《1.5 条件概率及全概率公式 (2)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《1.5 条件概率及全概率公式 (2)(48页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.5 条件概率及全概率公式,在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率,将此概率记作P(A|B).,一般 P(A|B) P(A),P(A )=1/6,,例如,掷一颗均匀骰子,A=掷出2点,,B=掷出偶数点,,P(A|B)=?,已知事件B发生,此时试验所有可能结果构成的集合就是B,,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中,,容易看到,P(A|B),P(A )=3/10,,又如,10件产品中有7件正品,3件次品,7件正品中有3件一等品,4件
2、二等品. 现从这10件中任取一件,记,B=取到正品,A=取到一等品,,P(A|B),P(A )=3/10,,B=取到正品,P(A|B)=3/7,本例中,计算P(A)时,依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A=取到一等品,,计算P(A|B)时,这个前提条件未变,只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“信息”,使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1).,设A、B是两个事件,且P(B)0,则称
3、(1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,3. 条件概率的性质(自行验证),设B是一事件,且P(B)0,则,1. 对任一事件A,0P(A|B)1;,2. P ( | B) =1 ;,而且,前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.,2)从加入条件后可用缩减样本空间法,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B)=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解: 设A=掷出点数之和不小于10
4、B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的 缩减样本空间 中计算,例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?,解 设A表示“能活到20岁以上”, B表示“能活到25岁以上”。,则,由已知,从而所求的概率为,条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系,若,一般地,二、乘法公式,由条件概率的定义:,定理1.1若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3),(2)和(
5、3)式都称为乘法公式,利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,多个事件的乘法公式,则有,这就是n个事件的乘法公式,例1 在100件产品中有5件是次品,从中连续无放回地抽取3次,问第三次才取得次品的概率。,解:设A表示“第i次取得次品”(i=1,2,3),B表示“第三次才取到次品”,则,例2 袋中有一个白球与一个黑球,现每次从中取出一球,若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止求取了n次都未取出黑球的概率 解:,则,由乘法公式,我们有,返回主目录,乘法公式应用举例,乘法公式应用举例,一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球,观看颜色后放回罐中,并且再加进c个与所抽
6、出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次,试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,(波里亚罐子模型),于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球,第一、第二个是白球,第三、四个是红球. ”,随机取一个球,观看颜色后放回罐中,并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解: 设Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球, j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当 c0 时,由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者,都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1
7、W2R3),P(W1W2R3R4),全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0,三、全概率公式和贝叶斯公式,例1 有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.,解:记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3; B =取得红球,即 B= A1B+A2B+A3B, 且 A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生总
8、是伴随着A1,A2,A3 之一同时发生,,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式得,1,2,3,将此例中所用的方法推广到一般的情形,就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对求和中的每一项 运用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得:P(B)=8/15,1.全概率公式:,A1,A2,An,.,BA1,BA2,.,BAn,定义1.6 设 为试验 E 的样本空间,为 E 的一组事件。若满足(1)(2) 则称 为样本空间 的一个划分。,1.全概率公式:,则,设A1,A2,An是两两互斥的事件,且P(Ai)0, i =1,2,n, 另
9、有一事件B, 它总是与A1, A2, ,An之一同时发生,即 ,,定理1.2,全概率公式的证明,由条件:,得,而且由,A1,A2,An,.,BA1,BA2,.,BAn,所以由概率的可列可加性,得,代入公式(1),得,返回主目录,全概率公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果,,根据历史资料,每一原因发生的概率已知,,而且每一原因对结果的影响程度已知,,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,返回主目录,例1 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品
10、中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大?,解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的,D 表示抽得产品为正品,,则由已知,,从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到:,例2 某小组有20名射手,其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛,则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32,今随机选一人参加比赛,试求该小组在比赛中射中目标的概率 解:,由全概率公式,有,例3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为
11、0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,设B=飞机被击落Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3,由全概率公式P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),则 B=A1B+A2B+A3B,求解如下:,可求得:,为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3,将数据代入计算得: P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.,于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14
12、1,例4 要验收一批 ( 100 件) 乐器。验收方案如下:自该批乐器中随机地抽取 3 件测试 ( 设 3 件乐器的测试是相互独立的),如果至少有一件被测试为音色不纯,则拒绝接受这批乐器。设一件音色不纯的乐器被测试纯的概率为 0.95,而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 0.01。如果这件乐器中恰有 4 件是音色不纯的,问这批乐器被接受的概率是多少?,纯、纯、纯,纯、纯 、纯 接受,p,p,p,不纯、 纯、 纯,q,纯、 纯 、纯 接受,p,p,H1:,H0:,H2:,p =1-0.01=0.99, q =1-0.95=0.05,解:以 Hi ( i=0,1,2,3 )表示事件“随机取出的
13、 3 件乐器中恰有 i 件音色不纯”,以 A 表示事件“这批乐器被接受”,即 3 件都被测试为音色纯的乐器。由测试的相互独立性得 :,不纯、 纯、 不纯,q,纯、 纯 、纯 接受,p,q,不纯、不纯、 不纯,q,纯、 纯 、纯 接受,q,q,H3:,返回主目录,p=1-0.01=0.99, q=1-0.95=0.05,另外,,该球取自哪号箱的可能性最大?,这一类问题在实际中更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,实际中还有下面一类问题,是“已知结果求原因”,有三个箱子,分别编号
14、为1,2,3,1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红球3白球,3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .,1,1红4白,某人从任一箱中任意摸出 一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,求P(A1|B).,运用全概率公式 计算P(B),将这里得到的公式一般化,就得到,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的概率.,2.贝叶斯公式:,设A1,A2,An是两两互斥的事件,且P(Ai)0,i=1,
15、2,n, 另有一事件B,它总是与A1,A2,An 之一同时发生,则,Bayes公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果,,根据历史资料,每一原因发生的概率已知,,而且每一原因对结果的影响程度已知,,如果已知事件B已经发生,要求此时是由第 i 个原因引起的概率,则用Bayes公式,例5 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80,三家产品数所占比例为2:3:5,混合在一起。,(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;,(2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大?,由已知,(1)由全概率公式得:,由贝叶斯公式得,由以上3个数作比较,可知这件产品由丙厂生产的可能性最大,由甲厂生产的可能性最小。,例6 数字通讯过程中,信源发射0、1两种状态信号,其中发0的概率为0.55,发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰,在发0的时候,接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候,接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?,0.067,