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1、1,第四章 弯曲应力,4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图,4-2 梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图,4-3 平面刚架和曲杆的内力图,4-4 梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件,4-5 梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件,4-6 梁的合理设计,2,4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图,一、关于弯曲的概念,弯曲：杆件在其包含杆轴线的纵向平面内，承受垂直于其轴线方向的外力，或在其轴线平面内作用有外力偶时，杆的轴线变为曲线，该变形称为弯曲。 以弯曲变形为主变形的杆件称为梁。,3,受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内(如左图所示的阴影平面)，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。变形特点：直杆
2、的轴线在变形后变为曲线。,第四章 弯曲应力,4,梁是工程中常用的杆件，尤其在建筑工程中，如房屋建筑中常用于支撑楼板的梁（图1），阳台的挑梁（图 2），梁式桥的主梁（图3）等。,图 1,图 2,图3,悬臂梁,简支梁,简支梁,5,第四章 弯曲应力,6,纵向对称面,工程中最常见的梁，如图所示，其横截面一般都有对称轴。同时外力均包括在该对称轴的平面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线，这种弯曲称对称弯曲。,第四章 弯曲应力,7,非对称弯曲梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线不在它的纵向对称平面内；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面在同
3、一平面内。,第四章 弯曲应力,对称弯曲梁具有纵对称面，外力作用于梁的纵向对称 面内，变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。,8,对称弯曲特点：构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵对称面。,平面弯曲特点：梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合。,非对称弯曲特点：构件不具有纵对称面，或虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形,9,本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。,第四章 弯曲应力,二、梁的计算简图,对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。梁支座按其对梁在荷载作用平面的约束情况，可简化成一下三种：,10
4、,1、支座的基本形式,（1）固定端实例如图a，计算简图如图b, c。,第四章 弯曲应力,11,（2）固定铰支座实例如图中左边的支座，计算简图如图b,e,（3）可动铰支座实例如图a中右边的支座，计算简图如图c,f。,第四章 弯曲应力,支座的简化往往与对计算的精度要求或支座对整个梁的约束情况有关，课本如图4-4。,12,图 1,图 2,图4,悬臂梁,简支梁,简支梁,13,悬臂梁,2、梁的基本形式,简支梁,外伸梁,第四章 弯曲应力,14,在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。,3、静定梁和超静定梁,图d，e，f所示梁的约束力不能单独利用平衡方
5、程确定，称为超静定梁。,第四章 弯曲应力,连续梁,悬臂梁,简支梁,连续梁,半固定梁,固定梁,(f),15,均匀分布荷载,线性(非均匀)分布荷载,分布荷载,Me,集中力偶,集中力,4、作用在梁上的载荷形式,F,16,4-2 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,一、梁的剪力和弯矩及其利用外力求解方法,图a所示跨度为l的简支梁其约束力为,梁的左段内任一横截面mm上的内力，由mm左边分离体(图b)的平衡条件可知：,第四章 弯曲应力,17,它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是 mm右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。,故根据作用与反作用原理，mm左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用力矩数
6、值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由mm右边分离体的平衡条件加以检验：,第四章 弯曲应力,18,从而有,第四章 弯曲应力,由mm右边分离体的平衡条件检验：,19,作用在梁横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力； 梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。,第四章 弯曲应力,20,第四章 弯曲应力,使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。,正负号规定：,剪力FS：,弯矩M：,21,例4-1,22,综上所述可知，利用外力直接求截面上的内力规律：横截面上的剪
7、力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外 力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下 的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。,(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。a. 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将 引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。,第四章 弯曲应力,b. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯 矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截 面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。,23,例题:求图示外伸梁中的11、22、33、44和55 各截面上的内力。,24,二、剪力方程和弯矩方程剪力图和
8、弯矩图,剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。,第四章 弯曲应力,步骤如下: 1) 求支座反力(对于悬臂梁可不求支座反力)； 2) 建立相对坐标系，并用假想的截面将梁在拟求剪力和弯矩的位置截开； 3) 取截面任一侧为研究对象,作出受力图,列平衡方程4) 画出剪力和弯矩图。,25,例题4-5 图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,解：1. 求约束力,第四章 弯曲应力,(a),26,2. 列剪力方程和弯矩方程,第四章 弯曲应力,27,由图可
9、见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为 (正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为 发生在跨中横截面上。,3. 作剪力图和弯矩图,第四章 弯曲应力,28,简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！,第四章 弯曲应力,29,例题4-6 图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,第四章 弯曲应力,解：1. 求约束力,30,2. 列剪力方程和弯矩方程,此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。,第四章 弯曲应力,F,
10、AC段梁,31,CB段梁,第四章 弯曲应力,F,32,3. 作剪力图和弯矩图,如图b及图c。由图可见，在b a的情况下，AC段梁在0xa的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大， 为 （负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。,第四章 弯曲应力,39,分析例题所得规律(从左向右画),2、集中力作用处，FS图突变，方向、大小与力同；M图斜率突变，突变成的尖角与集中力F的箭头是同向。,3、集中力偶作用处，M图发生突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。,1、在梁上的外力不连续处（即集中力、集中力偶作用处、分布
11、荷载开始和结束处以及支座处）将梁分段，梁上FS 和M方程应分段列出；FS 和M图也应分别绘制。,4、全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在全梁或各梁段的边界截面或极值点的截面处。,40,集中力作用处,集中力偶作用处,若某截面的剪力FS(x)=0，根据 ，该截面的弯矩为极值。,第四章 弯曲应力,41,三、弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用,M(x), FS(x)与q(x)间微分关系的导出,从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。,第四章 弯曲应
12、力,42,从而得：,由梁的微段的平衡方程,略去二阶无穷小项 ，即得,第四章 弯曲应力,43,应用这些关系时需要注意，向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。,由以上两个微分关系式又可得,第四章 弯曲应力,即得微分关系为：,44,常见荷载下FS，M图的一些特征,第四章 弯曲应力,45,集中力作用处,集中力偶作用处,若某截面的剪力FS(x)=0，根据 ，该截面的弯矩为极值。,第四章 弯曲应力,顺下逆上突变,46,利用以上图形的特征，可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，同时还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：(1) 求支座约束力；(2) 分段确定剪
13、力图和弯矩图的形状；(3) 求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；(4) 确定|FS|max和|M|max 。,第四章 弯曲应力,47,例题 一简支梁在其中间部分受集度为 q=100 kN/m的向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。,第四章 弯曲应力,x,48,而根据 可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为,1. 校核剪力图,解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为：,第四章 弯曲应力,该梁的AC段内无荷载，,49,对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且因荷载
14、系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100 kN/m。,第四章 弯曲应力,根据 可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为100 kN。根据斜直线的斜率为 ，可证实D截面处的剪力确应为,50,对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100 kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力就是,第四章 弯曲应力,51,2. 校核弯矩图,这与图中所示相符。,该梁的AC段内，剪力为常量，因而根据 常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为 的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为,
