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1、,第3章 逻辑代数基础,数字电路使用二进制，即电路中的信号变量均为二值变量，只能有0、1两种取值。逻辑代数描述了二值变量的运算规律，它是英国数学家布尔（George Boole）于19世纪中叶在他的著作逻辑的数学分析及思维规律中提出的，也称布尔代数。逻辑代数是按逻辑规律进行运算的代数，是分析和设计数字逻辑电路不可缺少的基础数学工具。本章主要讨论逻辑代数的运算法则、基本规则以及逻辑函数的化简方法。,3.1 逻辑代数运算法则,逻辑代数中的变量只有0、1两种取值，逻辑函数的输入变量可以有多个，输出变量为一位的变量。逻辑代数基本运算包括非、或、与三种运算。,或运算也称为逻辑加法，用“+”表示，分别为0
2、 + 0 = 0，0 + 1 = 1，1 + 0 = 1，1 + 1 = 1。,与运算也称为逻辑乘法，用“ ”表示，分别为0 00，0 10，1 00，1 11。,3.1.1 逻辑代数的基本定律,3.1.2 逻辑代数的基本规则,1代入规则在任何一个逻辑代数等式中，如果等式两边出现的某一变量都用一个逻辑函数代替，则等式依然成立。,设 F 为逻辑函数，如果将该函数表达式中所有的“与”（）换成“或”（+），“或”（+）换成“与”（）；“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量， 则所得到的逻辑函数即F的反函数，表达式为 。,2反演规则,运用反演规则时要注意以下两点： 运算
3、优先顺序不变； 不是单一变量上的反号保持不变。,3对偶规则,若 F 为一逻辑函数，如果将该函数表达式中所有“与”（）换成“或”（+），“或”（+）换成“与”（）；“0”换成“1”，“1”换成“0”， 则所得到的逻辑函数即 F 的对偶式，表达式为 F 。 F 成立，F 也成立，同时有(F ) = F。,利用对偶规则可以使要证明的公式数减少一半。,解：,解：,3.1.3 逻辑代数常用公式,（3）,（5）,证明：,（6）,（7）如果,推论：如果,则有, 则有,多变量异或运算中，运算结果只与变量为1的个数有关，与变量为0的个数无关。若有奇数个变量为1，则结果为1；若有偶数个变量为1，则结果为0。,3.
4、2 逻辑函数的标准形式,逻辑函数有两种标准形式，一种是“最小项之和”的形式，称为标准与或式；另一种是“最大项之积”的形式，称为标准或与式。,3.2.1 最小项和标准与或式,1最小项,多个变量的乘积形式称为与项，如AB、 。由 n 个变量组成的逻辑函数的最小项是包含这 n 个变量的与项，其中每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且只出现一次。这个与项称为最小项或称标准与项。若变量数为 n ，则有 2n 个最小项。,例如，三个变量A、B、C可以构成8个最小项：,表3.1列出了三变量最小项真值表。,表3.1 三变量最小项真值表,最小项具有下列性质。 （1）对于任意一个最小项，只有一组变量的取值使它
5、的值为1，而其他取值都使该最小项为0； （2）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0； （3）全体最小项之和为1。,最小项通常用 mi 表示，下标 i 即是最小项编号，用十进制表示。把使最小项为1的那组变量取值当成二进制数，所对应的十进制数就是该最小项的编号。例如，A、B、C 取101时， = 1，101对应十进制数 5 ，所以 编号为 m5 。,3.2.2 最大项和标准或与式,表3.2 三变量最大项真值表,表3.3 三变量最大项和最小项及其编号,2标准或与式,逻辑函数表达式为一组最大项之积的形式，称为标准或与式。标准或与式说明在变量取何值时逻辑函数等于0。,【例3.7】 一个三变量逻
6、辑函数的真值表见表3.4，请写出其标准或与表达式。,解：,3.2.3 最大项与最小项的关系,（1）最大项与最小项互补，即,，,例如，对于三变量A、B、C，有：,（2）对于同一函数，不在最小项中出现的编号，一定出现在最大项编号中。,【例3.8】 一个三变量逻辑函数真值表见表3.5，写出其标准与或表达式和标准或与表达式。,解：,可见，标准与或式包含了使函数为1的项，而标准或与式包含了使函数为0的项。两者从不同角度说明了同一函数。,3.3 逻辑函数的公式化简法,同一个逻辑函数可以有不同的表达式，而逻辑式的繁简程度可以相差甚远。在逻辑电路设计中，逻辑函数要用电路元件来实现。一般来说，表达式越简单，其表
7、示的逻辑关系越明显，所用的电路元件也越少，可以节省材料，降低成本，提高系统的可靠性。因此，常常需要对函数进行化简，找出其最简表达式。最简表达式也有多种形式，如与-或表达式、或-与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与-或-非表达式、或-与-非表达式等。例如：,以上6种表达式是同一函数的不同形式，都是最简表达式。最简表达式的判断标准为：（1）项数最少；（2）每项中变量个数最少。公式化简逻辑函数是运用逻辑代数公式、定理、规则等对逻辑函数进行化简。,【例3.9】 化简,解：,【例3.10】 化简,解：,【例3.11】 化简,解：,3.4 逻辑函数的卡诺图化简法,用卡诺图（Karnaugh M
8、ap）化简逻辑函数具有简单、直观、方便的特点，较容易判断出函数是否得到最简结果。,3.4.1 卡诺图,用卡诺图表示逻辑函数，是将此逻辑函数的每个最小项按一定规律填入一个特定的方格图内，这个图称为卡诺图。图3.1为两变量(A，B)卡诺图。每个变量都有0和1两种取值，每个小格为一个最小项。,图3.1 两变量卡诺图,图3.2分别给出了三变量、四变量和五变量卡诺图，小格内为相应最小项的编号。,(b) 四变量,5,7,3,1,1,4,6,2,0,0,10,11,01,00,ABC,(a) 三变量,(c) 五变量 图3.2 卡诺图,3.4.2 用卡诺图表示逻辑函数,卡诺图是最小项构成的方格集合，只要把逻辑
9、函数化成标准与或式（最小项之和），就可以很容易填入卡诺图中。,【例3.12】 用卡诺图表示逻辑函数,解：首先将F化成标准与或式：,在卡诺图中相应最小项的位置填1，其余位置填0（0也可以不填），如图3.3所示。,图3.3 例3.12卡诺图,【例3.13】 已知逻辑函数Y 的卡诺图如图3.4所示，写出Y 的逻辑函数表达式。,解：,图3.4 例3.13卡诺图,3.4.3 用卡诺图化简逻辑函数,1求最简与或表达式,由卡诺图中小格的相邻性得知，相邻小格只有一个变量不同，因此可以合并方格为1的相邻格，保留相同的变量，消去不同的变量，达到化简的目的。化简的规则是：如果有2k个最小项相邻（k = 1，2，3，
10、）并排成一个矩形，则它们可以合并为一项，并消去k个因子，留下相同变量是1的写原变量、是0的写反变量，组成与项，各个与项之间为“或”的关系。用卡诺图求最简与或式的步骤是：（1）画出函数的卡诺图；（2）圈出矩形2k个格中的1；（3）写出最简与或表达式。同时要注意：（1）1格一个也不能漏圈；（2）1格可以被重复圈；（3）圈的面积尽可能大，圈的个数尽可能少；（4）每个圈中至少有一个未圈过的1。,【例3.14】 用卡诺图法化简函数,解：将函数X 填在卡诺图中（见图3.5），圈1，写出每个圈对应的与项，得到最简与或表达式：,【例3.15】 用卡诺图法化简函数,解：填卡诺图（见图3.6），圈1，得到最简与或
11、表达式：,【例3.16】 用卡诺图法化简函数,解：填卡诺图（见图3.7），圈1，得到最简与或表达式：,图3.7 例3.16图,2求最简或与表达式,求逻辑函数的最简或与表达式时，要在卡诺图上圈0。圈0和圈1的原则、方法相同，不同的是消去不同的变量后，留下相同变量是1的写反变量，是0的写原变量组成或项，圈之间为“与”关系。,图3.8 例3.17图,【例3.17】 用卡诺图将下列函数化简为最简或与式：,解：将函数 X 填入卡诺图（见图3.8），圈0，得到最简或与表达式：,将例3.17与例3.14相比较，得到结论：同一函数圈1和圈0得到的结果是相同的。最简与或式和最简或与式是从不同角度描述一个逻辑函数
12、。,【例3.18】 用卡诺图将下列函数化简为最简或与式：,解：方法1。将函数G在卡诺图中填0，注意函数中为原变量的填在变量0的位置，反变量填在变量1的位置，如图3.9(a)所示，圈0，得到最简或与式：,图3.9 例3.18图 (a),图3.9 例3.18图 (b),方法2。先写出函数G的对偶式G：,将G 填入卡诺图，见图3.9(b)，圈1，化简成G 的最简与或式：,将G 对偶求得G的最简或与式：,3.4.4 具有随意项的逻辑函数化简,在实际逻辑电路中，有时会遇到这样的情况：在逻辑变量顺序排列组合中，某些取值组合与实际情况相违背，不可能存在或不允许存在，这些变量取值对应的函数值也就没有意义或不存
13、在。遇到这类问题时，将这些变量取值对应的函数值看成是1还是0，对函数功能没有影响。称这种变量取值组合成的最小项为随意项，在化简逻辑函数时可以根据化简的需要把其看成1或0。例如，有一个电机的正转、反转和停止工作分别用A、B、C变量表示，A = 1表示电机正转，B = 1表示反转，C = 1表示电机停止工作。很显然，电机在任何时候只能处于其中一种状态，即只能出现ABC为001、100或010中的一种，而不能是000、011、101、110或111中的任何一种，因此这5个最小项为约束项。这种约束条件用最小项恒为0表示其与函数功能无关，即：,图3.10 例3.19图,又如，在8421BCD码中，有6组
14、编码（10101111）是不使用的。在电路正常工作时，这6组代码不会出现。因此，与之对应的输出为1或0都不影响电路工作，这种最小项称为无关项。,在逻辑代数中，把约束项和无关项统称为随意项，用 表示，,在真值表和卡诺图中用 或 X 表示。,【例3.19】 用卡诺图化简函数：,解：画出函数 F 的卡诺图，见图3.10。将随意项0101作为1，圈1化简得：,将随意项0000和0010作为0，圈0化简得：,注意，任何一个随意项可以看成1或0，但不能既看成1，又看成0。,图3.11 例3.20图,【例3.20】 一大一小两台电机 ML 和 MS 向水箱泵水。当水箱内水位降到C 点（见图3.11）时，由小
15、电机 MS 单独泵水；降到 B 点时，由大电机 ML单独泵水；降到 A 点时两台电机同时泵水。试写出两电机工作的最简逻辑函数。,解：设水位A、B、C为逻辑变量，各变量值在低于相应水位时为1，不低于相应水位时为0；电机ML和MS为逻辑函数，工作为1，不工作为0。由此得到真值表（见表3.6）。,在真值表中，010、100、101、110这4组取值无意义，对应不可能存在的情况，在真值表中用表示，即其值为1或0对函数ML和MS无影响。,将ML、MS分别填入卡诺图中（见图3.12）。化简得：,图3.12 例3.20图,表3.6 例3.20真值表,3.4.5 引入变量卡诺图,我们知道，变量每增加一个，其函
16、数卡诺图的小格数就增加一倍。当变量超过5个时，其函数卡诺图的应用就会受到限制。可以用引入变量卡诺图（Variable Entered Map，VEM），使多变量卡诺图变得简单。引入变量卡诺图是将一个n 变量的函数分离出一个变量填入（n - 1）变量卡诺图中，使卡诺图的面积减小为原来的一半，从而化简了多变量卡诺图。例如，三变量函数：,分离出变量C作为引入变量，填入两变量（A，B）卡诺图中，如图3.13所示。,C+,图3.13 F的引入变量卡诺图,【例3.21】 用VEM化简函数：,解：将D作为引入变量，填入三变量ABC卡诺图中（见图3.14），化简得：,图3.14 例3.21图,【例3.22】 用VEM化简函数：,
