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1、洛伦兹力的应用专题一、洛伦兹力问题及解题策略磁场一章是高中物理的重点内容之一历年高考对本章知识的考查覆盖面大，几乎每个知识点都考查到，纵观历年高考试题不难发现，实际上单独考查磁场知识的题目很少，绝大多数试题的考查方式为磁场中的通电导线或带电的运动粒子在安培力或洛伦兹力作用下的运动， 尤其以带电粒子在洛伦兹力作用下在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题居多，侧重于知识应用方面的考查，且难度较大， 对考生的空间想象能力及物理过程、运动规律的综合分析能力要求较高1、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及周期（1）圆心的确定 ：因为洛伦兹力指向圆心，根据 Fv，只要画出粒子运动轨迹上的两点( 一般是射
2、入和射出磁场的两点) 的洛伦兹力方向，沿两个洛伦兹力方向做其延长线，两延长线的交点即为圆心（2）半径和周期的计算：带电粒子垂直磁场方向射入磁场，只受洛伦兹力，将做匀速圆周运动，此时应有qvB=m，由此可求得粒子运动半径R=，周期 T=2 m/qB，即粒子的运动周期与粒子的速率大小无关这几个公式在解决洛伦兹力的问题时经常用到，必须熟练掌握在实际问题中，半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的知识( 如勾股定理等) 求解 例 1长为 L，间距也为L 的两平行板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图1 所示，磁感强度为 B，今有质量为m 、带电荷量为q 的正离子，从平行板左端中点以平行于金属板的方向射
3、入磁场，欲使离子恰从平行板右端飞出，入射离子的速度应为多少？解析应用上述方法易确定圆心O，则由几何知识有L2+(R-)2=R2又离子射入磁场后，受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，且有qvB=m由以上二式联立解得v=5qBL/4m 例 2如图 2 所示， abcd 是一个正方形的盒子，在cd 边的中点有一小孔e，盒子中存在着沿 ad 方向的匀强电场，场强大小为E一粒子源不断地从a 处的小孔沿ab 方向向盒内发射相同的带电粒子， 粒子的初速度为v0， 经电场作用后恰好从e 处的小孔射出， 现撤去电场，在盒子中加一方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B(图中未画出 ) ，粒子仍恰好从 e 孔射出
4、 ( 带电粒子的重力和粒子之间的相互作用力均可忽略) (1) 判断所加的磁场方向；(2) 求分别加电场和磁场时，粒子从e 孔射出时的速率；(3) 求电场强度E与磁感应强度B的比值解析(1) 根据粒子在电场中的偏转方向，可知粒子带正电，根据左手定则判断，磁场方向垂直纸面向外(2) 设带电粒子的电荷量为q，质量为m ，盒子的边长为L，粒子在电场中沿ad 方向的位移为 L，沿 ab 方向的位移为，在电场中，有L=，=v0t 由动能定理EqL=mv2-mv02由以上各式解得E=，v=v0在电场中粒子从e 孔射出的速度为v0，在磁场中，由于粒子做匀速圆周运动，所以从 e 孔中射出的速度为v0(3) 带电
5、粒子在磁场中做匀速圆周运动，在磁场中v=v0，轨道半径为R，根据牛顿第二定律得qvB=m，解出R=又根据图 3 所示的几何关系，应有(L-R)2+()2=R2解得轨道半径为R=L 故得磁场的磁感应强度B=因此=5v02、带电粒子在磁场中的运动时间带电粒子在磁场中做圆周运动，利用圆心角与弦切角的关系，只要设法求出运动轨迹的圆心角大小，由t=T或者 t=T 即可求出 例 3一束电子以速度v垂直射入宽为d的匀强磁场 B中， 穿出磁场时速度方向发生了60的偏转，求电子穿出磁场所用的时间解析由几何关系， 易求得本题电子在磁场中运动时的圆心角为60，而非 120， 则由图 4，得r=而电子在磁场中运动时满
6、足evB=m故可得电子穿出磁场所用时间为t= 例 4如图 5 所示一个质量为m电荷量为q 的粒子从A孔以速度v0垂直 AO进入磁感应强度为 B的匀强磁场并恰好从C孔垂直于 OC射入匀强电场中， 已知电场方向跟OC平行，OC AD ，OD=2OC ，粒子最后打在D点( 不计粒子重力 ) 求：(1) 粒子从 A点运动到D点所需的时间t ；(2) 粒子抵达D点的动能Ek解析(1) 由题意可知， 带电粒子在磁场中运动了1/4 圆周进入电场，则R=OC=OD/2 ，这时有qv0B=m即R=而tB=T/4=进入电场后，做类平抛运动，到达D点时，用时tE=故粒子从 A点运动到D点所需的时间t=tB+tE=m
7、 (2) 带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力与速度方向垂直，因而不做功而在电场中运动时电场力要做功，即在整个运动过程中只有电场力做功，所以可用动能定理求解即有qER=Ek-mv02又在电场中OC=()2=R 即E=Bv0/2 故粒子抵达D点的动能Ek=mv02+qER=mv 023、范围类问题所谓范围类问题，即问题所示的答案属于某一范围，如粒子运动速度的范围、磁场磁感强度的范围及带电粒子荷质比的范围等在解这类问题时要谨慎考虑限制条件，避免解答的片面性 例 5如图 6 所示，在铅板 AB上有一个放射源S，可向各个方向射出速率v=2.04107m/s的 射线 CD为荧光屏 ( 足够大 ) ，AB 、C
8、D间距 d=10cm，其中存在磁感应强度B=6.010-4T的匀强磁场，方向垂直纸面向里已知 粒子的荷质比e/m=1.71011C/kg ，试求这时在竖直方向上能观察到荧光屏亮斑区的长度解析粒子进入匀强磁场后，满足qv0B=m，则R=0.2m 由于 粒子可向各个方向射出，容易看出向上方射出的 粒子及向右方射出的 粒子打在荧光屏上的位置P、Q之间即为亮斑区，这是求解本题之关键由图7 知 PO=OQ ，故在竖直方向上能观察到荧光屏亮斑区的长度为PQ=2PO=2=0.20.35m4、复合场问题所谓复合场，即重力、电场力、洛伦兹力共存或洛伦兹力与电场力同时存在等当带电粒子所受合外力为零时，所处状态是匀
9、速直线运动或静止状态，当带电粒子所受合力只充当向心力时，粒子做匀速圆周运动，当带电粒子所受合力变化且速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动 例 6在某空间同时存在着互相正交的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，如图8，一带电体A带负电，电荷量为q1，恰能静止于此空间的a 点；另一带电体B也带负电，电荷量为q2，正在过a 点的竖直平面内做半径为r 的匀速圆周运动，结果A、B在 a 外碰撞并粘合在一起，试分析其后的运动情况 解析 设 A、B的质量分别为m1、m2，B的速率为v，对电荷 A q1E=m1g 对电荷 B q2E=m2g，且 Bq2v=m2二者碰撞时系统动量守恒，有m2v=
10、(m1+m2)v , 且此时总电荷量为q1+q2，总质量为m1+m2, 显然仍有(q1+q2)E=(m1+m2)g 故它们将以速率v在竖直平面内做匀速圆周运动，并且有(q1+q2)v B=(m1+m2)由以上方程，可得R=q2r/(q1+q2) ，此即碰撞后二者共同的运动半径5、带电粒子在电磁场中的动态运动问题顾名思义， 在处理带电粒子或带电物体，在电磁场中的动态问题时，要正确进行物体的运动状况分析，找出物体的速度、位置及其变化，分清运动过程，注意正确分析其受力，此乃求解之关键 例 7 如图 10 所示，套在很长的绝缘直棒上的小球，其质量为m ，带电荷量为q，小球可在棒上滑动， 将此棒竖直放在
11、互相垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度是E，磁感强度是B，小球与棒的动摩擦因数为，求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度 (设小球带电荷量不变) 解析小球的受力情况如图10 所示，且有N=qE+qvB 因而F合=mg-(qE+qvB) ，显然随着v 的增大， F 合减小，其加速度也减小，即小球做加速度减小的变加速度运动，当a=0 时，速度达最大值，故可解得v=0 时，am=g-a=0 时，即 mg-(qE+qvB)=0 时， vm=6、极值问题求极值是物理学中的一类重要问题，可以通过对物理过程准确分析反映学生分析问题的能力， 一般地首先要建立合理的物理模型，再根据物理规律确定
12、极端情况而求极值，此即所谓的物理方法求极值当然根据需要也可以采用其他方法如几何方法、三角方法、 代数方法等 例 8如图 11 所示， 真空的狭长的区域内有宽度为d，磁感强度为B的匀强磁场， 质量为m 、电荷量为q 的带负电的粒子，从边界 AB垂直磁场方向以一定的速率v 射入磁场， 并能从磁场边界CD穿出磁场，则粒子入射速度跟边界AB成角 =_时，粒子在磁场中运动时间最短( 不计重力，结果用反三角函数表示) 解析带电粒子以一定的速率射入磁场时，其运动半径是一定的当粒子在磁场中运动时间最短时，圆周的圆心角应最小，即对应的弧长( 或弦长) 也最短显然，最短的弦长为磁场宽度d，由图 12，则有 cos
13、=时，即 R=，又 qvB=m，则有R=，故 cos=因此， 粒子入射速度跟边界AB成角 =arccos时，粒子在磁场中运动时间最短7、与力学的综合题 例 9一小球质量为m ，带负电，电荷量为q，由长 l 的绝缘丝线系住，置于匀强磁场中，丝线的另一端固定在A点，提高小球，使丝线拉直与竖直方向成60角，如图16 所示调节磁场的磁感强度B0，释放小球，球能沿圆周运动，到最低点时，丝线的张力为零，且继续摆动，求：(1) 摆球至最低点时的速度；(2)B0的值；(3) 小球在摆动过程中丝线受的最大拉力解析(1) 小球在磁场中受到重力、弹力及洛伦兹力作用，但从释放到运动至最低点只有重力做功，由动能定理，则
14、有mgl(1- cos60)=mv2解之得v=(2) 在最低点时， 洛伦兹力与重力的合力提供向心力，即有 qvB0-mg=m，由以上二式，解得B0=(3) 由于小球运动方向的不同而使洛伦磁力方向改变，不难判断当小球从右边开始运动时，张力较大，且最低处张力最大，此时有T-qvB0-mg=m解之得T=4mg 例 10一带电液滴在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中运动，已知 E和 B，若此液滴在垂直磁场的平面内做半径为R的匀速圆周运动，如图17 所示求：(1) 液滴速度的大小，绕行方向；(2) 液滴运动到轨道最低点A分裂为质量、电荷量都相等的两液滴，其中一个液滴仍在原运动平面内做半径R1=3R的匀速圆周
15、运动，绕行方向不变，且这个圆周最低点仍为A，则另一个液滴如何运动？解析本题文字叙述较长，但只要理解题意，求解仍是较简单的(1) 据题意，应有qE=mg ，由此可判断液滴带负电，且qvB=m，则 v=BqR/m=BgR/E ，方向为顺时针方向(2) 分裂后，有则v1=3BqR/m=3BgR/E 由动量守恒定律，则有mv=故v2=2v-v1=-BgR/E 这说明，另一液滴做反方向的圆周运动，且半径不变 例 11一个质量m ，带有 +q 电荷量的小球，悬挂在长为L的细线上，放在匀强磁场中，其最大摆角为 ，为使摆的周期不受磁场影响，磁感应强度B应有何限制？解析由左手定则易判断：小球向左摆动时，所受洛伦
16、兹力背离悬点，将使悬线张力增加，但不影响摆的周期，而向右摆动时，如 B足够大，小球可能向悬点移动进而破坏其正常摆动设小球处于图中的位置时摆球速度为v，当周期不受磁场影响时由机械能守恒定律，有=mgL(cos-cos ) 据牛顿第二定律，有T+qvB-mgcos=m由以上二式可求得T=0 时的 B值，且 B=，可见， T=0时 B的取值与小球运动的速度v 有关由有关数学方法可以求得当时， B有最小值，即v=时，最小值 Bmin=这说明了当B=Bmin时，其他位置上悬线的张力均大于零，故使摆周期不受影响的磁感应强度应满足条件Bmin二、洛伦兹力在实际中的应用1、速度选择器 例 12 一个带正电荷的微粒（重力不计）穿过图5 中匀强电场和匀强磁场区域时，恰能沿直线运动，则欲使电荷向下偏转时应采用的办法是（ C ）A增大电荷质量
