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1、小学数学思想方法,讲座人：叶宁,目 录,前 言,小学数学思想方法,小学数学思想方法梳理,后 记,一、前言,能力培养,数学思想 方法的渗透,社会对数学价值的要求,教学实践表明,小学数学教育的现代化，不是内容现代 化，而是数学思想及教育手段的现代化,加强数学思想的教学是基 础数学教育现代化的关键,数学教学 就是数学 思维活动 的教学,数学教育 承载着“发 展儿童的思 维”的重任,在教师 的指导下,人类的活动离不开思维，思维能力的发展程度是整个智力发展的缩影和标志。,数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构
2、转化的过程,由于数学 自身的特点,基本 活动 经验,基础 知识,基本 技能,基本 思想,CEO,数学教材的两条主线,数学基础知识是一条明线,数学 思想方法,数学教材 两条主线,数学思想方法是一条暗线,二、小学数学思想方法,数学方法,数学思想方法,小学数学思想方法,数学美,三、小学数学思想方法的梳理,对应 思想,集合 思想,符号化 思想,数形结 合思想,统计 思想,极限 思想,小学数学,思想 方法,1、对应思想方法,一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”， 两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“2”,在“多与少”这一内容中，一个茶杯盖与每一个茶杯对应,直线上的点（或数轴）与表示具
3、体的数是一一对应,对应思想方法,确定位置 （物体与位置对应）,面积 （物体面积与单位对应）,假设思想实际上也是转化 方法的一种,假设思想是一种常用的推测性的数学思考方法,假设思想是小学数学中比较常用的方法,假设思想是 一种有意义 的想象思维,假设法是通过对数学问题的一些数据做适当的改变，然后根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据计算所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法。,假设 思想,2、假设思想方法,案例,案例,俄国教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础。”,小学生学习数学知识，也同样需要通过对数学材料的比较，理解新知的本质意义，掌握知识间的联系
4、和区别。,3、比较思想方法,案例,角的关系,分数的大小,4、符号化思想方法,案例,加法交换律,方程的意义,5、类比思想方法,数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和 类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。”。,可以激发学生的创造力,案例,乘法交换律,三角形的面积,由加法交换律 abba 的学习迁移到 乘法交换律ab=ba 的学习,长方形的面积公式 为长宽ab， 通过类比两个相同的三角形 可以拼成一个长方形， 因此得到三角形的面积公式为 长（底）宽（高）2 ab（h）2,圆锥体体积,圆柱体体积公式 为底面积高， 那么圆锥体体积 可以理解为 底面积高3,对问题进行转换时,既可转换已
5、知条件,也可转换问题的结论,在解决数学问题时，转换是一种非常有用的策略,这里的变换是可逆的双向变换,其本身的大小不变，由一种形式变换成另一种形式的思想方法,6、转化思想方法,转换可以是等价的，也可以是不等价的,案例,分数与小数的乘除法,简便运算,计算：2.8113170.7 直接计算比较麻烦， 而分数的乘除运算比小数 方便，故可将原问题转换为：这样利用约分 就能很快获得本题的解,计算：1225 可以通过转化， 将12分解成34 这样就变成 1225=（34）25 =3（425）=300,概念,意义,作用,把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决,不
6、同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念,数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构,7、分类思想方法,“分而治之、各个击破、综合归纳”,案例,案例,直线、射线与线段,三角形的分类,1. Title,2. Title,3. Title,集合思想,把若干确定的有区别的事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，各事物称为集合的元素.,把一些能够确定的不同对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合,集合思想是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等解决数学问题或非纯数学问题的思想方法,小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想,8、集合思想方法,集合思想的特征,集合特征,
7、确定性,互异性,无序性,集合中的元素一定是不同的. 即集合中的元素没有重复的,集合中的元素没有固定的顺序,给定一个集合，按照明确的判断标准确定一个元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，不能模棱两可,集合是现代数学的基础,不含任何元素的集合,含有有限个元素的集合,含有无穷个元素的集合,集合的分类,空集,有限集,无限集,集合的表现形式,集合的表现形式,把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，元素之间用逗号分开的方法,用封闭曲线所围成的图形（文氏图）表示集合,把集合中坎的共同特性描述出来，写在大括号内,列举法,图示法,描述法,小学里的集合,用封闭曲线圈起来看作一个整体集合,圈内对象为元素,2
8、 4 6 8 10 12 14 16 20,集合与集合的关系（包含） 集合与集合的交集、 集合与集合的并集 等运算在小学数学中应用,案例,案例,四边形之间的关系,三角形的关系,数形结合思想,关键是代数 问题与图形 之间相互转化,数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,数形结合思想,9、数形结合思想,数形结合思想,Content Title,数形结合思想包含两个方面,往往在研究“数”的时候借助于“形”,往往在探讨“形”的性质时又离不开“数”,几何直观的表现形式,
9、几何图形 线段图 数轴,方格纸 坐标 方向标,示意图 列表 动画,表现 形式,图形,图纸,表格,几何直观运用领域,我们不仅在几何教学中要重视几何直观，在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观应该贯穿于教学始终。,案例,平移与旋转,9的乘法口诀,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,计算公式的推导,案例,把阴影部分分别用分数和小数表示。,分数（ ）小数（ ）,分数（ ）小数（ ）,数的表示,案例,案例,减法小棒图,案例,三角形的特性,平均数,案例,位置与方向,千以内数的认识,案例,解决实际问题,一般不考虑全部数据,现实生活中大量数据,进行合理推断决策,有时调查全部数
10、据,统计就是搜集、 整理、计算和分 析研究对象的数 据，并作出适当 推断的方法。,统 计,10、统计思想方法,小学学习基本统计法,统计思想的类型,一是统计作为四大领域知识中的一类知识，安排了很多独立的单元进行统计知识的教学；,在小学数学中，统计思想的应用大体上可分为两种：,小学数学中统计的知识点主要有：,案例,条形统计图,一年级统计,案例,折线统计图,平均数,案例,扇形统计图,复式横向条形统计图,11、概率思想方法,事 件,确定事件,必然事件 不可能事件,不确定事件,随机事件,事件,如：抛硬币是正面可能 发生也可能不发生,如：每天日出日落必然发生 掷两枚骰子两个数字的和是13不可能发生,案例,
11、随机现象,案例,抛硬币,摸球活动,案例,设计转盘,游戏规则,12、极限思想方法,渗透有限与无限、曲与直、变与不变的辩证关系,在小学数学中渗透着既对立又统一的辩证思维,小学生思维以形象思维为主逐步向逻辑思维过渡,用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想,案例,刘徽“割圆术”,庄子,“一尺之棰， 日取其半， 万世不竭。”,案例,自然数,“自然数” “奇数” “偶数”,直线、射线与线段,案例,循环小数,平行与垂直,13、变中抓不变思想,案例,年龄问题,交换律和结合律,加法和乘法的交换律， 交换加数（因数）的位置， 它们的和（或积）不变,年龄问题中 年龄差不变,兄妹二人同时离家上学，哥哥每分钟走90
12、米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘记带课本，立即沿着原路返回，恰在离校门180米处和妹妹相遇，他们家距离学校有多远？,兄：,妹：,每分钟90米,？米,180米,每分钟60米,校门,案例,兄妹二人走的时间不变,14、可逆思想方法,案例,15、分解思想方法,朝阳小学三年级有4个班，每班50人，四年级有218人，三年级和四年级共有多少人？,200218418（人）, 三年级和四年级共有多少人？,504200（人）, 三年级有多少人？,答：三年级和四年级共有418人。,综合算式： 504218418（人）,案例,解答复合应用题,16、有序思想方法,有序思想,思维要有序，即要按照 一定的顺序，
13、有条理地， 全面地观察和思考问题,自然数列按从小到大的顺序排列 数数按照从小到大的顺序数 或者倒着数,数列按照一定的规律排列 大数可按照一个一个数、十个十个数、百个百个数,案例,数长方形,乘法口诀的编制,下图中共有多少个长方形？,17、函数思想,案例,函数,面积与体积,用表格表示数量间的关系,用图像表示数量间的关系,正比例和反比例,圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系： 2rh,平行四边形的面积： S=ah,长方形的周长与面积,填表,18、数学模型思想,案例,数的运算,面积与体积,a+b=c c-a=b ab=c(a0,b0) ca=b, cb=a,时间、速度和路程s=vt 数量、单价和总价
14、a=np 三角形面积;s=1/2ab 圆周长：c=2r 长方体体积：v=abc 圆锥体积：v=1/3sh,数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普遍的意义。,把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决,把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解,化难为易， 化生为熟， 化繁为简， 化整为零， 化曲为直等,19、化归思想,1、计算357+137=494（千米)137+357=494（千米)得出结果一样，也就是: 357+137=137+357观察下面两组算式，看看有什
15、么关系18+17O17+18124+235O 235+124上面每组算式有什么共同点？可以发现什么规律？得出：任何两数相加，交换加数的位置，和不变。,案例,认识加法交换律,直角三角形内角和为180度 锐角三角形的内角和为180度 钝角三角形的内角和为180度 三角形只有三类得出: 任何三角形的内角和为180度,案例,三角形的内角和为180度,案例,异分母分数,分数加减法： 异分母分数加减法转化 为同分母分数加减法,梯形面积,梯形的面积： 转化为平行四边形求面积,圆锥体的体积,圆锥体积： 转化为圆柱求体积,统计,运用不同的统计 图表描述各种数据,20、归纳思想方法,观察下面的一组算式，你能发现什么规律？ 14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 通过观察算式，能够发现这样一些规律：所有的 算式都是两位数加两位数，每个算式的两个加数 中的一个加数的个位和十位数互换，变成另一个 加数的和具有一定的规律。,案例,发现规律,案例,用计算器计算发现规律,案例,发现规律,推理,演绎推理,合情推理,推理是从一个或几个已有的判断 得出另一个新判断的思维形式,归纳推理和类比推理 由特殊到一般的推理,
