《模糊层次分析法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《模糊层次分析法（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、王拥兵 ,安庆师范学院 数学与计算科学学院,模糊层次分析法,关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。,数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁,怎样构架这座桥梁？,数学模型(E.A.Bendar 定义)：,现 实 世 界,数 学 世 界,建立数学模型,推理演绎求解,翻译为实际解答,实际解答：如对现实对象的分析、预报、决策、控制等结果。,始于现实世界并终于现实世界,求解数学模型,实际问题分析,建立数学模型,提交论文与报告,模型与模型解的分析及检验,数学建模的各阶段工作,遇到难题,苦思冥想,问题的前期分析 包括： 明确问题、分析条件、分析数据等,为什么问题前期分析至关重要？,数学建模问
2、题往往含混不清,可能的原因有:,* 提出问题的人未能清楚地表述问题。,* 不同领域的人交流出现故障。,*各领域的应用者提出问题时,未给出恰当 的条件。,数学建模常用的方法,类比法 量纲分析法 差分法 变分法 图论法 层次分析法 数据拟合法 回归分析法 数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）,数学建模常用的方法,机理分析法 排队方法 对策方法 决策方法 模糊评判方法 时间序列方法 灰色理论方法 现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）,层次分析模型,背景,日常工作、生活中的决策问题,涉及经济、社会等方面的因素,作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，
3、各因素的重要性难以量化,Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process),AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,例1 国家实力分析,例2 工作选择,例3 科技成果的综合评价,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,一. 层次分析法的基本步骤,例. 选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,“选择旅游地”思维过程的归纳,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述
4、两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重，给出决策问题的定量结果。,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,层次分析法的基本步骤,2. 构造成对比较阵,设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标O的重要性,A称为成对比较阵 Ann为正互反阵,1. 建立层次分析结构模型,2 4 6 8,比较尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1, 2, , 9及其互反数1,1/2, , 1/9,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,便于定性到定量的转化：,层次分析法的基本步骤,O(选择旅游地),特别地，成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范
5、围,考察完全一致的情况,-表示在O中的比重。,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n 的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即,一致阵性质,已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n,可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵,定义一致性指标:,CI 越大，不一致越严重,为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI,3.计算权向量并作一致性检验,定义一致性比率 CR = CI/RI,当CR0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,3.计算权向量并作一致性检验,
6、“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特征根=5.073,权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12 (查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色)的成对比较阵,方案层对C2(费用)的成对比较阵,最大特征根 1 2 n,权向量 w1(3) w2(3) wn(3),4. 计
7、算组合权向量,=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验,w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110,方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ =0.300,方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T,组合权向量,第2层对第1层的权向量,第3层对第2层各元素的权向量,构造矩阵,则第3层对第1层的组合权向量,第s层对第1层的组合权向量,其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵,层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因
8、素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,层次分析法的优点,系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、测试分析并列）；,实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；,简洁性计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌
9、握。,层次分析法的局限,囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；,粗略定性化为定量，结果粗糙；,主观主观因素作用大，结果可能难以服人。,模糊层次分析法,从秃头悖论中体会模糊逻辑,公设: (1) 存在秃头的人和非秃头的人。(2)若有n根头发的人秃, 则有n+1根头发的人亦秃。 由此便会导致 秃头悖论 ：所有人都秃。 证明 对n用数学归纳法。 (i) n=0的人显然是秃头。 (ii) 假定n=k的人是秃头。 (iii)由公设(2), n=k+1的人也是秃头。于是由数学归纳法原理知, 对于任意的n0, 有n根头发的人都是秃头。从而所有人都秃。,下面的例子中说明随机性和模糊性的区别： 假如你不幸在沙漠
10、迷了路, 而且几天没喝过水,这时你见到两瓶水, 其中一瓶贴有标签：“纯净水概率是0.81”, 另一瓶标着“纯净水的程度是0.81”。你选哪一瓶呢？ 相信会是后者。因为后者的水虽然不太干净, 但肯定没毒, 这里的0.81表现的是水的纯净程度而非“是不是纯净水”, 而前者则表明有19的可能不是纯净水(换句话说就是: 可能有毒) 。,什么是“模糊数学“,模糊概念的外延是不明确的, 其边界是不清晰的, 因而相应的集合也是“模糊”的。就是说一个对象是否属于这个集合, 不能简单地用“是”或“否”来回答。比如, 对于“年轻人”这个概念, 若要判断20岁的张三或80岁的李四是否是“年轻人”, 答案自然是明确的
11、！但要判断28岁35岁左右的人是否属于“年轻人”的集合, 就不那么好确定了。,什么是“模糊数学“,为了克服Cantor集的不足, 1965年美国控制论专家L.A.Zadeh (1921)发表了著名论文Fuzzy Sets, 这标志着模糊数学的诞生。,从名人那里了解模糊数学,Zadeh于1921年出生在前苏联的阿塞拜疆(Azerbaijian)共和国, 母亲是俄罗斯人, 父亲是伊朗人, 从事进出口生意, 家境富裕。Zadeh在前苏联上小学, 接受十月革命后的共产主义教育。后来由于政局动荡, Zadeh的父母把他送到伊朗的美国学校, 并在伊朗University of Teheran完成了大学教育
12、。,1944年Zadeh到了美国, 就读MIT, 1946年获得硕士学位后转到Columbia大学继续深造, 于1949年获博士学位,并留校任教。Zadeh是现代控制理论的开创者之一, 他首先提出了状态空间的概念, 并是系统理论(system theory)这个名词的发明者。1959年Zadeh离开Columbia转去Berkeley, 一直工作到现在。,从名人那里了解模糊数学,说话炒菜都在玩“模糊数学“,刘应明(1940-)福建福州市人, 数学家, 1995年当选为中国科学院院士。主要从事拓扑学与不确定性(主要是模糊性)数学处理等方面的教学与科学研究, 并取得多项重要成果。完成了与模糊信息处
13、理有关的国家“863”课题及国家基金重大项目, 推动了我国模糊技术产业化。已发表研究论文100余篇,并获国家自然科学奖等多种奖励。,青年人的学习榜样 应明生, 1964年5月出生, 清华大学计算机科学与技术系智能技术与系统国家重点实验室教授、博士生导师、教育部“奖励计划”特聘教授。中国系统工程学会模糊系统与模糊数学学会理事长(专业委员会主任)。,主要从事形式化方法、人工智能基础理论、量子计算、模糊逻辑等方面的研究工作, 在国际权威刊物上发表一系列有重要影响的论文。曾先后在巴黎第六(居里夫妇)大学，意大利Salerno大学、Napoli大学, 德国慕尼黑大学、Mannheim大学，香港城市大学,
14、 芬兰Turku计算机科学中心访问研究。,王国俊, 1935年11月5日生于北京, 1958年毕业于西安师范学院(今陕西师范大学)数学系。大学毕业后在中学任教, 1978年调回母校, 1983年任教授。1986年被国务院专家组评为博士生导师, 1988年被人事部评为国家级有突出贡献的专家。1987年元月至1994年10月担任陕西师范大学校长。现任陕西师范大学数学研究所所长, 兼任中国模糊系统学会副理事长, 中国计算机学会多值逻辑专业委员会副主任。曾任陕西省数学会理事长。,模糊数学的应用,诊断病情、开处方给出治疗方案,换药、填写护士值班记录,配药、发药,模糊数学（Fuzzy Mathematic
15、s）,其基本思想是：把经典集合中的隶属关系加以扩充，使元素对“集合”的隶属程度由只能取0与1这两个值推广到可以取单位区间0,1中的任意一数值。,表示Ci与Cj对目标O的影响之比。,A称为成对比较阵 Ann为正互反阵,就是说,模糊层次分析法的关键是模糊一致矩阵,模糊矩阵,模糊互补阵,模糊一致阵,模糊互补阵,模糊一致矩阵性质,构造模糊一致矩阵,实施如下变换：,模糊一致矩阵中元素的意义,模糊一致矩阵,例,1.列出层次结构：最高层为最优目标，中间层是 最优方案相关的元素，最低层是专家评价。,2.写出A-B优先关系矩阵，方法如下：,其中当因素Bi 比因素Bj 重要时，rij=1； 当因素Bi 与因素Bj 同样重要时，rij=0.5； 当因素Bi 不如因素Bj 重要时，rij=0。,A B1 B2 B3 B4 B5 B6,B1 0.5 1 1 1 1 1,B2 0 0.5 0.5 1 1 1,
