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1、1,第五章 平面向量,向量的坐标运算,第 讲,3,（第一课时）,2,3,4,一、平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、 j作为基底，对任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x，y).其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量a的坐标表示. 相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.,5,二、平面向量的坐标运算 1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=_; 2.如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=_; 3.若a=(x，y)，则
2、a=_; 4.如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab的充要条件是_.,(x1x2，y1y2),(x2-x1，y2-y1),(x,y),x1y2-x2y1=0,6,三、平面向量数量积的坐标表示 1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=_; 2.若a=(x，y)，则|a|2=aa=_，|a|=_; 3.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=_； 4.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab_;,x1x2+y1y2,x2+y2,x1x2+y1y2=0,7,5.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos=_.,8,1.对于n个向量a
3、1,a2,an,若存在n个不全为零的实数k1,k2,，kn,使得k1a1+k2a2+knan=0成立，则称向量a1,a2,an是线性相关的.按此规定，能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是线性相关的实数k1,k2,k3的值依次为_.(只需写出一组值即可) 解：根据线性相关的定义得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0，则 令k3=1,则k2=2，k1=-4， 所以k1,k2,k3的一组值为-4,2,1.,-4,2,1,9,2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m)，且ab， 则2a+3b=( ) A. (-2，-4) B. (-3，-6) C. (
4、-4，-8) D. (-5，-10) 解：由ab，得m=-4， 所以2a+3b=(2，4)(-6，-12)=(-4，-8)， 故选C.,C,10,3.已知平面向量a=(1，-3)，b=(4，-2)，a+b与a垂直，则=( ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 解：由于a+b=(+4,-3-2),a=(1,-3), 且(a+b)a, 所以(+4)-3(-3-2)=0，即10+10=0, 所以=-1，故选A.,A,11,题型1 向量的坐标,1. 设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量
5、d的坐标 解：根据题意，4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0， 即6a+4b-4c+d=0， 所以d=4c-6a-4b=4(-1，-2)-6(1，-3)- 4(-2，4)=(-2，-6).,12,点评：坐标向量的加减运算，按对应的坐标进行加减运算即可，涉及到已知起点和终点坐标求向量时，用终点坐标减去起点坐标即可.,13,点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度).设开始时点P的坐标为(-10，10)，则5秒后点P的坐标为( ) A. (-2，4) B. (-30，25) C. (5，-10) D. (10，-5)
6、解：设点A(-10，10)，5秒后点P运动到B点，则 =5v，所以 =5v，所以 +5v=(-10，10)+5(4，-3)=(10，-5).故选D.,D,14,题型2 向量的模,2. 已知向量a=(cos23，cos67)，b=(cos68，cos22)，求|a+tb|(tR)的最小值. 解：由已知得a=(cos23，sin23)，b=(sin22，cos22)，所以|a|=|b|=1，ab=sin22cos23+cos22sin23=sin45= . 所以|a+tb|2=(a+tb)2=a2+2tab+t2b2所以当t=- 时，|a+tb|min= .,15,点评：坐标向量a=(x，y)的模
7、 是一个非负数，涉及到三角函数式的运算时，注意先将三角函数式化简再求解.,16,已知向量m=(cos，sin)和n=( -sin，cos)，2.求|m+n|的最大值. 解：m+n=(cos-sin+ ,cos+sin),因为，2，所以 所以cos( )1，所以|m+n|max= .,17,已知a、b、c是同一平面内的三个向量， 其中a=(1，2). (1)若|c|= ，且ca，求c的坐标; (2)若|b|= ，且a+2b与2a-b垂直, 求a与b的夹角. 解：(1)设c=(x,y)，则|c|= 又ca，则2x=y, 所以 或 所以c=(2,4),或c=(-2,-4).,题型3 向量的平行与垂直
8、,18,(2)因为a+2b与2a-b垂直, 所以(a+2b)(2a-b)=2|a|2+3ab-2|b|2=0. 因为|b|= ，|a|= ，所以ab=- 所以 所以a与b的夹角为135. 点评：两坐标向量的平行(或垂直)的充要条件是将向量运算转化为实数运算的依据，注意平行与垂直的充要条件极易弄错或混淆.,19,20,21,22,23,1. 建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理.因此，对所给向量应会根据条件在x轴和y轴进行分解，求出其坐标. 2. 向量的坐标表示，实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来.这样，很多几何问题就转化为我们
9、熟知的数量的运算.,24,3.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标. 4.本节易忽视点有二：一是将向量的终点坐标误认为向量坐标，二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆，须正确区分.,25,第五章 平面向量,向量的坐标运算,第 讲,3,（第二课时）,26,题型4 向量的夹角,1. 在平面直角坐标系内，已知向量 =(2，1)， =(1，7)， =(5，1).若Z为直线OP上一个动点，当 取最小值时，求cosAZB的值.,27,解：因为Z在直线OP上，所以 与 共线，所以 又因为 =(1-2，7-)， 同理 =(5-2，1-)， 所以， =(1
10、-2)(5-2)+(7-)(1-)=5(-2)2-8， 所以当=2时，( )min=-8. 此时 =(-3，5)， =(1，-1)，,28,点评：利用坐标向量求向量夹角的有关问题时，运用坐标运算先求其数量积与模的积，其中涉及到参数时，一般是转化为函数问题后，利用函数的性质进行求解，这正体现了知识之间的纵横联系.,29,已知M(-1，0)，N(1，0)，动点P使得 求 与 的夹角的取值范围. 解：因为 由已知| |=2，所以 =2. 设点P(x，y)，则 =(-1-x，-y)， =(1-x，-y)，所以(-1-x)(1-x)+y2=2， 即x2+y2=3. 所以,30,因为0x23，所以4-x2
11、1，2， 从而cos ，1, 所以0, .,31,题型5 向量的坐标运算与三角函数交汇,2. 已知xR,向量 f(x)= ，a0. (1)求函数f(x)的解析式，并求当a0时，f(x)的单调递增区间； (2)当x0, 时，f(x)的最大值为5，求a的值. 解：,32,当 即 时，f(x)为增函数, 即f(x)的单调递增区间为 (kZ). (2)由(1)知f(x)=2asin(2x+ ). 当x0, 时，2x+ . 若a0,当2x+ = 时,f(x)的最大值为2a=5， 则a= ； 若a0,当2x+ 时,f(x)的最大值为-a=5, 则a=-5.,33,点评：向量既是数形结合的一种工具，也是各知
12、识综合的一个平台.向量与三角函数的交汇综合，是近几年高考中的一个亮点.如本题就是利用向量的数量积转换已知条件，综合考查了向量的运算、三角函数的化简、三角函数的性质等知识.,34,设a=(1+cos，sin)，b=(1-cos，sin)，c=(1，0)，其中(0，)，(，2).记a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，若1-2= ，求-的值. 解：由题设，,35,因为 所以 因为 所以 所以,36,1.数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系；而向量的夹角、长度是向量的数量特征.利用数量积可以求以下几类问题： 判断两向量是否垂直或共线； 计算向量的长度或平面内两点间的距离； 求两向量的夹角； 用来证明三角形中与边角有关的命题.,
