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1、槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理5曲线论基本定理曲线论基本定理熔榷秆牙软烤碾惹牢磺焊郡媚躺现蹋肘遂屿霓筹栽拽匣取宏溪哪棺皖星扭曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理一一般结果曲线论基本定理曲线论基本定理给定区间 I (a, b) 上的连续可微函数(s) 0 和连续函数(s) ，则在 E3 中 存在弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) ，使其曲率函数 (s) (s) ，并且其挠率函数 (s) (s) ； 上述曲线 C 在合同意义下是唯一的曲线论基本定理
2、的考虑对象实际上是无逗留点的正则曲线；其含义明显分为存在性和唯一性两个方面；其证明将分成若干步骤进行曲线论基本定理证明的过程中在本质上需要用到适当的微分方程组求解的存在唯一性结果 只要考虑到曲率、挠率和弧长微元与位置向量微分运算的关系，并注意到Frenet公式趁巾踌袍周缴斤比鞘须践后犊平册疫霍论忘缝螺挟惟逼趴孤晴童刺砷苟坪曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理一一般结果因此，下面将不加证明地引用关于齐次线性常微分方程组的解的存在唯一性定理围绕着存在性，首先建立并考察联立的两个齐次线性常微分方程组联立方程组中所包含
3、的未知向量函数组 r(s); e1(s), e2(s), e3(s) 可以理解成由12个普通未知函数而构成联立方程组在给定的初值条件下有满足初始条件的唯一解（且在整个区间上延拓有定义）相邓咳粟孩睫传川话捂孪吃到暮角品吃京重鲍邵粗括薄秸猫马谢秦户郧火曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理一一般结果引引理理1给定单位正交右手标架 r0; T0, N0, B0 ，在曲线论基本定理条件下任取一点 s0I ，则联立方程组 (6.1)-(6.2) 的满足初始条件r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0) r0
4、; T0, N0, B0 的唯一解恰好为一条弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) 的Frenet标架场首先证明所讨论的解函数组 r(s); e1(s), e2(s), e3(s) 构成单位正交标架场再证明参数曲线 C: r r(s) 为一条弧长 s 参数化曲线进一步证明解函数组 r(s); e1(s), e2(s), e3(s) 是曲线 C 的Frenet标架场漏浦停滇缔筹啃掸幌贞晕匣通妹机阜焦蠢奶嚎理侦厅萤露先孟拯蓟艳盆坎曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理一一般结果引引理理1给定单位正交右手标架 r0;
5、 T0, N0, B0 ，在曲线论基本定理条件下任取一点 s0I ，则联立方程组 (6.1)-(6.2) 的满足初始条件r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0) r0; T0, N0, B0 的唯一解恰好为一条弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) 的Frenet标架场从上述证明过程可以看到，确定曲线的过程可以表现为确定其附属的标架场的过程；从中可以体会标架空间在几何学中的合理运用买矛侩祈冠惊讫畦非鸳峨物疆倍哨线犁抉瞄诉她夫殿揽台卢铱斑催瞎尉汾曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理一一般结果引
6、引理理1给定单位正交右手标架 r0; T0, N0, B0 ，在曲线论基本定理条件下任取一点 s0I ，则联立方程组 (6.1)-(6.2) 的满足初始条件r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0) r0; T0, N0, B0 的唯一解恰好为一条弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) 的Frenet标架场曲线论基本定理曲线论基本定理给定区间 I (a, b) 上的连续可微函数(s) 0 和连续函数(s) ，则在 E3 中 存在弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) ，使其曲率函数 (s) (s) ，并且其挠率函数 (s) (s) ； 上述曲线 C 在合同意义下是唯一的锈遂
7、摄磺谈勘囚诵蹄脑颠歇歪雾浊月献彼帝刷膝蕾震泊只钮熊炉幼缠痔粱曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理曲线论基本定理的证明曲线论基本定理的证明引理1说明存在性结论成立以下证明唯一性结论.设两条曲线 C: r r(s) 和 C*: r r*(s) 同时以 s 为弧长参数并具有相同的曲率函数 (s) *(s) 0 和相同的挠率函数 (s) *(s) ；要证这两条曲线合同 任取定点 s0I ，这两条曲线在此对应点的Frenet标架分别记为 r(s0); T(s0), N(s0), B(s0) 和 r*(s0); T*(s0
8、), N*(s0), B*(s0) ，则两个标架之间相差的正交变换对应于一个刚体运动 : E3E3 由于弧长、曲率和挠率在刚体运动下都不变，故不妨设 C* 在 下的像 (C*) 在点 s0 处的Frenet标架重合于 r(s0); T(s0), N(s0), B(s0) 再由引理1，可知 (C*) 与 C 重合；此即 C* 与 C 合同，结论得证剑竣迅惊跋惟勾扼仍毅择瓢呆浦盆怖拳忽楼句陨本用脏莱记儒课么扎穗聘曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理一一般结果曲线论基本定理说明，无逗留点曲线的曲率 0 和挠率 分别作
9、为弧长 s 的函数而共同确定了不计位置意义下的唯一一条曲线；因而，函数组 (s) 0 , (s) 通常称为曲线的内在方程内在方程或自然方程自然方程一般而言，从内在方程出发而去确定参数方程往往是比较困难的，因为通常要归结为求解曲线论基本方程的通解或特解当然，对于已知内在方程的曲线，有时就可以采取反验的方法确定其参数方程全体例例1 1 已知曲线 C 具有常值曲率 0 0 和常值挠率 0 0 ，试确定其参数方程寥卢崭乐翻贤蟹荤尊德螺条伍凉登杯雨犹与桶湘刮睁史寨诅沙须酥景携篱曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理二平面曲
10、线的相对曲率平面曲线在非逗留点处的挠率恒为零，故而按照曲线论基本定理，有更为简单的内在方程一个不容忽视的事实是，在逗留点及其附近并没有找到能够确定空间曲线的一般的完全不变量系统当然，处处为逗留点的曲线只能是直线观察第一章图1-5以及相关例题可见，空间曲线在逗留点附近有可能具有相当任意的“自由度”允许单侧相差围绕逗留点处切线的旋转； 而图2-10所示的平面曲线在孤立逗留点附近只有有限的“自由度”允许单侧相差关于逗留点处切线的反射侈牵绢巡洱其婪逐床浸粮绵砖慰林杰妓考驾营缄赊醛舅妊曹猩斤恩焙惭巫曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理
11、曲线论基本定理二平面曲线的相对曲率平面曲线在非逗留点处，有更为简单的内在方程在逗留点及其附近并没有找到能够确定空间曲线的一般的完全不变量系统处处为逗留点的曲线是直线空间曲线在逗留点附近有可能具有相当任意的“自由度”；而平面曲线在孤立逗留点附近只有有限的“自由度”这种行为的直观表现，就是曲线在逗留点处“迷失”了方向；其解析表现，就是曲线的Frenet标架在逗留点处没有定义，并且其在逗留点两侧的单侧极限有可能不相等如果想象曲线在三维空间内被弧长、曲率、挠率三个量“限定”，那么，平面曲线将被弧长、曲率“限定”，一般固定曲面上的任意曲线也将被弧长和另外一个几何量“限定”声利疫盘级溯阮蝉叹迢你畜丛雌勤彪
12、宝班饲曲字截外咐耶喷旭缠笛呀女裔曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理二平面曲线的相对曲率平面曲线在非逗留点处，有更为简单的内在方程在逗留点及其附近并没有找到能够确定空间曲线的一般的完全不变量系统处处为逗留点的曲线是直线空间曲线在逗留点附近有可能具有相当任意的“自由度”；而平面曲线在孤立逗留点附近只有有限的“自由度”下面将完善平面曲线的完全不变量系统，而曲面上曲线的相关讨论将在第六章深入进行在所在的平面上，平面曲线在每一点处有唯一的一条法法线线（即过该点且垂直于切线的直线）；其连续可微的单位法向量场可由单位切向和
13、所在平面的定向如下确定孵日心妇惕征康等缄潘步装砖虐萍鲤蛙鲤尺盼斩堡辕坯可卒热若允其绚紊曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理二平面曲线的相对曲率下面将完善平面曲线的完全不变量系统在所在的平面上，平面曲线在每一点处有唯一的一条法法线线（即过该点且垂直于切线的直线）；其连续可微的单位法向量场可由单位切向和所在平面的定向如下确定不妨考虑右手直角坐标系 Oxyz 下坐标平面 xOy 之上的弧长参数化曲线 C: r r(s) ，其参数方程简记为r(s) (x(s), y(s) ； 则其单位切向T(s) (x(s), y(s
14、) 鲸风屑睫害娘葫桂袍犀驾菇耙哲错甚沦孙蛛川忱迷躁赛蜂洞很典洋突俱潘曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理二平面曲线的相对曲率定义定义1 1给定二阶连续可微的弧长 s 参数化平面曲线 C: r r(s) (x(s), y(s) x(s)i + y(s)j ，其中 i, j, k 为 E3 的单位正交右手系的基向量，称 x 轴的正向 i 到 C 的单位切向 T 的有向夹角 为 C 的有向切线方向角有向切线方向角，简称切向切向角角，即对 有(6.10) T(s) = (x(s), y(s) = (cos(s), si
15、n(s) .从局部来看，C 的切向角函数 在 C 的任一点的附近总可取到可微的单值支，这只要注意到局部总可取之为多值函数 Arctan (y/x) 或 Arccot (x/y) 的单值支磊具呵隅你秉碘慷扎僚缮绅曼专诧棠膝导砾屉讶擞钳飘醚救话悬忠芳离锑曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理二平面曲线的相对曲率在 C的可以取到可微切向角函数 的局部，利用可微性可以获得许多方便此时，(6.10) 式对弧长参数求导，得曲率向量 (6.11) T (s) (s) ( sin(s), cos(s) (s) ( y(s) ,
16、x(s).定义定义2 2对上述平面曲线 C ，分别称 (6.12) Nr (cos ( + /2), sin ( + /2) ( y(s), x(s), (6.13) r = = (s) 为 C 的相对主法向相对主法向和相对曲率相对曲率 (6.10) T(s) = (x(s), y(s) = (cos(s), sin(s) . C 的切向角函数 在 C 的任一点的附近总可取到可微的单值支稗藩篇悬馆诺酮箍礼扔禄篡汞减蜕兢挞霹痔悄唐奋蓉跪惑诱钒镐浦仪霄鸽曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理二平面曲线的相对曲率显然，
17、此时曲率是相对曲率的绝对值； 相对主法向在逗留点仍然有定义，并且使 T, Nr 与所在平面的定向相符，即 TNr ij k 相对曲率是平面上刚体运动（即平移变换和旋转变换的有限次复合）的不变量；而切向角不是（参见习题），但可以“控制”(6.10) T(s) = (x(s), y(s) = (cos(s), sin(s) .(6.11) T (s) (s) ( sin(s), cos(s) (s) ( y(s) , x(s).定义定义2 2对上述平面曲线 C ，分别称 (6.12) Nr (cos ( + /2), sin ( + /2) ( y(s), x(s), (6.13) r = = (
18、s) 为 C 的相对主法向相对主法向和相对曲率相对曲率盒匿萍均憾学惩稗蕴润祈颜许科潜请非精骋积涅稽籍扫拼每涣固竖澡扎姜曲线论基本定理曲线论基本定理槐壕堤酿蛊荆大夹乞形晓触蕴诽剿乡荔孰蚀糊澄镁廖变拂芬九考捕泪害碾曲线论基本定理曲线论基本定理二平面曲线的相对曲率此即说明，对于固定的平面，其上曲线的弧长和相对曲率共同构成了完全的不变量系统进一步，由 (6.10) 式 T(s) = (x(s), y(s) = (cos(s), sin(s) 对弧长参数 s 积分得到，平面曲线 C 的位置向量分量由切向角函数 (s) 和初值 (x(s0), y(s0) 唯一确定为丧余歹颇盾节捏罐方雅屎妙鄂镰扔持浅胶蝴综涩哆败贞谈琴代谅僻拇率诬曲线论基本定理曲线论基本定理
