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1、1万有引力定律的拓展应用万有引力定律的拓展应用一、考点突破一、考点突破知识点知识点考纲要求考纲要求题型题型分值分值万有引力万有引力定律的拓展，并会证明 会利用割补法的思想计算空腔中的万有引力问题选择题6 分二、重难点提示二、重难点提示 重点：重点：会用割补法转换研究对象解决疑难问题。 难点：难点：匀质球层对球内任意位置的物体的引力为 0。应用万有引力定律2MmFGR求物体间的引力时，因注意其适用条件，只有当两物体可视为质点时，才能认为R为两物体间的距离。对于球壳类则不能视为质点，则必须采取 其他的解决办法。 这里我们给出结论：一质点在均匀球壳空腔内任意一点受到球壳的万有引力为零。如图所示，一个
2、匀质球层可以等效为由许多厚度足够小的匀质球壳组成，任取一个球 壳，设球壳内有一个质量为 m 的质点，某时刻质点在 P 位置（任意位置）处，以质点（m） 所在位置 P 为顶点，作两个底面面积足够小的对顶圆锥，这时，两个圆锥底面不仅可以视 为平面，还可以视为质点。1F2F1r2rP m2 11mR2 22mR设空腔内质点 m 到两圆锥底面中心的距离分别为12rr、，两圆锥底面的半径为12RR、，底面面密度为。根据万有引力定律，两圆锥点面对质点的引力可以表示为：2 11 122 11m mRmFGGrr，2 22 222 22m mRmFGGrr，根据相似三角形对应边成比例，有1212RR rr，则
3、两个万有引力之比2 1 2 11 2 22 2 21R Fr RF r，因为两万有引力方向相反，所以引力的合力2120FF。依此类推，球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为零，整个球壳对质点的合力为零，故由多个球壳组成的球层对质点的合引力为零，即0F 例题例题 1 1 证明：在匀质实心球体内部距离球心 r 处，质点受到该球体的万有引力就等于半径为 r 的球体对其的引力，即2M mFGr ，其中M表示同样材质、半径为 r 的匀质球体的质量。O R r M M 思路分析：思路分析：如图所示，设匀质球体的质量为M，半径为R；其内部半径为r的匀质球体 的质量为M，与球心相距r处的质点m受到的万有引力
4、，可以视为厚度为（Rr）的匀 质球层和半径为r的匀质球体的引力的合力，根据匀质球层对质点的引力为零，所以质点受到的万有引力就等于半径为r的匀质球体的引力，即2M mFGr 。若已知匀质球体的总质量为M，则33Mr MR，33rMMR ，故23M mMmFGGrrR 当r=0 时，有0M ，0F ；当r=R时，有2MmFGR 。答案：答案：见思路分析。 点拨：点拨：本题得到的结论为万有引力定律拓展的推论，可作为结论使用。 例题例题 2 2 假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d。已知质量分 布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）A. 1
5、d R B. 1d R C. 2()Rd RD. 2()R Rd 思路分析：思路分析：令地球的密度为 ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有2MgGR由于地球的质量为：M=3 34R，所以重力加速度的表达式可写成：g=23234RRGRGM =34GR。 3根据题意，有质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为 d 的井底，受 到地球的万有引力即为半径等于（Rd）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度 g=34G(Rd)。所以有RdR gg答案：答案：A【高频疑点高频疑点】 割补法在万有引力中的应用割补法在万有引力中的应用 对某些物理题，当待求的 A 直接求解困难时
6、，可想法补上一个 B，补偿的原则是使得 A+B 变得易于求解，而且补上去的 B 也容易求解。那么，待求的 A 可以从两者的差值获得， 问题就迎刃而解了。 【满分训练满分训练】 如图所示，一个质量为 M 的匀质实心球，半径为 R。如果从球上挖去一个直径为 R 的 球，放在相距为 d 的地方。求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大?（1）从球的正中心挖去。 （2）从与球面相切处挖去； 并指出在什么条件下，两种计算结果相同?思路分析：思路分析：根据匀质球的质量与其半径的关系334 3Mrr，两部分的质量分别为8Mm ，7 8MM 。（1）如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为21227 64M mMFGGdd（2）如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算。为此，可利用等效 割补法，先将 M转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球 M，这时，两者之间的引力为2221 8MmMFGGdd。由于填补空心球而增加的引力为2221 64()()22mmMFGGRRdd 所以，这时 M与 m 之间的引力为2 222111 88()2FFFGMRdd ，当 d 远大于 R 时，M可以视为质点。这时，引力变为42 2 212221117 8864MFFFGMGFddd。即这时两种计算结果相同。答案：答案：见思路分析。
