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1、第二章 静电场,主 要 内 容 电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力,1. 电场强度、电通及电场线 2. 真空中静电场方程 3. 电位与等位面 4. 介质极化 5. 介质中的静电场方程,6. 两种介质的边界条件 7. 介质与导体的边界条件 8. 电容与部分电容 9. 电场能量 10. 电场力,2018/8/30,1,1. 电场强度、电通及电场线,库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力（即库仑力）正比于它们的电量q1和q2的乘积而与两点电荷之间的距离R的平方成反比，且两电荷同号时为斥力，异号时为吸力，库仑力的方向沿两点电荷的连线方向。如图所示，点电荷q1作用于q2的库仑力
2、可表示为：,是从q1指向q2的距离矢量，即,2018/8/30,2,电场是一种特殊形式的物质，电场的存在形式表现为对电荷的作用力，因此为了描述电场的强弱，定义电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。,式中q 为试验电荷的电量， q 的体积应足够小，且为了使实验电荷的引入不致影响原来的场的分布，实验电荷的电量也应该足够小。F 为电荷q 受到的作用力。,2018/8/30,3,电场线的矢量方程,几种典型的电场线分布,由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。,为了形象地描述电场强度的分布特性，法拉第提出电场线，曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度的方向,电场强度通过任
3、一曲面的通量称为电通，以 表示,即,电场线是不能相交的，因为两条相交的曲线在交点处有两个切线方向， 而电场线的切线方向与E的方向一致，而E的方向不能有两个，故电场线不能相交。,2018/8/30,4,2. 真空中静电场方程,物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个积分形式的方程,式中0 为真空介电常数。,左式称为高斯定律，它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零。,2018/8/30,5,根据高斯定理：,上式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与
4、真空介电常数之比。,（高斯定律的微分形式）,上式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。,根据斯托克斯定理：,2018/8/30,6,已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电场强度E 应为,式中,2018/8/30,7,将前述结果代入，求得,因此,标量函数 称为电位。因此，上式表明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。,按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为,在实践中，常取大地表面作为参考点，或以无限远处作为参考点，因为在有限区域内，电位值与观察距离成反比，故无限远处电位为零。,静电场中某点的电位，其物理意义是
5、单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力所做的功。,2018/8/30,8,若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度 S 及线密度l 的关系分别为,将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为,2018/8/30,9,（1）对于某些特殊分布的静电场，可以直接利用高斯定律求解电场强度。此时，必须能够找到一个曲面，在这个曲面上各点的电场强度的分布特性已知。高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围的全部正负电荷的总和。,静电场特性的进一步认识：,（2）静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可
6、能相交。,（3）任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。,（4）计算静电场的三种方法：已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定律计算电场强度；或者可以通过电位求出电场强度；或者直接根据电荷分布计算电场强度。,2018/8/30,10,例1 计算点电荷的电场强度。,点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。,上式左端积分为,得,或,取球坐标系，令点电荷位于坐标原点，它产生的电场线呈辐射状，与方位角 及 无关，以点电荷为中心；作一半径为r的球面（
7、即为高斯面），则球面上各点的电场强度大小相等，若为正点电荷，则球面上各点的电场强度方向与球面外法线方向一致。利用高斯定律,2018/8/30,11,方法二：也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时， 。那么点电荷的电位为,方法三：若直接根据电场强度公式（2-2-14），同样求得电场强度E为,求得电场强度 E 为,2018/8/30,12,a.选取一个合适的坐标系，一般是使问题的边界面与某个坐标系的坐 标面重合或部分重合，以使问题在该坐标系中的数学表达式最简单；,2018/8/30,13,矢量积分计算的一般步骤：,b.先定性分析后再定量计算，注意对称性的应用，并善于利用已有的
8、结果；,c.具体计算时，先从小电荷元dq 入手，得出其场强元 ， 然后将场强元进行矢量分解，即分解为场强元的三个分量，则场强元的各分量都是标量，再对每个场强元的分量进行积分，得出场强的各分量后，最后再进行矢量的合成，便得到所求的电场强度。,场的叠加原理： a.离散分布电荷：设有N个点电荷，他们在场点P处所产生的电场强度等于各点电荷分别在点P产生的电场强度的矢量和，即,若电荷连续的分布在一个体积V内，可用电荷体密度 来描述；若电荷连续的分布在一个空间曲面S上，可用电荷面密度来描述；若电荷连续的分布在一条空间曲线l上，可 用电荷线密度 来描述。,对于连续分布的电荷，可把它分成许多可视为点电荷的电荷
9、元，它所产生的场强元为,应用场的叠加原理，可得连续分布电荷的电场强度为,2018/8/30,14,b.连续分布电荷：,体分布：,上式是由点电荷的电场所求得的计算连续分布电荷产生的电场的公式，可称之为库仑场强公式。即点电荷的电场是基本场。则对应于不同的连续分布的电荷，其电场强度可分别表示为：,面分布：,线分布：,当电荷元在电荷连续分布为体分布、面分布或线分布时，可分别表示成 相应的积分是电荷分布所在的体积、空间曲面或曲线积分。,2018/8/30,15,点电荷q在距离它为R的某点（称为场点）处所产生的电场强度为,2018/8/30,16,解：采用圆柱坐标系，取圆环中心为原点，并使圆环的轴线与z轴
10、重合，如图所示，在圆环上任取一线电荷元，即 ，它在场点P处所产生的场强元为,由于电荷分布对称，场点P处场强元的径向r分量dEr相互抵消，故只需计算场强元的z分量。,求整个带电圆环在P点所产生的场强时，应将场点坐标暂时视为常量，而只对源点坐标积分，但积分后场强仍是场点坐标的函数，这和数学中的累积分类似，即,例2-1 真空中有一电荷线密度为 的圆环形均匀带电线，其半径为a。试求圆环轴线上任意场点P处的电场强度。,2018/8/30,17,由于带电圆环上的全部电荷为 ，所以场强还可以表示为,例2-2 真空中有一电荷面密度为 的无限大均匀带电平板，试求它在空间任一点处的电场强度。,解：使带电平板与圆柱
11、坐标系内z=0 的平面相合。在带电平板上，取与观察点P相对的点为原点，并以该点为圆心，以 为半径作一圆环形面电荷元,2018/8/30,18,该电荷元只产生z方向的场强元，即,2018/8/30,19,例2 计算电偶极子的电场强度。,由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为,电偶极子：相距为l等值异性的两个点电荷，且l远小与观察点的距离，这样的电荷组合称为电偶极子。,2018/8/30,20,2018/8/30,21,式中l 的方向规定由负电荷指向正电荷。
12、通常定义乘积 q l 为电偶极子的电矩，以 p 表示，即,那么电偶极子产生的电位为,利用关系式 ，求得电偶极子的电场强度为,求得,2018/8/30,22,上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。,2018/8/30,23,例3 设半径为a，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。,选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无关。对于任一 z 为常数的平面
13、，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于z 轴，且与径向坐标 r 一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度 无关。,取半径为 r ，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律,2018/8/30,24,因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为,当 r a 时，则电量q 为 , 求得电场强度为,2018/8/30,25,上式中a2 可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为 =a2 的线电荷产生的电场。由此我们推出线密度为 的无限长线电荷的电场强度为,由此例可见，对于这种结构对
14、称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。,2018/8/30,26,3. 电位与等位面,静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。,应该注意，这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电位差，或者说是以无限远处作为参考点的电位。原则上，可以任取一点作为电位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值也不同。但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位参考点的选择不会影响电场强度的值。当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处作为电位参考点，因为此
15、时无限远处的电位为零。,电位的数学表示,式中q 为电荷的电量，W 为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。,2018/8/30,27,由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。,电位相等的曲面称为等位面，其方程为,式中常数 C 等于电位值。,2018/8/30,28,4. 介质极化,自由电荷和束缚电荷：导体中的电子通常称为自由电子，它们所携带的电荷称为自由电荷。电介质简称介质，又叫绝缘体。组成介质分子的原子核和其周围的电子云之间有很强的作用力，因而所有电子都是被束缚的，是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。,介质的分子按有无固有偶极矩可分为有极分子和无极分子。,2018/8/30,29,介质的极化：在电场作用下，介质中正、负束缚电荷朝相反的方向发生微小的位移，这种现象称为极化。,实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场 Es 又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。,
