北大博弈论习题1

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1、1 博 弈 论 习 题一、试给出下述战略式表述博弈的纳什均衡B A L R U 1,3 2,5 D 4,1 6,2 解：由划线解得知有一个纯战略均衡（RD ,）再看看它是否有混合战略均衡设B以)1 ,(玩混合战略，则有均衡条件：2)1(21)(UVA26)1(64)( DVA262得14，这是不可能的，故无混合战略均衡，只有这一个纯战略均衡。二、试将题一中的支付作一修改使其有混合战略均衡解：由奇数定理，若使它先有两个纯战略均衡，则很可能就有另一个混合战略均衡。B A L R U 5,6 2,5 D 4,1 6,2 2 将博弈改成上述模型，则)1(64)1(252632得 54同样，设A的混合战

2、略为)1 ,(，则)1(25)1(16325121于是混合战略均衡为 51 , 54 , 21 , 21。三、用逆向归纳法的思路求解下述不完美信息博弈的子博弈精炼均衡1 2 1 2 (5,8) (6,7) (2,0) (3,4) (1,2) (3,4) 解：3 1 LR2 ab1 1 2 LRLRcd(5,8) (6,7) (2,0) (3,4) (1,2) (3,4) 设在 1 的第二个信息集上， 1 认为 2 选a的概率为P，则 1 选L的支付PPP32)1(251 选R的支付PPPP3233)1(36故 1 必选R。给定 1 在第二个决策结上选R，2 在左边决策结上会选a，故子博弈精炼均

3、衡为),( ,daRL四、两个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售。第1 个厂商的成本函数为11qc， 其中1q为厂商 1 的产量。 第 2 个厂商的成本函数为22cqc，其中2q为厂商 2 的产量，c为其常数边际成本。 两个厂商的固定成本都为零。厂商 2 的边际成本c是厂商 2 的“私人信息”，厂商 1 认为c在23, 21上呈均匀分布。 设市场需求函数为214qqP，其中P为价格， 两个厂商都以其产量为纯战略，问纯战略贝叶斯均衡为何？解：给定2q，厂商 1 的问题是12111)14()1(max1qqqqP q因)(22cqq。厂商 1 不知道c，故目标函数为4 2/3212112/31

4、2121 121 1)(3max)1)(4(maxdccqqqqdcqcqqqq一阶条件：0)(232/32121dccqq得2/32121)( 2123dccqq（1）厂商 2 的问题是：2221222122)4()4()(max2qqqqcqcqqqcP q一阶条件：02)4(21qqc得24)(12qccq（2）代入式（ 1） ：4321238144234124212324212312212/32/312/311212121qqcdcqdcqcq得11q代入式（ 2） ：23 )(2c cq若1c，则121qq1215 若 信 息 是 完 全 的 且1c， 则 古 诺 博 弈 均 衡 为

5、1 5321qq，1 252721。这说明信息不完全带来的高效率。五、试给出下述信号博弈的纯战略均衡中的混同均衡和分离均衡(8,1) (1,2) 1a发送者1a2m1t1m2a5.02a(2,7) (10,8) 接收者自然N接收者 (6,5) （ 4,1）1a5.01a2m发送者1m2a2t2a(7,3) (3,7) 解：有四种可能：混同均衡11mt，12mt21mt，22mt分离均衡11mt，22mt21mt，12mt设)(imu为接收者看见im时认为发送者是1t的后验概率。看11mt，12mt则5.0)(1mu，非均衡路径上1 ,0)(2mu当接收者看见1m，选1a的支付为5.115.02

6、5.0选2a的支付为5.15.775.085.0故选2a。6 当接收者看见2m，选1a的支付为)(455)(1(1)(222mumumu选2a的支付为)(433)(1(7)(222mumumu当1t选1m，接收者会选2a，1t得支付 10，要求1t不选2m，对)(2mu无要求，因1t总会选1m。当2t选1m，接收者会选2a，2t得支付 3，要求2t不选2m是不可能的， 因2t选2m是占优于选1m的，故此混同均衡11mt，12mt不存在。再看混同均衡21mt，22mt此时1 ,0)(1mu为非均衡路径上的后验概率，5.0)(2mu当接收者看见2m，选1a的支付为355.015.0选2a的支付为3

7、535.075.0故接收者必选2a。当接收者看见1m时，选1a的支付为)(11)(1(2)(111mumumu选2a的支付为)(1)(77)(1(8)(1111mumumumu故必选2a。这样，无论发送者发出1m或2m信号，接收者总选2a，给定接收者总是选2a。1t会选1m，2t会选2m。故21mt，22mt不是混同均衡。看分离均衡11mt，22mt1)(1mu，0)(2mu7 接收者看见1m时，必选2a接收者看见2m时，必选1a此时，1t选1m，2t选2m故11mt，22mt是一个分离均衡。最后看分离均衡21mt，12mt0)(1mu，1)(2mu接收者看见1m时，必选2a接收者看见2m时，

8、必选2a给定接收者总选2a11mt，22mt故21mt，12mt不是分离均衡。故只有一个纯战略子博弈精炼分离均衡11mt22mtJxbkaneking求助1.在下列监工与工人之间的博弈中，试用划线法分析该博弈有无纯策略纳什均衡；如果没有，那么写出混合策略纳什均衡的结果。工人监工偷懒不偷懒监督1，-1 -1，2 不监督8 -2，3 2，2 2.求解下列博弈的纳什均衡，最好阐述一下求解方法和过程。博弈方 2 博弈方 1 likui106 解答第一题没有纯策略均衡， 只有混合策略均衡 （ （0.25， 0.75） ， （0.5， 0.5） ）第二题可以根据画线法求得有唯一纯策略均衡（上，左）兰烬落，

9、屏上暗红蕉。闲梦江南梅熟日，夜船吹笛雨萧萧，人语驿边桥。楼上寝，残月下帘旌。 梦见秣陵惆怅事， 桃花柳絮满江城， 双髻坐吹笙。在电影 E.T 中有一个用 Hershey公司的 Reese s Pieces牌巧克力米引诱小外星人出树林的镜头。 由于这个镜头的公众效应， 使得 R eese s Pieces牌巧克力的销量大增， Hershey公司终于赶上了其对手Mars Universal Studio的原计划是在该电影中用Mars 的 M公司每星期可以生产 50 台彩色电视机或100 台黑白电视机。市场对彩电和黑白电视的需求量分别是200 台/星期和 100 台/星期，售价分别为每台2000 元

10、和每台1000元。公司的生产成本为:彩电每台 1500元，黑白电视机每台600元。公司的生产成本为 :彩电每台 1600元，黑白电视机 850 元。如果生产大于21 需求， 两家公司将按照各自的产量在总产量中占有的比例确定售出量(例如假定生产 200 台彩电，而生产50 台，需求量为 200 台，则和的售出量分别为 200/250200=160台和 200/25050=40台)。电视机售不出去，公司不仅得不到利润，相反却仍要支出生产成本，现在我们将这个问题构成一个 22 非零和对策，并求其解。公司有两个策略 : 1:生产 200台彩电2:生产 100台彩电， 100 台黑白电视机公司有两个策略

11、 : 1:生产 50 台彩电2:生产 100台黑白电视机该问题的赢得矩阵为 :（20000，0） （100000，15000）（90000，100000） （40000，-35000）这显然是一个 2*2 非零和对策，如果公司和公司不合作，公司的最大最小值为 V1=63077(元)，公司的最大最小值为V2=4286(元)。请问这个赢得矩阵是怎么出来的？为什么啊？lanh_113求助： 考虑下面的贝兰特德双垄断模型在对称信息下的情况，两企业的产品存在差异。对企业i 的需求为 qi (pi ,pj )=a- pi bipj ，两企业的成本都为 0。企业 i 的需求对企业 j 的价格的敏感程度有可能

12、较高，也可能较低，也就是说， bi 可能等于 bH ，也可能等于 bL ，这里 bH bL 0 。对每一个企业， bH = bi 的概率为 ，bi= bL 的概率为 1-，并与 bj 的值无关。每一企业知道自己的bi ，但不知道对方的，所有这些都是共同知识。此博弈中的行动空间，类型空间，推断以及效用函数各是什么？双方的战略空间各是什么？此博弈对称的纯战略贝叶斯纳什均衡应满足哪些条件？求出这样的均衡解。22 huang000lei 求助：两个人A，B 凑钱买东西，同时分别出自己的钱CA，CB，可买的东西有两样， S,T, S比 T 贵。如果 CA+CBS，就买 S;如果SCA+CBT，就买 T。

13、否则什么也不买。其中B 希望买 S， T 对他没有价值；A 则买 T 买 B 无所谓，获得的价值一样。 这种局势是否构成一个博弈？（条件够吗？）有解吗？allan9182736求助：关于植草益产业组织学的一个问题，请那位高手指导一下：小弟学习第七章短期利润最大化，q= p【1-1/（1+k） s】-v，按推算则 p=v/【1-（1+k） s/】 为何书上却写为p=v/【1-1/（1+k） s/】 ，怎么也搞不明白？Colinzc 求助分钱与海盗分珠宝的差别：关于两个人分100 元钱和五个海盗分珠宝的博弈，看上去性质似乎差不多，结果上也是先行者有优势，但是为什么结果上感觉前者没有后者的博弈那么均

14、衡呢？我觉得是否是因为两个人分 100 元钱中，最大的损失也就是100 元，但在分珠宝中，损失是生命，所以参与人在博弈过程中更为理性和不那么计较，所以哪怕只得到1个珠宝也愿意。忧伤河的水：新 100 囚犯题100个死囚，关在 100个单人牢房，牢房排成一个圆圈。国王的特赦令是：每个囚犯早上必须在后窗挂起红旗或者黄旗。如果有连续100天，第k 天只有第 k 间牢房挂起红旗，其他全是黄旗，就释放所有死囚。如果三年后还没完成，所有人全部拉出去砍了。囚犯可以先开一个会，会后所有人会被随机分到一间牢房， 而且不知道自己的房间号。 为了阻止囚犯们得到特赦，囚犯们并不是同一天被关进自己的牢房，而是先被麻醉，

15、又关进不见天日的小黑屋一段日子， 所以每个囚犯都不知道自己到底是哪一天被送进自己的单人牢房。每个囚犯进自己牢房的第一天会得到一个数,范围在 0-100 之间（可23 能有人得到相同的数） 。囚犯相互之间唯一的交流方法是每天晚饭时每人可以报一个数， 这个数与他上一次得到的数差距不能超过10-（数是循环的，0 和 100的差距是 1） ，由看守在熄灯时给他的左边邻居，如果某间牢房里暂时没有犯人，看守会编一个数传下去，由于囚犯开会是被监视的，所以看守可以利用这个机会进行破坏。请问囚犯们怎么办？注：三年的期限是从所有囚犯都进入自己的牢房开始算。5 名海盗，夺得 100 颗宝石分赃规则：海盗 1 提出分

16、配方案，若 5 名海盗 (包括 1 自己)半数以上 (不含半数 )票同意，则实施 1 的方案，否则杀死1，由 2 提方案2 的方案由现有 4 名海盗投票，半数以上同意则实施2 的方案，否则杀死 2，然后由 3 提方案；如此反复，依此类推。问：海盗 1 如何提出自己的分配方案可以获得最大的好处（假设每个海盗都绝顶聪明且理性）以下是个人见解：这个例子为迪克西特所说的相继出招的博弈，应用其法则1：向前展望，倒后推理。假设剩下最后海盗4 和海盗 5 两个人时：海盗 4 无论怎么分（除非全部 100 个金币都给海盗 5）海盗 5 都会不同意，从而海盗4 会因为不过半数而被杀，这样海盗5 可以独霸 100 个金币。这里说了海盗都是绝顶聪明且理性，所以对海盗 3 的方案海盗 4 否决会把自己推向很不利的境况，而海盗5 则会竭力否决，因为只要海盗3 的方案被否决了，海盗5 接下来可以拿到 100 个金币。所以海盗3 知道了海盗 4和海盗 5 的策略，因为那是海盗4 和海盗 5 剔除劣势策略后的唯一策略，所以海盗 3