出铜的密度)，我们把这类测量称为间接测量(或称复合测量 )。一般说，大多数测量都是间接测量、但随着科学技术的发展，很多原来只能以间接测量方式来获得的物理量，现在也可以直接测量了。例如电功率的测量，现在可用功率表直接测量，又如速度也可用速率表来直接测量等。测得的数据 (即测量值 )不同于数学中的一个数值，数据是由数值和单位两部分组成的。一个数值有了单位，便具有了一种特定的物理意义，这时，它才可以称为一个物理量。因此，在实验中
3、经测量所得的值(数据 )应包括数值和单位，即以上二者缺一不可。2.1.2 误差任何物质都有自身的特性，反映这些特性的物理量所具有的客观真实数值称为这些物理量的真值。测量的目的就是要力求得到真值。但测量总是依据一定的理论和方法，使用一定的仪器，在一定的环境中，由一定的人进行的。在实验测量过程中，由于受到测量仪器、测量方法、测量条件和测量人员的水平以及种种因素的限制，使测量结果与客观存在的真值不可能完全相同，导致所测得的只能是该物理量的近似值。也就是说，任何一种测量结果的测量值与客观存在的真值之间总会或多或少地存在一定的差值，这种差值称为该测量值的测量误差(又称测量值的绝对误差)，简称“误差” ，
4、即测量值 (x)真值 (X)=误差 ( ) (2-1) 误差存在于一切测量之中，而且贯穿测量过程的始终。每使用一种仪器进行测量都会引起误差。测量所根据的方法和理论越繁多、所用仪器越复杂、所经历的时间越长，引进误差的机会就越多。因此实验应该根据要求和误差限度来制订或选择合理的方案和仪器。要避免测量中某个环节盲目追求不切实际的高指标，这样作既不符合现代信息论的基本思想，又提高了测量的代价。一个优秀的实验工作者，应该是在一定的要求下，以最低的代价来取得最佳的结果。要做到既保证必要的实验精确度又合理地节省人力与物力。4 2.1.3 误差的分类及相关知识误差的产生原因是多方面的。根据误差的性质和来源，可
5、将误差分为两类；系统误差和随机误差。现分别对它们作必要的介绍。2.1.3.1 系统误差在同一实验条件下(方法、仪器、环境和观测人都不变)多次测量同一量时，误差的绝对值和正负号保持不变，或按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差的特征是它的确定性。它主要来自以下几个方面：(1) 理论 (方法 )误差这是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或由于所采用测量方法或数据不完善而引起的误差。例如，单摆的周期公式glT2的成立条件是摆角趋近于零，这实际上是达不到的，用它来计算周期必然引起误差。(2) 仪器误差这是由于测量仪器本身的固有缺陷或没有按规定使用而引起
6、的。例如，用未经校准零位的千分尺测量零件长度，用不等臂的天平称衡物体的质量，都会引入仪器误差。(3) 环境误差由于环境条件变化所引起的误差。如温度、气压、湿度的变化等。(4) 个人误差这是由于观测人的生理或心理因素所造成的。通常与观测人员反应速度和观测习惯有关。例如，用肉眼在米尺刻线上读数时，习惯地偏向一个方向；按动秒表时，习惯地提前或落后。系统误差的规律及产生的原因可能是实验者已知的，也可能不知道。已被确切掌握了其大小和符号的系统误差称为可定系统误差。对大小和方向未知(或尚未确定 )的系统误差叫未定系统误差。前者一般可在测量中采取一定的措施给予减小消除或在测量结果中进行修正，而后者一般难以作
7、出修正，只能估计它的取值范围。总之，系统误差是在一定实验条件下由一些确定的因素引起的，它使测量结果总是偏向一边，即偏大或偏小。因此，试图在相同条件下用增加测量次数来减小或消除它是徒劳的，只有找出导致该系统误差产生的原因，对症下药采取一定的方法才能减小或消除它的影响，或对测量结果进行修正。1系统误差的发现要发现系统误差，就必须仔细地研究测量理论和方法的每一步推导，检验或校准每一件仪器，分析每一个因素对实验的影响等。下面从普遍意义上介绍几种发现系统误差的途径和方法。(1) 对比的方法 实验方法的对比用不同方法测同一个量，看结果是否一致。如用一个单摆测量g=9.80 0.01m/s2，用复摆测得g=
8、9.830 0.003m/s2，用自由落体法测得g=9.7763 0.0005m/s2，三者结果不一致，这说明至少其中两种方法存在系统误差。 仪器的对比如用两个电流表串联于同一个电路中，读数不一致，则说明至少有一个电路表不准。如果其中一个是标准表，就可以找出另一个的修正值了。 改变测量方法例如，把电流反向进行读数；在增加砝码过程中与减少砝码过程中读数；分光计测角盘转180 度读数等。 改变实验中某些参量的数值例如，改变电路中电流的数值，如果测量结果单调或有规律的变化，则说明有某种系统误差存在。5 改变实验条件例如在电路中将某个元件的位置变动一下。 两个人对比观测，可发现个人误差，等等。(2)
9、理论分析方法 分析测量所依据的理论公式所要求的条件与实际情况有无差异，能否忽略。 如“单摆”实验中，公式glT2，这是作了0的近似，公式把摆球看作质点，忽略摆线质量、空气浮力与阻力等。 分析仪器是否达到了所要求的使用条件。例如用测高仪测物体高度时，要求支架铅直、望远镜平移，否则测出的结果不能反映物体实际高度。(3) 分析数据的方法测量所得数据明显不服从统计分布规律时，则可将测量数据依次排列，如偏差大小有规则地向一个方向变化，则测量中存在线性系统误差；如偏差符号作有规律交替变化，则测量中存在周期性系统误差。2系统误差的消除和修正从原则上来说，消除系统误差的途径，首先是设法使它不产生，如果做不到，
10、那么就修正它，或在测量中设法抵消它的影响。下面介绍几种消除系统误差的途径：(1) 消除产生系统误差的根源 采用符合实际的理论公式。 消除仪器的零位误差。例如，在使用千分尺之前，要先检查零位， 并记下零读数(即零位误差 )，以便对测量进行修正；又如电表的指针未通电时不指零位，可进行机械校零或记下零读数，最后再对测量值进行修正。 保证仪器装置及测量满足规定的条件。 采用某种方法(如比较法 )，在公式中消去某个量，就可能避免它的系统误差。例如在测定液体的比热实验中，若能保证两个量热器系统完全相同、升温也相同，就能消除因散热而引起的系统误差。(2) 找出修正值，对测量结果进行修正 校准仪器用标准仪器校
11、准一般仪器，得出修正值或校准曲线。如经长期使用过的电表、电阻箱在使用前必须经过校准或得出校准曲线。 对理论公式进行修正，找出修正值例如用单摆测周期glT2时，考虑摆球的体积大小及空气的浮力和阻力，则此公式必须修正。(3) 从测量方法上或仪器设计上抵消系统误差影响 对称测量可以抵消系统误差的影响例如在分光计上读出度盘相隔180处的两组数据，以消除偏心差。 保持实验或仪器一定，可抵消某种系统误差例如 m=m1m0，测量 m1及 m0时用同一个砝码可以抵消砝码的系统误差。 线性观测法可抵消某种线性变化的系统误差例如电源电动势随时间线性降低，则使用电位差计时可隔相等时间轮流测标准量和待测量，如第一、三
12、次测标准量，将其平均值与第二次所测的待测量对应。 周期性系统误差的消除对按正弦规律变化的周期性系统误差，可采取在每半个周期进行偶数次测量的方法予以消除。在实际工作中，有时系统误差的大小不易确定或不必精确计算，这时只需判断它的正6 负和估计它的数量级就行了。如其中有些误差对测量结果无影响，就可不予考虑了，这对实际工作很有意义。2.1.3.2 随机误差若系统误差已经减弱到可以忽略的程度，被测量本身又是稳定的，在同一条件下对该物理量进行多次测量时，测量值总有稍许差异，而且大小和方向变化不定。这种数值大小和正负号经常变化的误差称为“随机误差”。随机误差主要来自以下几方面：(1) 主观方面由于人们的感官
13、灵敏度和仪器的精度有限，实验者操作不熟练，估计读数不准等。(2) 客观方面外界环境干扰，如温度的微小起伏、气流扰动、振动、杂散电磁场的不规则脉动等，既不能消除，又无法估量。(3) 其他不可能预测的次要因素。从随机误差的定义和来源我们看到它是实验过程中各种随机的或不确定因素的微小变化引起的。它的显著特点是在任意一次测量之前我们无法事先知道它的大小和方向。鉴于此，我们有必要对它进行深入的讨论。1测量列的算术平均值在深入讨论随机误差问题时，我们假定系统误差已经被消除或减小到可忽略的地步。在相同条件下 (即等精度 )对某一物理量进行K 次测量，其测量值为x1，x2，x3，, ，xk，算术平均值为x，则
14、KiixKx 11(2-2) 根据统计误差理论，在一组 K 次测量的数据中， 算术平均值最接近于真值，称为测量的 “最佳值” 。当测量次数K，Xx(真值 )。测量次数的增加对于提高算术平均值的可靠性是有利的，但不是测量次数越多越好。因为增加测量次数必定延长测量时间，这样给保持稳定的测量条件增加困难，还可能引起大的观测误差。另外，增加测量次数对系统误差的减小不起作用，所以实验测量次数不必过多。一般在科学研究中，取10 到 20 次，而在物理教学实验中，通常取6 到 10 次。2测量列的标准误差如前所述，随机误差其大小和方向都不能预知，但在等精度条件下，对物理量进行足够多次的测量，就会发现测量的随
15、机误差是按一定的统计规律分布的，而最典型的分布就是正态分布 (高斯分布 )。典型的正态分布如图2-1 所示。 图中为绝对随机误差(绝对误差 )，)(f为概率密度函数，为标准误差。由概率论知识可以证明222/21)(ef(2-3) 其中被定义为测量列的标准误差。可表示为KiiKKiiKKXx K12121lim)(1lim(2-4) 3随机误差的特点具有正态分布的随机误差具备以下特点：7 (1) 有界性绝对值很大的误差出现的概率为零，即误差的绝对值不会超过一定的界限。(2) 单峰性绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大。(3) 对称性绝对值相等的正、 负误差出现的概率相同。 (4)
16、 抵偿性即随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋于零。即KiiKK101lim。由此可见，可用增加测量次数的方法来减小随机误差。4的统计意义由式 (2-3) 表示的正态分布函数和概率论知识有1)(df683.0)()(Pdf954. 0)2()(22Pdf997.0)3()(33Pdf上述各式表明， 当 K， 任何一次测量值与真值之差落在区间(，)里的概率为1(满足归一化条件)；而落于区间,里的概率为0.683，即置信概率P=0.683；落于区间2,2里的概率为0.954，置信概率P=0.954；落于区间3,3里的概率为0.997，置信概率P=0.997。由此我们看到是一个统计特征值，它表明了在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。从上面的介绍我们看到当测量次数无限多时，测量误差的绝对值大于 3的概率仅为0.3%，对于有限次测量这种可能性是极微小的，于是可以认为此时的测量是失误，该测量值不可信应予剔除。这就是著名的3判据 (准则 )。在分析多次测量的数据时很有用处。从以上的介绍我们看到标
