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1、例1.2 袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为： S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)而且可得到下列随机事件 A=(3,1),(3,2)=第一次摸得黑球； B=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=第一次摸得白球； C=(1,2),(2,1)=两次都摸得白球； D=(1,3),(2,3)=第一次摸得白球，第二次摸得黑球； G=(1,2),(2,1)=没有摸到黑球。 设试验E的样本空间为S，A,B,Ak(
2、k=1,2,)为事件,返回,例1.3 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,例1.4 试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。,解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：,因此对立事件为：,即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞销”。,1、概率的统计定义,设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件
3、A的概率，记为P(A)=p。 由定义，显然有 0P(A)1, P(S)=1，P()=0。,设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P()具有如下性质： 非负性：对任意一个事件A，均有P(A)0 ； 完备性：P(S)=1； 可列可性质：若A1，A2，An，是两两互不相容的事件序列，即AiAj=(ij, i, j=1,2,)，有 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2) + P(An)+ 则称P(A)为事件A的概率。,2、概率的公理化定义（P.8）,1.3 古典概型与几何概型,一、古典概型的定义(p.11) 设随机实验E满足下列条件 1.
4、有限性：试验的样本空间只有有限个可能的结果，即2.等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。,二、古典概型的基本类型举例,古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。,由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。,1、抽球问题 例1.8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。 解 设A取到一红球一白球,答:取到一红一白的概率为3/5。,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,(2)从
5、中任意接连取出k+1(k+1m+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。,解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为,设事件B：“第k+1个取出的球是白球”，由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作为第k+1个球，一共有,其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排列，总数为,种保留下来的取法，,事件B所包含的基本事件总数为,在实际中，有许多问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”
6、的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,例1.11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：,A=某指定的一个盒子中没有球 B=某指定的n个盒子中各有一个球 C=恰有n个盒子中各有一个球 D=某指定的一个盒子中恰有m个球(mn) 解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。,事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n个球中的每一个球可以并且只可
7、以放入其余的N-1个盒子中。总共有(N1)n种放法。因此,某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？,?,分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。 (1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)； (2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”； (3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中； (4)印刷错误问题：n个印刷错误
8、在一本具有N页书的一切可能的分布，错误球，页盒子。,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰 有ni个球(i=1,m)，共有分法：,例 甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。,解：,根据题意，这是一个几何概型问题，于是,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二 个人取得红球的概率是多少？,?,1.4 条件概率,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nA
9、B个样本点，则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p.18),定义 设A、B是S中的两个事件，P(A)0，则,可以验证，条件概率P(|A)符合概率所需满足的三条基本性质：非负性：对任意一个事件B，均有0P(B|A)1；完备性：P(S|A)=1；可列可加性：若B1，B2，Bn，两两互不相容，则有,条件概率也满足概率的基本性质（P.18),条件概率的一般计算方法： (1)根据A发生以后的情况直接计算A发生的条件下， B发生的条件概率。“缩减样本空间” (2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式,例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”， B为“恰有2张
10、红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C),解,例1.17 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,解 设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件“活到25岁以上”，显然,设S是试验E的样本空间，A1,A2,An是试验E的一组事件，若A1, A2, An满足如下两个条件： （1）A1A2An=S， （2） A1, A2, An两两互不相容 则称事件组A1,A2,An组成样本空间的一个划分；若是样本空间的一个划分，则在每次试验中，事件A1,A2,An必有且仅有一个发生。,1、样本空间的划分,定理1.1
11、 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。设事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个划分，且设 P(Ak)0,(k=1,2,n),则,此公式称为全概率公式。,2、全概率公式(P.21),（将计算一个复杂事件的概率问题转化为在不同情况下或不同原因下发生的简单事件的概率的求和问题）,例1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,解 设B：买到一件次品； A1：买到一件甲厂的产品； A2：买到一件乙厂的产品； A3：买到一件丙厂的产品。,例1.21的结果提供给人们
12、这样的信息，即若工厂生产了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产厂的约有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率P(Ai|B) (i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。,3、贝叶斯公式(Bayes),定理1.2 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个划分，且P(Ak)0,(k=1,2,n),及P(B)0，则,此式称为Bayes公式。,Bayes公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,而且
13、每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式,例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是多少？,类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。,例1.22 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球。这6个球手感上不可区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解 设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球。,甲,乙,思考 例
14、1.22中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答,一般地，设A1，A2，An是n个事件，若下面个等式同时成立：,则称n个事件A1，A2，An相互独立。,.,性质1: 若事件A1，A2，An(n1)相互独立，则其中任意k(k n)个事件也相互独立。,性质2: 若事件A1，A2，An(n1)相互独立，则将A1，A2，An中任意m(1 m n)个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。,注：通常事件的相互独立性是根据实际意义判断的。,注：互不相容事件，互逆事件，相互独立事件的异同A、B互不相容表示A、B不能同时发生A、B互逆表示A、B不能同时发生且不能同时不发生A
15、、B相互独立表示两事件中一事件发生与否不影响另一事件的发生与否,例2.5 设袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。,解,X=k的所有可能取值为0，1，2,X是一个随机变量,解 设Ai 第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1, A2，A5相互独立，且 P(Ai)=p,i=1,2,5。SX=0,1,2,3,4,5,例2.6 某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。,例2.7设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产品中随机地抽查100件，试求所得次品件数的概率分布律。,解
16、设X=k表示事件“100件产品中有k件次品”，则X可能取值为0，1，2，100。 本题可视作100重贝努里试验中恰有k次发生(k件次品)， XB(100,0.002)。 因此，所求分布律为,例2.8 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的概率是0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。,解 设X表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”，则X可能取值为0，1，2，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出正确意见）,XB(7,0.6)。 因此X的分布律为,所求概率为,例2.9 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。 (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律； (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。,
