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1、我并无过人的智能，有的只是坚持不屑的思索精力而已。今天尽你最大的努力去做好，明天也许能做的更好.,-牛顿,我反复思索好几个月，好几年；有九十九次都是错的，而第一百次我对了.,-爱因斯坦,第五章 留数,主 要 内 容,本章介绍孤立奇点的概念、分类及其判别；留数的概念；孤立奇点处留数的计算；并将其应用于实函数积分的计算.,5.1 孤立奇点,一、引言,二、零点,三、孤立奇点,四、孤立奇点的分类,五、如何进行孤立奇点的分类,回顾复积分的计算方法：,（4）柯西-古萨基本定理：,（5）Cauchy积分公式,（6）Cauchy高阶导数公式,一、引言,问题：如何转化成含有 的形式？,一、引言,本章重点解决闭路
2、积分问题。,如图，考虑积分,(1) 若 在 G 上连续，在 D 上解析，,则,(2) 若 在 D 上有唯一的奇点,此时,一、引言,本章重点解决闭路积分问题。,如图，考虑积分,(1) 若 在 G 上连续，在 D 上解析，,则,(2) 若 在 D 上有唯一的奇点,则,此时，将函数 在 点的邻域内进行洛朗展开，,由,则积分 “不难? ” 得到。,所谓函数 的零点就是方程 的根。,则称 为 的 m 阶零点。,二、零点,二、零点,(1) 为 的 m 阶零点。,(2),其中，,(3) 在 内的泰勒展开式为,充要条件 (如何判断零点的阶数? ),其中，,二、零点,充要条件 (如何判断零点的阶数? ),(1)
3、 为 的 m 阶零点。,(2),(3) 在 内的泰勒展开式为,是 的三阶零点。,是 的三阶零点。,方法一,方法二,三、孤立奇点,邻域 内解析，,则称 为 孤立奇点。,例,为孤立奇点。,例,原点及负实轴上的点均为奇点，,但不是孤立奇点。,例,(1) 令,为孤立奇点；,但不是孤立奇点。,x,y,o,这说明奇点未必是孤立的.,函 数 的 实 部,注: 若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.,四、孤立奇点的分类,根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类,将 在 内,展开为洛朗级数：,则称 为 的可去奇点。,( 即不含负幂次项 ),则称 为 的 N 阶极点；,( 即含有限个负幂次项 )
4、,特别地，当 时，称 为 的简单极点。,( 即含无限个负幂次项 ),则称 为 的本性奇点。,小结,五、如何进行孤立奇点的分类,定理 若z0为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价：,可去奇点的判定方法,(不含负幂次项),由,如果约定 在 点的值为 1，,则 在 点,就解析了，,因此称 为 的可去奇点。,定理 若z0为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价 （都是N阶极点的特征）：,(iii)z0 是 的N阶零点.,(可去奇点作为解析点看),N阶极点的判定方法,定理 若z0为f (z)的孤立奇点，则,z0为f (z)的极点的充要条件是,与不存在极限的区别,零点，,(2) 当 时，,即,为 的
5、可去奇点。,为 的 (n - m) 阶极点。,且 为 的 n 阶零点，为 的 m 阶,(含有限个负幂次项，且最高负幂次为 2 ),由,可见， 为 的二阶极点。,本性奇点的判定方法,定理 z0为 f (z) 的本性奇点,考察极限,(含无穷多个负幂次项),由,是 的一阶极点。,是 的二阶极点。,故 是 的二阶极点。,将 在 的去心邻域内展成洛朗级数，有,因此， 为 的二阶极点。,且是 的二阶零点，,总结:,孤立奇点,可去奇点,N阶极点,本性奇点,Laurent级数的特点,存在且为 有限值,不存在 且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,小结,一、引言,本章重点解决闭路积分问题。,如图，考虑积分,(1)
6、 若 在 G 上连续，在 D 上解析，,则,(2) 若 在 D 上有唯一的奇点,则,此时，将函数 在 点的邻域内进行洛朗展开，,由,则积分 “不难? ” 得到。,5.2 留数,一 留数的概念,二 留数的计算方法,5.2 留数,一、留数的概念,将 在 的去心邻域,称 为 在 处的留数，,记作：,内展开成洛朗级数：,(两边积分),其中，C 是 的去心邻域内绕 的一条简单闭曲线。,而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。,二、留数的计算方法,1. 可去奇点,2. 本性奇点,则 “只好” 将 在 的去心,邻域内展开成洛朗级数。,只需将其中负一次幂的系数 求出来就可以了。,(2) 对于不是本性奇点的
7、情况，该方法有时也是很有效的，,则,则,(2) 若,且 在 点解析，,则,二、留数的计算方法,3. 极点,(罗比达法则),将 在 的去心邻域内洛朗展开，,有,将 在 的去心邻域展开，,得,由于 是 三阶极点，,解,方法二 利用极点的留数计算法则求解,(罗比达法则),因此有,(好麻烦!),解,方法二 利用极点的留数计算法则求解,巧合?,那么,注 (1) 此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。,(2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，,而不一定非得使用后面即将介绍的留数定理。,5.3 留数定理及其应用,一 留数定理,二 留数在定积分计算中的应用,一、留数定理,处处解析，且连续到边界 C
8、 ，,根据复合闭路定理有,则,利用留数定理计算复围线积分的步骤：,1 明确积分曲线及内部奇点,2 确定奇点类型,计算留数,3 应用留数定理,求积分,(罗比达法则),为被积函数 的二阶极点，,方法二,利用高阶导数公式求解,方法三 利用洛朗展式求解,解,将被积函数 在 的去心邻域展开，,极点z=3在 的外部.,分别是f (z)的3级和1级极点, 都在 的内部. 而,是 的正向.,于是，根据留数基本定理,在高等数学中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如,或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如,二、留数在
9、定积分计算中的应用,根据留数定理，用留数来计算定积分是计算定积分,显得有用。即使寻常的方法可用，如果用留数，也往往,首先，被积函数必须要与某个解析函数密切相关。这一,的一个有效措施，特别是当被积的原函数不易求得时更,感到很方便。当然这个方法的使用还受到很大的限制。,点，一般讲来，关系不大，因为被积函数常常是初等函,数，而初等函数是可以推广到复数域中去的。其次，,定积分的积分域是区间，而用留数来计算要牵涉到把,问题化为沿闭曲线的积分。这是比较困难的一点。下面,来阐述怎样利用复数求某几种特殊形式的定积分的值。,二、留数在定积分计算中的应用,思想方法 :,封闭路线的积分 .,两个重要工作:,1) 积
10、分区域的转化,2) 被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,1、 形如 的积分,则,即 是以 u, v 为变量,的二元多项式函数或者分式函数。,方法,其中， 是 在 内的孤立奇点。,(2),例 计算积分,解 积分可以转化为,在复平面内有两个零点:,在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.,下面用复变函数的方法求解该题.,由于 因此 从而被积函数,1级极点z1. 所以,在单位圆周 内只有一个,其中，P (x) , Q(x) 为多项式；,(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高二次；,(3) 分母 Q(x) 无实零点。,推导 (略),其中， 是 在上半平面内的孤立奇
11、点。,要求,(1),方法,2 、形如 的积分,2. 积分区域的转化:,在上半平面取一条分段光滑的曲线, 使其与实轴的,一部分构成一条简单闭曲线, 包含 f (z) 在上半平面,的所有有限孤立奇点，并使 f (z) 在其内部除去,这种方法称为围道积分法.,1. 被积函数的转化:,当 z 在实轴上时 , f (z)=f (x).,f (x),f (z),有限孤立奇点外处处解析.,(2),(3),在上半平面内，i 与 3i 为 一阶极点 。,3、 形如 的积分,(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次；,(3) 分母 Q(x) 无实零点。,其中， 是 在上半平面内的孤立奇点
12、。,方法,即：,在上半平面内，1+3 i 为一阶极点。,(2),(3),(2),留数,计算方法,留数定理,留数在定积分 计算中的应用,本章内容总结,1. 留数的计算,3. 留数在定积分计算中的应用,本章的重点,2. 留数定理及在复变函数积分中的应用,第四章 完,Karl Weierstrass,(1815.10.31-1897.2.19),德国数学家. 曾在波恩大学学,习法律, 1838年转学数学. 后来成,为中学教师, 不仅教数学、物理, 还教写作和体育,在这期间刻苦进行数学研究. 1856年到柏林大学任,教, 1864年成为教授.,Weierstrass是将严格的论证引入分析学的一位,大师, 他发现了处处不可微的连续函数, 与其他一些,数学家一起共同结束了分析学的混乱局面.,Eugene Rouche (1832.8.18-1910.8.19),法国数学家. 在分析学和代数学方面均有贡献.,1862年发表了Rouche定理. 1875年曾发表文章证明,了线性方程组存在解的系数矩阵秩准则.,附：留数(Residu)的产生,这也是使用该名称的缘故。,若 为 的 m 阶极点，,附：关于极点的留数计算法则的说明,(其中 ),则,附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,回顾,则 对应于,对应于,附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式?,
