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1、1第 3 讲统计、统计案例自主学习导引真题感悟1(2012 福建)一支田径队有男女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，那么应抽取的女运动员人数是_解析 利用分层抽样的特点，按比例抽 样去分析依题意，女运动员有 985642(人)设应抽取女运动员 x 人，根据分层抽样特点，得 x42，解得 x12.2898答案122(2012 湖北)容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表：分组 10,20) 20,30) 30,40) 40,50) 50,60) 60,70频数 2 3 4 5 4 2则样本数据落在区间10,4
2、0)的频率为A0.35 B0.45C0.55 D0.65解析 根据频率的定义求解由表知 10,40)的频数 为 2349，所以样本数据落在区间10.40)的频率为 0.45.920答案B考题分析统计与统计案例部分的高考试题难度一般不大，考查的内容多为抽样方法，用样本估计总体、线性回归分析、独立性检验等，这类题目作为解答题出现时，往往与概率结合命题网络构建高频考点突破考点一：抽样方法【例 1】(2012 中山模拟 )某校共有学生 2 000 名，各年级男、女学生人数如图表示，已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二级女生的概率是 0.19，现用分层抽样的方法(按年级分层)在全校学生中抽取 10
3、0 人，则应在高三级中抽取的学生人数为_.高一级 高二级 高三级女生 385 x y男生 375 360 z审题导引 据题意求出字母的 值，按照分 层抽样的 规则计算规范解答 据题意得 x 2 0000.19380，高三级 的学生人数为 yz2 000385375380360500，在高三级中抽取的学生人数为 500 25.1002 000答案25【规律总结】抽样方法的选取注意分层抽样与系统抽样的计算方法，分层抽样是按比例抽样，比例的性质、方程的方法起主要作用；系统抽样首先是对总体分段的计算，注意分段时可能要排除一些个体，各段的间隔距离是一样的，但各段中抽取的个体就可有不同的规则，要根据这些规
4、则通过计算确立抽取的个体【变式训练】21某班级有 50 名学生，现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生，将这 50 名学生随机编号 150 号，并分组，第一组 15 号，第二组 610 号，第十组 4650 号若在第三组中抽得号码为 12 的学生，则在第八组中抽得号码为_的学生解析 由于组距为 5，所以所抽号码为(83) 51237.答案37考点二：用样本估计总体【例 2】(1)(2012 西城二模)下图是 1、2 两组各 7 名同学体重(单位：kg)数据的茎叶图设 1、2 两组数据的平均数依次为 1 和 2，标准差依次为 s1 和 s2，那么(注：标准差s ，1nx1
5、x 2 x2 x 2 xn x 2其中 为 x1， x2，x n 的平均数)x A. 1 2，s 1s 2B. 1 2，s 1s 2x x x x C. 1 2，s 1s 2 D. 1 2，s 1s 2x x x x (2)(2012徐州模拟 )某年级 120 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间将测试结果分成 5 组：13,14)，14,15) ，15,16) ，16,17) ，17,18，得到如图所示的频率分布直方图如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为 13763，那么成绩在16,18的学生人数是 _审题导引 (1)根据茎叶图中的数据分别计算 1， 2，s ，
6、s ，然后比较大小；x x 21 2(2)根据直方图 中各小矩形的面积和为 1 计算出成绩在16,18的频率，然后计算成绩在16,18的学生人数规范解答 (1)由茎叶图知1 61.x 58 57 56 53 61 72 707s (5861) 2(5761) 2(5661) 2(5361) 2(6161) 2(7261) 2(7061)21172 ，2997同理 264，s ，所以 1 2，s1s 2.x 2 3907 x x (2)由频率分布直方 图可知成绩在16,18 的学生的频率为 ，6 31 3 7 6 3 920所以成绩在16,18 的学生人数为 12054.920答案(1)C(2)
7、54【规律总结】用样本估计总体时应注意的问题(1)理解在抽样 具有代表性的前提下，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，用样本的特征数估计总体的特征数，这是统计的基本思想；(2)反映样本数据分布的主要方式，一个是频率分布表，一个是频率分布直方图，要学会根3据频率分布直方图估计总体的概率分布以及总体的特征数，特别是均值、众数和中位数；(3)要掌握好样 本均值和方差的实际意义，并在具体的应用问题中会根据计算样本数据的均值和方差对实际问题做出解释；(4)茎叶图是表示 样本数据分布的一种方法，其特点是保留了所有的原始数据，这是茎叶图的优势【变式训练】2(2012 义乌模拟)在如图所示的茎叶图中，乙组
8、数据的中位数是_；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是_组解析 把乙组数据从小到大排，得 79,84,84,84,86,87,93，故中位数是 84， 甲 84， 乙 85，x x 乙 甲x x 答案84乙3(2012 杭州二模)将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组，若第一组至第六组数据的频率之比为 234641，且前三组数据的频数之和等于 27，则 n 的值为A70 B60 C50 D40解析 据题意知 ，2 3 42 3 4 6 4 1 27nn60.答案B考点三：线性回归分析【例 3】某种设备的使用年限 x 和维修费用 y(万元)有以下
9、的统计数据，如表所示x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5(1)画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 bxa；y (3)估计使用年限为 10 年，维修费用是多少？审题导引 (1)根据对应值组成点的坐标，画出各点即可；(2)直接套用求回归直线系数的公式，求出 b，a；(3)根据求出的回归直线方程，求当 x10 时对应的 y 值，即使用年限为 10 年时，维修费用的估计值规范解答 (1)作出散点图如图所示(2) xiyi66.5 ， x 324 25 26 286，4 i 1 4 i 12i4.5， 3.5，x y b 0.7，66.5 44.
10、53.586 44.52 66.5 6386 81a b 3.50.74.50.35，y x 所以所求的回归方程为 0.7x0.35.y (3)当 x10 时， 0.7 100.357.35，y 所以使用年限为 10 年，维修费用的估计值是 7.35 万元【规律总结】4求线性回归分析问题的方法(1)画出两个变 量的散点图；(2)求回归直线 方程；(3)用回归直线 方程进行预报其中求回归直线方程是关键而求回归直线方程的最好方法是“最小二乘法” ，即对于线性回归模型 abx 来说，估计模型中的未知参数 a 和 b 的最好方法就是用最小二y 乘法，其计算公式为 b ，a b . n i 1 xi x
11、 yi y n i 1 xi x 2 n i 1xiyi nx y n i 1x2i nx 2 y x 易错提示 虽然由任何一组不完全相同的数据都可以求出回 归直线方程，但只有具有线性相关关系的一组数据才能得到有意义的回归直线方程，求出的方程才具有实际价值线性相关系数可以是正、负或零，线性相关系数为正时是正相关， 为负时是负相关，反之也成立【变式训练】4(2012深圳模拟 )某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程0.67x 54.9.y 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为_解析 由表知
12、 30，设模糊不清的数据 为 y，x 则 (62y 7581 89) ，y 15 307 y5 0.67 54.9，y x 即 0.67 3054.9 ，307 y5解得 y68.答案68考点四：独立性检验【例 4】有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表.优秀 非优秀 总计甲班 10 乙班 30合计 105 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 .27(1)请完成上面的列联表(2)根据列联表中的数据，若按 95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班
13、优秀的 10 名学生从 2 到11 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号试求抽到 6 号或 10 号的概率审题导引 第(1) 问由题易知成绩优秀的概率是 ，则成绩优秀的学生数是 30，成 绩非27优秀的学生数是 75，据此即可以完成列联表；第(2)问按照独立性检验的原理进行判断；第(3)问 列举基本事件个数和随机事件含有的基本事件个数，按照古典概型的概率公式进行计算规范解答 (1)列联表如表所示 优秀 非优秀 总计甲班 10 45 55乙班 20 30 50合计 30 75 105(2)根据列联表中的数据，得到 k 6.1093.841，因1051030 204
14、5255503075此有 95%的把握 认为“成绩与班级有关系” (3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A，先后两次抛 掷 一枚均匀的骰子，出 现的点数为5(x，y)所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(6,6)，共 36 个事件 A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共 8 个，故 P(A) .836 29【规律总结】独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出 22 列联表，假设两个变量无关系；(2)根据公式 K2 计算 K2 的值；nad bc2a bc da cb d(3)比较 K2 与临界值的大小关系作统计推断【变式训练】5(2012 南京模拟)某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出 20名 15 至 16 周岁的男生，将他们的身高和体重制成 22 列联表，根据列联表的数据，可以有_%的把握认为该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关系.超重 不超重 合计偏高 4 1 5不偏高 3 12 15合计 7 13 20独立性检验临界值表：P(K2k 0) 0.025 0.010 0.005 0.001k0 5.024
