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1、1,第 讲,4,函数的单调性 （第二课时）,第二章 函数,2,题型四：利用单调性求参数的取值范围 1.设aR，为常数， 已知函数f(x)=lg(ax-1)-lg(x-1)在区间10，+)上单调递增， 求a的取值范围.,3,解法1：由已知， 当x1x210时，有f(x1)f(x2)恒成立， 即lg(ax1-1)-lg(x1-1)lg(ax2-1)-lg(x2-1) (ax1-1)(x2-1)(ax2-1)(x1-1)ax2-10,4,即 (a-1)(x1-x2)0所以 a-10恒成立. 因为 所以 所以a的取值范围是,5,解法2：因为 在10，+)上是增函数， 所以 在10，+)上是增函数. 又
2、 在10，+)上是减函数， 所以a-10，即a1. 因为当x10，+)时f(x)有意义， 所以当x10时，ax-10恒成立， 即 恒成立， 所以 故,6,点评：由函数的单调性逆求参数的取值范围，即根据单调性质得出相应的不等式(组)，由此不等式(组)恒成立，得出相应参数的取值范围，注意函数定义域的应用.,7,8,9,10,题型五：利用函数单调性求解函数不等式 2.已知奇函数y=f(x)是定义在(-2，2)上的减函数， 若f(m-1)+f(2m-1)0， 求实数m的取值范围.,11,因为f(m-1)-f(2m-1)，且f(x)为奇函数， 所以f(m-1)f(1-2m). 又因为f(x)在(-2，2
3、)上递减， 所以-2m-11-2m2， 即 所以m的取值范围为,12,点评：与函数有关的不等式的解法，关键是根据单调性质剥掉外层符号“f”，得出相应的具体不等式，特别注意函数定义域这一个隐含条件不能忽略.,13,设函数 解不等式f(x2+x-1)1.显然，f(x)的定义域为(0，+). 又 因为 和 在(0，+)上都是增函数， 所以f(x)在(0，+)上是增函数.,14,又f(1)=1， 所以不等式化为f(x2+x-1)f(1) 0x2+x-11，即 x2+x-10x2+x-20. 由此解得,15,题型六：抽象函数的单调性问题 3. 已知定义在R上的单调函数f(x)满足f(1)0， 且对任意x
4、，yR， 都有f(x+y)=f(x)+f(y). 若f(k3x)+f(3x-9x-2)0对任意xR都成立， 求实数k的取值范围.,16,取x=y=0，则f(0)=2f(0) f(0)=0， 所以不等式可化为f(k3x+3x-9x-2)f(0). 因为f(x)是单调函数，f(1)0=f(0)， 所以f(x)是R上的单调递增函数， 从而不等式等价于k3x+3x-9x-20， 即 恒成立.,17,所以 因为 当且仅当 时取等号， 所以 故k的取值范围是,18,点评：解决抽象函数问题，其策略是利用赋值法或配凑法，如本题中令x=y=0，得到f(0)=0，从而将不等式化为f(k3x)+f(3x-9x-2)
5、 0且u=6-x-x2的单调递减区间, 画图即得x-12,2)，故选B.,答案：B,32,3.函数 在(-2,+)上为增函数，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. a-2,33,解法1： 由 得画图得 故选C.,34,解法2：函数 在(-2,+)上为增函数， 所以对任意-20a12,故选C.,答案：C,35,题型一：利用函数图象判断函数的单调性 1.求函数f(x)=|lg(x+1)|的单调区间.作函数y=|lg(x+1)|的图象. 由右图可知，f(x)的单调递减区间是(-1，0，单调递增区间是0，+).,36,点评：画出函数的图象，通过图象可直观地观察函数的单调性或单调区间，而函数图
6、象的画法，注意对基本初等函数的图象进行平移、伸缩、翻折等变换，如本题中的函数的图象就是先画出y=lg(x+1)的函数的图象，然后把函数y=lg(x+1)位于x轴下面部分的图象沿x轴翻折到x轴上方，这样就得到了函数y=|lg(x+1)|的图象.,37,38,39,40,41,题型二:用定义证明函数的单调性 2. 判断函数 在区间(-1，1)上的单调性并证明.,42,设-1x1x21， 则 因为 所以 a0时，函数f(x)在(-1，1)上单调递减； a0时，函数f(x)在(-1，1)上单调递增.,43,点评：用定义法判断或证明函数的单调性的一般步骤是：设参，即任取指定区间上的x1、x2，且设x2x
7、1；比较函数值f(x2)、f(x1)的大小；下结论.如果函数值在比较时含有参数，需根据情况进行分类讨论.,44,讨论函数 的单调性.定义域是(-,0)(0,+)， 任取x1f(x2), 所以f(x)在区间(0, 上单调递减； 当 时,则f(x1)f(x2), 所以f(x)在区间 ,0)上单调递减； 当x1x2 时，则f(x1)f(x2)， 所以f(x)在区间(-, 上单调递增.,47,题型三： 复合函数的单调性 3. 求函数 的单调区间.令t=4x-x2，则 由4x-x20，得0x4. 因为 在(0，+)上是减函数，t=4x-x2在(0，2上是增函数，在2，4)上是减函数， 所以f(x)的单调
8、递减区间是(0，2，单调递增区间是2，4).,48,点评：函数y=fg(x)，我们可以分解为y=f(u)，u=g(x)，即y是由外层函数f(x)与内层函数g(x)复合而成.对于公共区间D，若f(x)与g(x)同为增函数(或同为减函数)时，其复合函数为增函数；若f(x)与g(x)一个为增函数，一个为减函数时，其复合函数为减函数，综合成一句话就是“同增异减”.,49,求函数 的单调区间.由 得x-3或x1. 所以f(x)的定义域是(-，-31，+). 令 则,50,因为 是在R上的减函数，在(-，-3上是减函数， 在1，+)上是增函数， 所以f(x)的单调递增区间是(-，-3；单调递减区间是1，+).,
