流体力学读书笔记

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1、高等流体力学读书笔记 论文题目 : 特征线法读书笔记 姓名: 杨 志 伟 学号: 113108000839 专业: 兵器发射理论与技术 指导教师 : 周 建 伟 日期: 2013年 12 月 1 特征线法 1.1 理论的引出 在考虑了两对面管壁都外折使得两束膨胀波相交，以及膨胀波束在自由边界 上反射等问题时， 单有绕外钝角流动的公式就不够使用了，需要一种使用于解复 杂问题的方法， 这就是特征线法。 在概况性上说， 特征线法确实比绕外钝角的解 法进了一步，只要是两个自变数的双曲线型偏微分方程都能用。定常超声速流（包 括平面及轴对称的无旋和有旋流）与一维费定常流 （不论亚声速还是超声速） 的 运动

2、方程都是双曲型的。 这几种流动能在数学上归在一起，正是反映了在物理上 这几种流动都是以波的形式进行变化这样一个事实。 定常亚声速流场上， 流动的变化不是以波的形式进行的，任何扰动都没有界 线可言，扰动遍及全场， 变化都是连续的， 任何流动参数（速度、密度和压强等） 不仅本身连续， 而且它对空间坐标的导数也都连续。与此相反， 在定常超声速流 场上，扰动都是有界的， 像激波在流场中是以突跃面的形式存在的，流动参数本 身在突跃面上有突跃的变化， 称为强突跃； 另一种扰动也是有界的， 例如膨胀波 （或微弱压缩），界线是马赫波，流动参数本身在波上是连续的，但它的导数在 波上可以不连续。如图 1 所以，

3、定常超声速气流流过外钝角， 在第一道膨胀波 11 O L 的上游，各流动参数都是均一的，对的导数到处都是零，但一到 11 O L 上便开始 变化了，虽然流动参数本身在 11 O L 还是连续的， 但无变化的直匀流区突然在这条 线上有变化的扇形膨胀地带相接， 诸流动参数的导数在 11 O L 上必是突然从零变为 某一定值。在最后一道波 12 O L 上，导数从一定值跃变为零。在中间各道波上，流 动参数的导数取了特殊的突跃值零。 图 1 外钝角绕流 流动参数的导数在其上发生突跃的线（或面）称为弱突跃线（或面），以区 别与流动参数本身发生突跃的强突跃面（如激波）。马赫线（膨胀波或微弱压缩 波）就是弱

4、突跃线。当然，突跃之中可以包括突跃值为零（即不发生突跃）的情 况。这样就可以把绕外钝角流动的扇形地带中的每一道膨胀波都包括在内，都是 弱突跃线。 上述几种流动的运动方程都是双曲型二阶偏微分方程。解双曲型二阶偏微分 方程时，存在有一类特殊的曲线，即函数的二阶导数在这种曲线上所以不连续， 因而知道了因数在这种曲线一侧的数值时，不可能靠级数展开去推得函数在曲线 另一侧的数值来。双曲型二阶偏微分方程所独有的这种函数导数可以不连续的曲 线，在数学上称为特征线。 流场上的弱突跃线就是数学上的特征线。根据数学上 的特征线理论， 用数值解法解决定常超声速流动的问题，就是气体动力学中的所 谓特征线法。 特征线理

5、论除了定义特征线、 并根据定义找出特征线方程之外，还确定；沿 特征线上的各参数的变化之间必须遵守一定的关系，这是特征线所具有的另一方 面的性质。所以说，特征线有两种性质：一是跨过这种曲线，函数(例如位函数 ) 的二阶导数可以不连续； 二是沿着这种曲线， 函数的一阶导数 ( 例如流速 ) 的变化 之间又必须遵守一定的规律。就是说，既有突跃的一面、又有规律性的一面。在 做计算时， 要同时利用这两种性质， 尤其是利用沿特征线的规律性。这个规律性 在绕外钝角流动的问题中已经用过了，那就是气流折角与流速有一一对应的关系。 不过，这个关系在绕外钝角流动的问题里，没有从数学上强调它是沿特征线的关 系，表面上

6、看来反而像是跨特征线似的。原因是，在那个简单问题上，没有全面 讨论流场， 只是画了要用的马赫线。 事实上，与流线成角的马赫线还有另一族 存在，如图 2 上的 PQR线。后面可以证明，在这个具体问题上，所谓沿特征线 的变化关系正是沿 PQR那一族马赫线的变化关系。 图 2 外钝角绕流的马赫线 本节先把定常平面超声速流和轴对称超声速流的运动方程列一下，以说明数 学上的共同点， 然后导出这些方程列的特征线来。接下去详细讲解特征线法在乎 面无旋定常超声速流问题上的应用及解题法。后面再讲超声流流过圆锥体的稻确 解及轴对称特征线法。 1.2 两个自变数的运动方程 平面不可压位流的运动方程是 22 22 0

7、 xy 而在平面定常无旋可压流的条件下，此式府写为如下形式 2 2 222 22222 111 1120 cxxcyycxyx y 通乘以 2 c ，并引用符号 x x ， y y ， 2 2xx x ， 2 2yy y ， 2 xy x y 则上式化为 2222 20 xxxxyxyyyy cc（1-1） 定常无旋轴对称流的运动方程直接写为 2 2222 20 xxxxrxrrrrr c cc r （1-2） 这两个方程是同一类型的， 都是具有两个独立变数的二阶非线性偏微分方程。 它们有时也称为拟线性方程， 因为对最高阶导数而言是线性的。此二式可写成一 个共同的形式 20 xxxyyy AB

8、CD（1-3） 一般说来，式中的系数A，B，C，D是 x，y， x ， y的函数。这样一个 二阶偏微分方程，究竟属于哪种类型，要看判别式 2 BAC大于、等于、还是 小于零。现在式（ 1-1）中的 22222222222222 xyxyxy BACcccccVc 式（1-2）中的 22222222 xy BACcccVc 在超声速流 (Vc) 中，这两个判别式都大于零，所以式（1-1）与（ 1-2） 都是双曲型的方程。现在总概括成式（1-3 ）来研究，目的是要得到解决实际问 题的具体办法。不过，并不能单纯从数学角度来研究式（1-3）的解法，而是要 与气体流动的物理情况密切结合起来。函数就是速度

9、位， x就是 x分速，y就 是y分速。也常把 x和y组成的平面称为“速度面” 。 1.3 哥西问题及特征线方程 在一定的边界条件下直接积分式（1-3）是很困难的，所以就希望用数值解 的办法求出需要的答案。 以平面流动来说， 假设知道了待求函数在某一条曲线上 的函数值，如果能够设法求出函数在该曲线附近的数值，就能把全流场上的解答 一步步地找出来， 这在数学上叫做哥西问题。 哥西问题的数学提法是这样：给定 函数的偏微分方程，并在 xy平面上沿某一条曲线L给定该函数的数值，问能否 推出L曲线附近的函数值。 在所讨论的问题中，未知函数是。此处限于讨论介质属性 (各流动参数 )是 连续的流场。这样， x

10、和y( 诸分速 )就是 x和 y的连续函数。如果从曲线L出发， 往附近任意走一小步， x和y的改变量应为 xx xxxxy ddxdydxdy xy （1-4） yy yxyyy ddxdydxdy xy （1-5） 因此，如果能够以曲线 L为基地逐步向外开拓，位函数 除了应该满足式 （1-3）之外，还应满足式（ 1-4）及式（1-5 ） 。而要做到这一点，各个二阶偏导 数的数值必须是能够确定的。 难道说有不确定的情况吗？有的，下面就谈这个问 题。 从几何上想一下，微分方程式（ 1-3）的每一个解可以看作是x，y，空间 中的一个三维曲面，叫做积分曲面，而且每个解都定义了一个满足式（1-3）的

11、函数, x y 。在积分曲面上可以画出很多条不同的空间曲线，每一条曲线在 xy平面上都有一定的投影。 在指定点处，从这些被投影的曲线向外每走一小步， 就可按式（ 1-4 ）与式（ 1-5）确定出相应的 x d与 y d值。注意，积分曲面上的 任意一点处，式（ 1-3）都是能满足的。此外，式（1-4）及式（ 1-5）是适用于 位于该曲面上的任何曲线的无限小微段所对应的改变量。因此，位函数的二阶导 数应同时满足下列三式 2 xxxyyy ABCD 0 xxyyx dxdyd（1-6） 0 xyyyy dxdyd（1-7） 这一组方程可以看作是 xx，xy及yy的线性代数方程，解得 22 0 0 2

12、 2 0 0 x yxy xy ADC dxd ddy A dy dCdx dDdxdy ABC A dyBdxdyC dx dxdy dxdy （1-8） xx以及yy的形式与xy是类似的， 分母行列式都一样， 只是分子行列式有所不同 罢了。 由式（ 1-8）可以看出，如果分母行列式等于零，那么，诸二阶偏导数就不 能确定，也就无法根据给定曲线上的函数值来推算在曲线附近的函数值。这样一 类具有特殊性质的曲线，它们虽然是积分曲面上的线条，但是 x 及 y的导数在 这些线上可以不连续，这类曲线，如果存在的话，称为解的特征曲线（或简称为 特征线） ，特征线在xy平面上的投影，称为物理面特征线。注意到

13、 x及y 就是 u 和 v，位函数的二阶导数不连续就意味着速度的导数不连续，因而所有流动参数 的导数也都不连续。 这正符合在本节开头处说的弱突跃的定义。所以特征线的物 理意义很清楚，就是弱突跃线。 令式（ 1-8）的分母等于零，即得特征线在物理平面上的投影的微分方程， 是 2 20 dydy ABC dxdx 特特 （1-9） 由此，得 2 dyBBAC dxA 特 （1-10） 式 （1-10） 就是物理面特征线的微分方程， 它规定厂物理特征线斜率的变化规律。 该式只有当 2 0BAC时才有意义。可见，只有双曲型的偏微分方程才具有特 征线。椭圆型方程， 由于 2 0BAC而不存在特征线。 再

14、看，该式中有正负号、 表示在同一点可以有两个斜率，也就是说在 xy平面上有两族特征线存在。负号 定为第族特征线，正号定为第族特征线。而在式（1-10）中的 3 个系数 A， B，C是与 x与y有关系的。为了作出物理面特征线，就必须确定x及y 沿着 特征线是怎样变化的。 1.4 函数的导数沿特征线的变化 在特征线上，既然分母行列式等于零，那么，在用式（1-3） 、式（ 1-6 ）及 式（1-7）求的 3 个二阶偏导数时，分子行列式也必须为零，否则会出现无限 大的答案；而在物理问题里， 参数总是有限值。 分子行列式为零便规定了 x与y 的变化之间有一定的关系。 以求 xy这个二阶偏导数约分子行列式

15、来说 （ xx和yy 也一样） ，它是式（ 1-8）的分子，即 0 xy A dy dC dxdDdx dy（1-11） 由此解得 y xx d AdyDdy dCdxCd 特特特 （1-12） 把式（ 1-10）代入式（ 1-12） ，得导数沿特征线的变化规律（也称为“相容性条 件” ）为 2 y xx d BBACDdy dCCd 特特 （1-13） 式 （1-13）给定了 xy平面上的特征线斜率与x，y，x，y之间的关系。 因 x u， y v ，故又把式（ 1-13）称为速度面上的特征线方程。与物理面特 征线相类似，速度面特征线也有两族，第族取负号，第族取正号。 为了明确起见，常把物理

16、面和速度面上的两族特征线方程分别写为 2 dyBBAC dxA （1-14a） 2 dyBBAC dxA （1-14b） 2 y xx d BBACDdy dCCd （1-15a） 2 y xx d BBACDdy dCCd （1-15b） 需要强调一下，式 （1-10） 虽然是根据函数的导数发生突跃的条件导出来的， 然而决不是说在每一个具体的流动问题里都必定发生弱突跃，只是说凡发生弱突 跃必在特征线上罢了。同理，式（1-13）也只是规定了沿特征线的变化规律，并 没有说沿每一条特征线都必须有变化，只是说沿着特征线如果有变化， 其变化规 律必是式（ 1-13） 。在具体问题中究竞在四条特征线上发生弱突跃，究竞沿哪 条特征线仑变化，那是由具体的边界条件所规定的。在绕外钝角流动的例子中， 第族特征线是发生弱突跃的线，但沿着第族特征线没有变化； 第族特征线 是参数沿之起变化的线，但不是发生弱突跃的线。 1.5 利用特征线关系式作数值解 可以利用式（ 1-14）及（ 1-15） ，根据给定的导数值进行数值解去求其他点 的导数值。因为位函数的导