结构动力计算(1) 结构力学 学习资料

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1、基本要求： 熟练掌握熟练掌握单自由度体系的自 由振动和简谐荷载作用下的受迫振动、两个自由度体系的自由振动及主振型的正交性。 掌握计算频率的近似法、阻尼对振动的影响。 了解一般荷载作用下结构的动力反映（杜哈梅积分）、无限自由度体系的自由振动。,第十五章 结构的动力计算,结构动力计算特点和内容 单自由度体系的自由振动 单自由度体系的强迫振动 多自由度体系的自由振动 多自由度体系的强迫振动 无限自由度体系自由振动 近似法求自振频率,1、结构动力计算的特点和内容 动荷载(dynamic load)与静荷载(static load)的区别动荷载：大小、方向或位置随时间而变，静荷载：大小、方向或位置不随时

2、间而变，,而且变得很快,或变得很慢,衡量荷载变化快慢的标准还有结构的自振频率。,与静力计算的区别。两者都是建立平衡方程，但动力计 算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函数。建立的方程是微分方程。 动力计算的内容。研究结构在动荷载作用下的动力反应 的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动）荷载的变化规律及其动力反应。 （强迫振动） 2、动荷载分类。按其变化规律及其作用特点可分为： 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）,15-1 动力计算概述,偏心质量m,偏心距e,

3、匀角速度 惯性力:P=m 2e,其竖向分量和 水平分量均为简谐荷载.,简谐荷载（harmonic load）,一般周期荷载(periodic load),2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。,3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）,3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的个数称为体系的振动自由度。,实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量集中为几个质

4、点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。,m,mm梁,m,+m梁,I,I,2I,m,+m柱,厂房排架水平振动 时的计算简图,单自由度体系 (single degree-of-freedom system),三个自由度体系,演示,水平振动时的计算体系,多自由度体系,构架式基础顶板简化成刚性块,(t),v(t),u(t),三个自由度,三个自由度,复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度,2）广义坐标法(generalized coordinate)将无限自由度体系化成有限自由度体系的另一种方法假设震动曲线,为满足位移边界条件已知函数,称为 形状函数, a1, a2, an为待

5、定的参数（广义坐标）。,烟囱底部的位移条件:,于是近似设变形曲线为:,n个自由度体系,简支梁的位移条件y(0)=0,y(l)=0,于是近似设变形曲线为:,n个自由度体系,几点注意： 1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集 中质量数，可能比它多，也可能比它少。,2）体系的自由度与其超静定次数无关。 3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。 4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自 由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。,一个质点两个自由度,两个质点一个自由度,单自由度体系动力分析的重要性,具有实际应用价值，或进行初步的估算。 多自由度体系动力分析的基础

6、。,自由振动(free vibration)：振动过程中没有干扰力作用，振动 是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。,一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理）,m,k,1、刚度法(stiffness method),m,从力系平衡建立的自由振动微分方程,2、柔度法(flexibility method),从位移协调角度建立的 自由振动微分方程,取振动体系为研究对象， 惯性力：,=1/k,15-2 单自由度体系的自由振动,(DAlembers principle),二、自由振动微分方程的解,振幅: Amplitude of vibration,初始相位角: initial p

7、hase angle,三、结构的自振周期(natural period),周期函数的条件: y(t+T )=y(t ),是周期函数,且周期是:,频率: (frequency),每秒钟内的振动次数.,圆频率: (circular frequency),2秒内的振动次数.,无阻尼自由振动是简谐振动,自振周期计算公式的几种形式：,圆频率计算 公式的几种形式：,其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动 方向施加的力。 st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位

8、移。 计算时可根据体系的具体情况，视、 k、 st 三则中哪一 个最便于计算来选用。,一些重要性质： （1）自振周期与 且只与结构的质量和结构的刚度有关， 与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期 越大（频率于小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度 越大，周期越小（频率于大）；要改变结构的自振周期，只 有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力 性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果 其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。,W是质 点的重力,例1：图示三根单跨梁，EI=

9、常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,据此可得：1:2 : 3= 1 : 1.512 : 2,结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。,k,QCA,QCB,例2:求图示刚架的自振 频率。不计柱的质量。,3EI/h2,6EI/h2,6EI/h2,k,例5,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh = MBC,解法2：求 ,例6,解：求 k,对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方 便。,一端铰结的杆的侧

10、移刚度为：,两端刚结的杆的侧移刚度为：,强迫振动(forced vibration)结构在荷载作用下的振动。,k,弹性力ky、惯性力,和荷载P(t)之间的平衡方程为:,1、简谐荷载(harmonic load)：,单自由度体系强迫 振动的微分方程,特解：,15-3 单自由度体系的强迫振动,演示,最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。,特解可写为：,通解可写为：,设t=0时的初始位移和 初始速度均为零，则：,过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）,按自振频率振动,按荷载频率振动,平稳阶段：,最大动位移（振

11、幅）为：,动力系数 (magnification factor),重要的特性： 当/0时,1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。 当01，并且随/的增大而增大。 当/1时,。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75/1时,的绝对值随/ 的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。,当动荷载与惯性力共线时,还有,例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。,解：1)求,2)求,3)求ydmaxMdmax,例 15-3 有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480c

12、m4，截面系数 W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量 Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力 P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动 的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m.解：1）求自振频率和荷载频率,2）求动力系数,175.6MPa,I22b,3570cm4,3570,39.7,39.7,1.35,可见，对于本例，采用 较小的截面的梁既可避 免共振，又能获得较好 的经济效益。,52.3/57.4=0.91,325,149.2,必须特别注意，这种处理方法（比例算法）只适用于单 自由度体系当动

13、荷载作用在质点且与质点运动方向一致时的 情况。对于动荷载不作用于质点的单自由度体系，以及多自 由度体系，均不能采用这一方法。,2、一般荷载,一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的 动力反应来推导,1、瞬时冲量的动力反应,设体系在t=0时静止， 然后 有瞬时冲量S作用。,瞬时冲量S引起的振动可视为 由初始条件引起的自由振动。 由动量定理：,2、任意荷载P(t)的动力反应,时刻的微分冲量对t瞬时 (t )引起的动力反应:,初始静止状态的单自由度体系 在任意荷载作用下的位移公式:,(Duhamel 积分)（15-29）,初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:,3、几种荷载的动

14、力反应,1）突加荷载,yst=P0=P0/m2,质点围绕静力平衡 位置作简谐振动,2）短时荷载,阶段(0tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移,和速度,为初始条件作自由振动。,或者直接由Duhamel积分作,另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。,当0 u,最大动反应,1）当 u T/2 最大动位移 发生在阶段,2）当 u T/2 最大动位移 发生在阶段,=2,动力系数反应谱 (与T 和之间的关系曲线),3）线性渐增荷载,这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求:,对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有 很大的关系。其动力系数的反应谱如下：,动力系数反应谱 (sp

15、ectrum of magnification factor),动力系数介乎1与2之间。 如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。 常取外包虚线作为设计的依据。,钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线,因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。,阻尼(damping)对振动的影响,演示,忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。,大体上,忽略阻尼的振动规律,考虑阻尼的振动规律,结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。,简谐荷载作用下有可能出现共振。,自由振动的振幅永不衰减。,自由振动的振幅逐渐衰减。,共振时的振幅趋于无穷大。,共振时的振幅较大但为有限值。,产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。 阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。与质点速度无关（如摩擦力）。 粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为 R(t)=Cy ).,其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。,