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1、第一章晶体结构1、试说明空间点阵和晶体结构的区别。答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，它是由几何点在三维空间理想的周期性规则排列而成，由于各阵点的周围环境相同，它只能有 14 种类型。晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列， 因此实际存在的晶体结构是无限的。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。2、证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子证明： （1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aajkaaikaaij由倒格子基矢的定义：1232()baa3
2、1230,22(),0,224,022aaaaaaaaaa，223,0,()224,022ijkaaaaaijkaa213422()()4abijkijkaa同理可得：232()2()bijkabijka即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是体心立方。（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aaijkaaijkaaijk由倒格子基矢的定义：1232()baa3123,222(),2222,222aaaaaaaaaaaaa，223,()2222,222ijkaaaaaajkaaa213222()()2abjkjkaa同理可得：2
3、32()2()bikabija即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。所以，体心立方的倒格子是面心立方。3、六角密堆结构的固体物理学元胞基矢为求其倒格基矢。解：晶胞体积为其倒格矢为4、一晶体原胞基矢大小ma10104，mb10106，mc10108，基矢间夹角90，90，120。试求：（1）倒格子基矢的大小；（2）正、倒格子原胞的体积；（3）正格子 (210)晶面族的面间距。解： (1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为：ai1a)2321(2jiabkac3由此可知：232132 1aaaaab=abcbc23)2123( 2ji=) 31(2jia232113 2aaaaab=abc
4、ac232j=j 322b232121 3aaaaab=abcab23232k=kc2所以1b22) 31(12a110108138.1 34m a2b2) 32(2b110102092.1 34m b3b212c110107854.02mc(2) 正格子原胞的体积为：321aaa)()2321()(kjiicba328106628.123mabc倒格子原胞的体积为：321bbb)(2) 32(2) 31(2kjjicba3303 104918.1 316m abc(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：hhdK2=3210122bbb=ji) 3434
5、(42baa=mbaa1022104412. 1) 3131()1(1 425、已知半导体GaAs 具有闪锌矿结构， Ga 和 As两原子的最近距离d2.4510-10m。 试求：(1) 晶格常数；(2) 固体物理学原胞基矢和倒格子基矢；(3) 密勒指数为 (110)晶面族的面间距；(4) 密勒指数为 (110)和(111)晶面法向方向间的夹角。解： (1)由题意可知，GaAs 的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga 原子和一个As 原子，其中Ga 原子处于面心立方位置上，而 As 原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子 1/4 体对角线长的位置上，如左图所示：由此可知：ad43故md
6、a101045.2 3434=m101059.5(2)由于 GaAs 的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：)(10795.2)(2)(10795.2)(2)(10795.2)(210 310 210 1jijiaikikakjkjaaaa其倒格子基矢为：)(10124.1)(2)(10124.1)(2)(10124.1)(210 310 210 1kjikjibkjikjibkjikjibaaa(3)密勒指数为 (110)晶面族的面间距为：mad1032111011010795.2201122 bbbK(4)根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间
7、的夹角即为倒格子矢110K和111K之间的夹角，设为，则有：Ga 原子As 原子321321321321111110111110111011)111()011(arccosbbbbbbbbbbbbKKKK55.107)3015.0arccos(6、Si 具有金刚石结构，其原子间距为0.235nm，原子量为 28，计算的 Si 密度。解：Si 为金刚石结构，为两个面心立方沿体对角线移动1/4，因此体对角线的长 度为 L=0.2354=0.94nm；金刚石结构的晶胞边长为2/ 30.5427alnm晶胞的体积为330.159846vanm每个晶胞包含 8 个原子则 1 摩尔（28 克）包含的晶胞数
8、目为N=0.7528751023， 对应体积为 V=Nv=12.0344cm3，密度为 m=28/V=2.327 克/cm3第二章晶格动力学1、什么是简谐近似？为什么简谐近似下晶格振动的简正模式是独立的，声子气 体是理想气体？ 解：1 当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正 比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐 近似。 2 简谐近似下，点阵振动的简正模式是独立的，声子气体是理想气休考虑 到非简谐效应， 各格波可以有相互作用， 声子气体是非理想气体， 但在势能的非 简谐项比简谙项小得多的情况下，声子气体仍可近似地当作理想气体处理，不
9、过 这时要考虑声子与声子的碰撞 这是因为没有声子与声子之间的碰撞，点阵就不 可能过渡到热平衡分布，同时也没有点阵热阻2 、什么是晶格振动的光学支和声学支？长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 答：1 离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种原胞中的两种原子基本 上作相对振动， 而原胞的质心基本保持不动晶格振动，因此称这种振动为光学波或光学支或 光频支。 在长波极限下， 原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常 类似于声波， 所以将这种晶格振动称为声学波或声学支或声频支。原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上
10、无相对振动。2 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含 了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格 (非复式格子 )晶体不存在光学支格波. 3 、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大， q 的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界， 而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同， 从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考
11、虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第jtN 个原子的运动情况一样，其中t1，2，3, 。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。4、一维无限长原子链，原子质量为m 和 M，且 mM 。相邻原子间距均为a，恢复力系数为，晶格常量为2a 。试证明格波的色散关系：解：5、在一维双原子链中，如1/ mM， （1）求证：qaMsin2 1；21 2 2)cos1 (2
12、qaMm m。（2）画出与q的关系图（设10/mM） 。解： （1）在一维双原子链中，其第n2个原子与第12n个原子的运动方程为)2()2(12222212221212222nnnnnnnnxxx dtxdMxxxdtxdm ,（1）为解方程组（1）可令)12( 12)2( 2tqani ntqani nBexAex,（ 2）将（ 2）式代入（ 1）式可得出0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAqaMBqamAm,（ 3）从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得0sin4)(2224qamMmM 可解出得qamMmMmM222sin4)()(,（ 4）当（
13、4）式中取“”号时，有21 2 22 1)sin)(41(1)(qamMMmmMmM,（ 5）1/ mM，（ 5）式中有mMmMMmmM)(，1sin4sin4sin)(422222qaMmqaMMmqamMMm那么（ 5）式可简化为qaMqaMmmqaMmm2221 22 1sin2)sin4211(1)sin41(1qaMsin21当（ 4）式中取“”号时，有212 22 2cos)(41)()(qamMMmMmmMMmmM,（ 6）1/ mM，（ 6）式中有mMmMMmmM)(， mMmMMmmM)(1cos4cos4cos)(422222qaMmqaMMmqamMMm那么（ 6）式可简
14、化为)c o s1(2)c o s4211()c o s41 (2221 22 2qaMmmqaMmmmqaMmmm21 2 2)cos1 (2qaMmm（2）当10/mM时，则（ 4）式可化为qammm22222 2sin521001211011此时，与q的关系图，即色散关系图如下图3.5 所示：图 3.5 一维双原子链振动的色散关系曲线qO a2aa2am5/m5/m/2m5/116、在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界aq2处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。2)q0,声学支和光学支格波分别有什么特点？解：设第n2个原子为轻原子，其质量为m，第1
15、2n个原子为重原子，其质量为M，则它们的运动方程为)2()2(12222212221212222nnnnnnnnxxx dtxdMxxxdtxdm ,（ 1）为解方程组（1）可令)12( 12)2( 2tqani ntqani nBexAex,（ 2）将（ 2）式代入（ 1）式可得出0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAqaMBqamAm,（ 3）从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得0sin4)(2224qamMmM 可解出得qamMmMmM222sin4)()(,（ 4）令 aq2， 则可求得声学支格波频率为M2， 光学支格波频率为 m2由方程组（ 3
16、）可知，在声学支中，轻原子m与重原子M的振幅之比为0/2/2/cos2MmmqaBA由此可知，声学支格波中所有轻原子m静止。而在光学支中，重原子M与轻原子m的振幅之比为0/2/2/cos2mMMqaAB由此可知，光学支格波中所有重原子M静止。2）声学支格波特点：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，即原胞中的两种原 子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动。光学支格波分特点：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。第三章金属自由电子理论1、请推导出绝对零度下金属自由电子费米能量的表达式EF； 对于一个简单立方点阵的单价金属，已知晶格常数为a=3*10-10nm，请计算费米能量EF、费米波矢kF、费米温度TF及费米面上电子波长F。解： 1 自由电子状态密度:金属中的电子浓度为：因此，2
