《信号时频分析理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号时频分析理论（119页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、信号时频分析理论,主讲：刘小峰 机械工程学院机械电子系 Tel:65106641 Email:,Fourier变换（FT）,如果把 f (t)理解为信号的描述, Fourier变换和,逆变换的表达式,信号的 Fourier 变换能给出信号的频率特性,即其频谱分析。由于Fourier变换和逆变换具有很好,的对称性, 使得信号的重构很容易进行. 特别是后来,离散Fourier变换(DFT)的发展,以及 1965 年提出的快速Fourier变换(FFT)与计算机技术相结合,使得Fourier变换的应用更加广泛和有效, 在科学技术的各个领域发挥过重要作用.,非平稳信号: 信号的某个统计特性是时间的函数
2、,分析的重点：统计特性的变化 (局域特性),积分变换,Fourier变换：,核函数,全局变换 (信号,核函数全时域积分),Fourier反变换：,全局变换(频谱,核函数全频域积分),但是Fourier变换仅适用于确定性的平稳信号.,从定义可以看出, 为了应用Fourier变换去研究一个,信号的频谱特性, 必须获得在整个时域,中信号的全部信息.由于 即Fourier变换,的积分核在任何情形下的模都是1, 所以信号f (t)的,频谱 的任一频点值都是由 f (t) 在整个时间域,上的贡献决定的。,反之, 信号f (t)在任一时刻的状态,也是由频谱 在整个频域 上的贡献,决定的. 所以在时域中Fou
3、rier变换没有任何分辨能,力, 通过有限频段上的 不能获得信号f (t)在任何,有限时间间隔内的频率信息. 因为一个信号在某个时,刻的一个小的邻域中发生了变化, 那么整个频域都要,受到影响. 这就是说,Fourier变换在时域没有局域特,性. 同样地分析可见,在频域上Fourier变换也没有局,域特性,FT在信号处理中的局限性,用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。,在不少实际问题中，我们关心的是信号在局部范围中的特征, 例如：,在音乐信号中人们关心的是什么时刻演奏什么样的音符； 对地震波的记录人们关心的是什么位置出
4、现什么样的反射波； 图像识别中的边缘检测关心的是信号突变部分的位置，即纹理结构。,这些FT不能完成，需要引入时频局部化分析,时频分析分类,(1) Short-time Fourier transform (STFT),(rec-STFT, Gabor, ),平方,能量谱图,改进,S变换,(2) Wigner distribution function (WDF),结合,Gabor-Wigner Transform,改进,加窗 WDF,改进,Cohens Class Distribution,(Choi-Williams, Cone-Shape, ),改进,Pseudo L-Wigner Dis
5、tribution,(4) Time-Variant Basis Expansion,Matching Pursuit（匹配跟踪）,改进Chirplet变换,(5) Hilbert-Huang Transform,(3) Wavelet transform,Haar and Daubechies,Coiflet, Morlet,Directional Wavelet Transform,(唯一逃脱Fourier transform 的架构),非对称 STFT,局域变换,g: 窗函数,例1: 短时Fourier变换 Short-time Fourier Transform,例2: Wigner-
6、Ville分布：,双线性变换 “能量分布”,信号取局部,核函数取全局的两个典型例子,T: 采样时间间隔 F: 采样频率间隔,例3: Gabor变换：, 原函数，Gabor原子, 基函数：原函数的时间平移和频率调制,例4: 小波变换：Wavelet Transform,其中,信号取全局,核函数取局部的两个典型例子,时频信号的表示：,“线性叠加原理”,线性时频表示,“二次叠加原理”：双线性时频表示,自项(信号项),互项(交叉项),一般而言： 感兴趣,不感兴趣,干扰(需抑制),短时Fourier变换：,完全信号重构(恒等分辨) Perfect Signal Reconstruction,完全信号重构
7、条件：,1、短时Fourier变换,短时Fourier变换也叫窗口Fourier变换 短时FT是说明时频局部化分析思想的很好例子, ,短时Fourier反变换：,窗函数g(t)宽窄的影响：, g(t)的有效时宽(时间宽度), g(t)的有效带宽(频带宽度),不相容原理,例如：,时宽带宽乘积 的窗函数：,理想的时间分辨率 频率分辨率的丧失, 凝聚态,理想的频率分辨率 时间分辨率的丧失,窗函数的数学定义,如果函数 ,则 被称为窗函数.它的中心和半径分别定义为：中心：半径：该窗函数所确定的时间窗,窗函数的定义实际上就是对函数衰减性的控制，也就是说窗函数具有在坐标轴上具有很好的衰减性，从而达到对坐标轴
8、进行局部化的目的。窗函数所确定的窗口是对它的局部性的一次刻画，它是可用来对信号进行时频局部化分析的基本函数，而窗函数本身则可由窗口的尺度来表征其局部性，若 越小，则说明 在时域上的局部化程度越高。,如果函数 ,则 被称为窗函数.它的中心和半径分别定义为：中心：半径：该窗函数所确定的频域窗,一个时域函数为窗函数，并不一定其Fourier变换也为窗函数。只有当、同时为窗函数时，才能在相空间确定一个矩形窗口:,窗口中心：窗口面积：,Heisenberg测不准原理,设 能确定一个矩形窗，则： 当且仅当 等号成立.,可以证明 和 都是窗函数，其确定的矩形窗口为短时FT同时给出了函数时域和频域的信息,令
9、，则STFT为,Gaussian 函数,窗函数 的特点：,随着 的变换，窗口在相空间不断平移； 短时Fourier变换就是通过这些移动的窗口来提取被变换函数的信息； 函数族 确定的时频窗口只是随 发生平移，窗口的大小和形状固定不变.,STFT的频域等价形式,其中,反映了信号在时频联合区域,的性质，其中,对于能量归一化的窗函数g，,STFT满足,说明，,反映了信号的时频联合能量谱。,STFT的反变换,STFT的解释,信号 在时间t的短时傅立叶变换就是信号 乘上一个以t为中心的“分析窗” 所作的傅立叶变换。 由于乘一个相当短的窗 等价于取出信号在分析点 附近的一个切片，所以短时傅立叶变换直接是信号
10、 在分析时间“t”附近的局部谱。 不断地移动t, 也即不断地移动窗函数 的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换。这些傅立叶变换的几何，即 ，它是变量 的二维函数。,实际中信号分析的要求：,信号高频部分对应时域中的快变成分，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低。 信号低频成分对应时域中的慢变成分，分析对时域分辨率要求低，对频域分辨率要求高。,因此，短时Fourier变换不能敏感地反映 信号的突变，不能很好地刻画信息。,例，信号由两个线性调制信号（Chirp）构成，即，,相当于两个信号的瞬时频率分别是,其频率差为常数，为进行短时傅立叶变换，选择一个窗函数，取
11、高斯窗,信号波形和它的短时傅立叶变换的能量幅度图,线性Chirp信号的例子,2、Gabor变换,Gabor展开是Gabor于1946年提出的，1980年Bastianns 提出了利用对偶函数计算Gabor系数的方法，1990年Weker等发表了离散Gabor展开的计算问题的论文，因此Gabor获得1971年的诺贝尔奖。,，Gabor开定义为,对于信号,是Gabor展开的基函数集，,它是原函数,经过平移和调制成的函数集，,是Gabor展开的系数，,分别是时间和率采样间隔。,和,为使Gabor展开称为信号的一种良好的时频局域性表示，要求h(t)在时域和频域能量都是集中在零附近.,设在时域h(t)的
12、傅立叶变换,的能量主要集中在,在时域和频域的能量分别集中在,和,每个系数,信号在时频区间,的性质,系数,所代表的时频格子的示意图如图,Gabor变换中如果原函数h(t)是高斯函数，即,时频格子的大小可以达到测不准原理的下界，,要使Gabor展开存在，T和,满足的约束条件为,如果,即栅格过稀，将缺乏足够的息来恢复信号,如果,采样，在过采样情况下产生的冗余可用于噪声消除或更有效地检测信号。,过小，必将会出现信息的冗余。这种情况称为过,称为临界采样，对应着使Gabor展开成力的最稀疏的时频采样。,Gabor展开的完整性,当基函数集,存在一个对偶原函数,构成一个框架时，,构成对偶框架,利用对偶框架计算
13、Gabor展开系数,Gabor展开系数,实际是以,做窗函数的STFT在时频离散采样位置,的取值。,信号理想重构,要求,利用Poisson求和公式，可以转化为如下的积分方程,35,例子 : x(t) = cos(440 t) when t 0.5,x(t) = cos(660 t) when 0.5 t 1,x(t) = cos(524 t) when t 1 The Gabor transform of x(t) ( = 200),用 Gray level 來表示 X(t, f) 的 amplitude,taxis (Second),f -axis (Hertz),f (Hz),f (Hz),
14、Gabor 谱,傅立叶谱,左边: x1(t) = 1 for |t| 6, x1(t) = 0 其他, 右边: x2(t) = cos(6t 0.05t2), -axis,t -axis,虽然窗口Fourier变换已经具备了平移的功能,但是w的变化不改变窗口的大小与形状, 不具备伸,缩性. 通过引进使时间变量可变的参数到窗口函数,之中, 代替Fourier变换中不衰减的正交基 从,而创立了小波变换.,3、小波变换,1910年Haar 提出最简单的小波 1980年Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式， 用于地质勘探。 1985年Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此
15、后形成小波研究的高潮。 1988年Mallat 提出的多分辨度分析理论（MRA）,统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。,小波变换的特点：, 平移不变性：, 伸缩共变性：, 自相似性：, 线性, 冗余性：,冗余的优点：数值稳定性高缺点：WT解释困难, 小波函数必须是一个积木块函数, 时频聚集性, 存在快速小波变换和反变换算法,对偶函数,逼近误差,R 支撑区,N阶消失矩：,称 具有N阶消失矩。 光滑性,N越大， 越光滑，逼近误差越小,设 满足条件,则称 为基本小波或小波母函数.称,为由小波基函数,a和b分别是伸缩因子和平移因子.,连续小波 的作用与窗口Fourier变换中,的 作用类似,其中b与t一样都起着时,
