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1、1,第 讲,4,函数的单调性 (第二课时),第二章 函数,2,题型四:利用单调性求参数的取值范围 1.设aR,为常数, 已知函数f(x)=lg(ax-1)-lg(x-1)在区间10,+)上单调递增, 求a的取值范围.,3,解法1:由已知, 当x1x210时,有f(x1)f(x2)恒成立, 即lg(ax1-1)-lg(x1-1)lg(ax2-1)-lg(x2-1) (ax1-1)(x2-1)(ax2-1)(x1-1)ax2-10,4,即 (a-1)(x1-x2)0所以 a-10恒成立. 因为 所以 所以a的取值范围是,5,解法2:因为 在10,+)上是增函数, 所以 在10,+)上是增函数. 又
2、 在10,+)上是减函数, 所以a-10,即a1. 因为当x10,+)时f(x)有意义, 所以当x10时,ax-10恒成立, 即 恒成立, 所以 故,6,点评:由函数的单调性逆求参数的取值范围,即根据单调性质得出相应的不等式(组),由此不等式(组)恒成立,得出相应参数的取值范围,注意函数定义域的应用.,7,8,9,10,题型五:利用函数单调性求解函数不等式 2.已知奇函数y=f(x)是定义在(-2,2)上的减函数, 若f(m-1)+f(2m-1)0, 求实数m的取值范围.,11,因为f(m-1)-f(2m-1),且f(x)为奇函数, 所以f(m-1)f(1-2m). 又因为f(x)在(-2,2
3、)上递减, 所以-2m-11-2m2, 即 所以m的取值范围为,12,点评:与函数有关的不等式的解法,关键是根据单调性质剥掉外层符号“f”,得出相应的具体不等式,特别注意函数定义域这一个隐含条件不能忽略.,13,设函数 解不等式f(x2+x-1)1.显然,f(x)的定义域为(0,+). 又 因为 和 在(0,+)上都是增函数, 所以f(x)在(0,+)上是增函数.,14,又f(1)=1, 所以不等式化为f(x2+x-1)f(1) 0x2+x-11,即 x2+x-10x2+x-20. 由此解得,15,题型六:抽象函数的单调性问题 3. 已知定义在R上的单调函数f(x)满足f(1)0, 且对任意x
4、,yR, 都有f(x+y)=f(x)+f(y). 若f(k3x)+f(3x-9x-2)0对任意xR都成立, 求实数k的取值范围.,16,取x=y=0,则f(0)=2f(0) f(0)=0, 所以不等式可化为f(k3x+3x-9x-2)f(0). 因为f(x)是单调函数,f(1)0=f(0), 所以f(x)是R上的单调递增函数, 从而不等式等价于k3x+3x-9x-20, 即 恒成立.,17,所以 因为 当且仅当 时取等号, 所以 故k的取值范围是,18,点评:解决抽象函数问题,其策略是利用赋值法或配凑法,如本题中令x=y=0,得到f(0)=0,从而将不等式化为f(k3x)+f(3x-9x-2)
5、 0且u=6-x-x2的单调递减区间, 画图即得x-12,2),故选B.,答案:B,32,3.函数 在(-2,+)上为增函数,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. a-2,33,解法1: 由 得画图得 故选C.,34,解法2:函数 在(-2,+)上为增函数, 所以对任意-20a12,故选C.,答案:C,35,题型一:利用函数图象判断函数的单调性 1.求函数f(x)=|lg(x+1)|的单调区间.作函数y=|lg(x+1)|的图象. 由右图可知,f(x)的单调递减区间是(-1,0,单调递增区间是0,+).,36,点评:画出函数的图象,通过图象可直观地观察函数的单调性或单调区间,而函数图
6、象的画法,注意对基本初等函数的图象进行平移、伸缩、翻折等变换,如本题中的函数的图象就是先画出y=lg(x+1)的函数的图象,然后把函数y=lg(x+1)位于x轴下面部分的图象沿x轴翻折到x轴上方,这样就得到了函数y=|lg(x+1)|的图象.,37,38,39,40,41,题型二:用定义证明函数的单调性 2. 判断函数 在区间(-1,1)上的单调性并证明.,42,设-1x1x21, 则 因为 所以 a0时,函数f(x)在(-1,1)上单调递减; a0时,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.,43,点评:用定义法判断或证明函数的单调性的一般步骤是:设参,即任取指定区间上的x1、x2,且设x2x
7、1;比较函数值f(x2)、f(x1)的大小;下结论.如果函数值在比较时含有参数,需根据情况进行分类讨论.,44,讨论函数 的单调性.定义域是(-,0)(0,+), 任取x1f(x2), 所以f(x)在区间(0, 上单调递减; 当 时,则f(x1)f(x2), 所以f(x)在区间 ,0)上单调递减; 当x1x2 时,则f(x1)f(x2), 所以f(x)在区间(-, 上单调递增.,47,题型三: 复合函数的单调性 3. 求函数 的单调区间.令t=4x-x2,则 由4x-x20,得0x4. 因为 在(0,+)上是减函数,t=4x-x2在(0,2上是增函数,在2,4)上是减函数, 所以f(x)的单调
8、递减区间是(0,2,单调递增区间是2,4).,48,点评:函数y=fg(x),我们可以分解为y=f(u),u=g(x),即y是由外层函数f(x)与内层函数g(x)复合而成.对于公共区间D,若f(x)与g(x)同为增函数(或同为减函数)时,其复合函数为增函数;若f(x)与g(x)一个为增函数,一个为减函数时,其复合函数为减函数,综合成一句话就是“同增异减”.,49,求函数 的单调区间.由 得x-3或x1. 所以f(x)的定义域是(-,-31,+). 令 则,50,因为 是在R上的减函数,在(-,-3上是减函数, 在1,+)上是增函数, 所以f(x)的单调递增区间是(-,-3;单调递减区间是1,+).,