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1、第七章 多元函数微积分,第一节 空间解析几何简介,第二节 多元函数的基本概念,第三节 偏导数和全微分,第四节 多元复合函数求导法则,第五节 隐函数的求导法则,河北机电职业技术学院, 高等数学,第六节 多元函数的极值,第七节 二重积分的概念和性质,第八节 二重积分的计算,第九节 对坐标的曲线积分,河北机电职业技术学院, 高等数学,第一节 空间解析几何简介, 高等数学,河北机电职业技术学院,空间解析几何: 用代数方法讨论空间图形,先修知识：向量代数,后续知识：多元微积分,一、空间直角坐标系,二、空间两点间的距离,三、空间曲面及其方程,四、二次曲面,主要内容:,河北机电职业技术学院, 高等数学,基本
2、要求:,了解空间直角坐标系，空间点的坐标；掌握空间两点间的距离公式了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面及常见曲面方程作出其图形,重点:,由平面及常见曲面方程作出其图形,河北机电职业技术学院, 高等数学,一、空间直角坐标系,y,z,O,x,空间直角坐标系：数(数组)与形(空间图形) 结合的工具,河北机电职业技术学院, 高等数学,每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面：,yoz平面,xoy平面,xoz平面,河北机电职业技术学院, 高等数学,三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限：,o,x,y,z,河北机电职业技术学院, 高等数学,z,x,O,y,N,M,y,R,z,x,河北机电职业技术
3、学院, 高等数学,一 一 对 应,河北机电职业技术学院, 高等数学,例1、建立空间直角坐标系，并作出下列点：,河北机电职业技术学院, 高等数学,二、空间两点间的距离公式,河北机电职业技术学院, 高等数学,三、空间曲面及其方程,曲面S与方程 F(x , y , z) = 0 关系：（1）S上任一点的坐标都满足方程；（2）S外点的坐标都不满足方程.,1、曲面方程的概念,曲面S:空间满足一定条件的动点的轨迹.,S,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,利用平面方程研究平面:设平面的一般方程为（1）A0，
4、B0，C0，D0平面不过原点，在 x轴、y轴、z轴、上的截距分别为-D/A、-D/B、-D/C.令-D/A=a、-D/B=b、-D/C=c，则有,河北机电职业技术学院, 高等数学,上式称为平面的截距式方程平面与三坐标轴的交点分别为P(a , 0 , 0)、Q(0 , b , 0)、R(0 , 0 , c)其中a 、 b 、 c均不为零,P(a , 0 , 0),Q(0 , b , 0),R(0 , 0 , c),河北机电职业技术学院, 高等数学,（2） A0，B0， C0，D = 0平面过原点（3）A、B、C中有一个为零 A = 0，平面方程为By+Cz+D = 0 平面平行于x轴,河北机电职
5、业技术学院, 高等数学,B = 0 , 平面方程为Ax+Cz+D = 0平面平行于y 轴C = 0 , 平面方程为Ax+By+D = 0平面平行于z 轴,河北机电职业技术学院, 高等数学,（4）A、B、C中有两个为零 A = 0， B = 0 , 平面方程为Cz+D = 0 平面与z 轴垂直B = 0， C = 0 , 平面方程为Ax+D = 0 平面与x 轴垂直,河北机电职业技术学院, 高等数学,A = 0， C = 0 , 平面方程为By+D = 0 平面与y 轴垂直(5) z = 0，xOy平面；x = 0，yOz平面； y = 0，xOz平面。,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机
6、电职业技术学院, 高等数学,练习：作出下列平面的图形,（1）,（2）,河北机电职业技术学院, 高等数学,（3）,（4）,（5）,（6）,河北机电职业技术学院, 高等数学,3、柱面,C,L,要求：掌握母线平行于坐标轴的柱面方程,河北机电职业技术学院, 高等数学,M,河北机电职业技术学院, 高等数学,（2）母线平行于坐标轴的柱面方程 、 F(x , y ) = 0 准线C: xOy 平面上的曲线F(x, y) = 0母线与z 轴平行； 、G(x , z) = 0 准线C: xOz 平面上的曲线G(x, z) = 0母线与y 轴平行； 、H( y , z) = 0 准线C: yOz 平面上的曲线H(
7、y, z) = 0母线与x 轴平行.,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,例如：抛物柱面 y - x2 = 0 准线C: xOy 平面上的抛物线 y - x2 = 0 母线平行于z 轴,圆柱面 x2 +z2= 1 准线C: xOz 平面上的圆 x2 +z2= 1 母线平行于y 轴,河北机电职业技术学院, 高等数学,4、旋转曲面,C,L,L,C,河北机电职业技术学院, 高等数学,(1) 设yO z 平面上的曲线C :F(y, z) = 0，绕z 轴旋 转一周，问曲面方程怎样表示？ 取C上的一个点1(0, y1, z1)， 那么有F(y1, z1) = 0 当C绕轴
8、旋转时，点1旋转到 点(x, y, z) 这时有 z = z1,河北机电职业技术学院, 高等数学,因此 ,yOz 平面上的曲线C :F(y, z) = 0绕 z 轴旋 转一周而成的旋转曲面方程为 同理可得,曲线C:F(y, z) = 0绕 y 轴旋转所成的旋转曲 面方程为,河北机电职业技术学院, 高等数学,同学们可以写出另外几种情形：,河北机电职业技术学院, 高等数学,小结：旋转面（坐标面内的曲线绕坐标轴旋转而成）方程的特点：,1、形如,由曲线 或 绕 轴旋转而成,2、形如,由曲线 或 绕 轴旋转而成,3、形如,由曲线 或 绕 轴旋转而成,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院
9、, 高等数学,练习：,1、建立下列曲面的方程,（1）,（2）,绕 轴：,绕 轴：,绕 轴：,绕 轴：,河北机电职业技术学院, 高等数学,（3）,（4）,河北机电职业技术学院, 高等数学,2、下列曲面是否旋转面？若是，如何产生？试作出 其旋转面的图形：,河北机电职业技术学院, 高等数学,参考答案：,（2）,（3）,河北机电职业技术学院, 高等数学,（5）,河北机电职业技术学院, 高等数学,（6）,河北机电职业技术学院, 高等数学,（7）,河北机电职业技术学院, 高等数学,（8）,河北机电职业技术学院, 高等数学,（9）,河北机电职业技术学院, 高等数学,（10）,河北机电职业技术学院, 高等数学
10、,四、 二次曲面,河北机电职业技术学院, 高等数学,分析曲面形状的方法平行截面法：用坐标面及平行于坐标面的平面去截曲面，考察其交线（即截痕）的形状，通过截痕形状研究曲面的性状.,图形特性：（1）关于坐标面，坐标轴以及坐标原点对称；（2）完全包含在一个以原点为中心的长方体|x | a, |y |b, |z |c内；（3）截痕：与三个坐标面的交线是椭圆,河北机电职业技术学院, 高等数学,与平面z = z1(| z1|c)的交线也是椭圆,河北机电职业技术学院, 高等数学,（4）特例a = b 时为旋转椭球面由xOz平面上的椭圆 绕z轴旋转而成 .,类似地，与平面 的交线仍是椭圆 椭圆截面的大小随平面
11、位置的变化而变化,河北机电职业技术学院, 高等数学,a = b = c 时为球心在原点O，半径为a的球面.,河北机电职业技术学院, 高等数学,、抛物面（1）椭圆抛物面 截痕: 考察(p 0 , q 0) 与平面z = 0相截于原点（椭圆抛物面的顶点）； 与平面z = z1（ z1 0）的截痕是椭圆,河北机电职业技术学院, 高等数学,与坐标面y = 0的截痕是抛物线与平面y = y1的截痕也是抛物线与平面 x = 0及x = x1的截痕也是抛线。,河北机电职业技术学院, 高等数学,特别地 p = q 时为旋转抛物面(由xOz面上的抛物线 x2 = 2pz 绕它的对称轴 z 轴旋 转而成的) 与平
12、面z = z1（ z1 0）的截痕是圆,河北机电职业技术学院, 高等数学,、双曲面（1）单叶双曲面截痕： 与平面z = z1的交线是椭圆,河北机电职业技术学院, 高等数学,与平面 的交线是双曲线,河北机电职业技术学院, 高等数学,（2）双叶双曲面截痕：,河北机电职业技术学院, 高等数学,、双曲抛物面（马鞍面）,河北机电职业技术学院, 高等数学,练习,作出由下列曲面或平面所围成的几何体：,河北机电职业技术学院, 高等数学,第二节 多元函数的基本概念,一、多元函数,二、二元函数的极限与连续性,主要内容,河北机电职业技术学院, 高等数学,基本要求,理解平面区域的有关概念；理解多元函数的概念及二元函数
13、的几何表示，掌握二元函数的定义域及其几何表示；了解二元函数极限的思想；了解二元函数的连续性,重点,二元函数的概念、定义域，平面区域的有关概念,河北机电职业技术学院, 高等数学,1.实例分析,一、多元函数,河北机电职业技术学院, 高等数学,二元函数的定义,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,2.二元函数的几何表示,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,1. 二元函数的
14、极限,二、二元函数的极限与连续性,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,第三节 偏导数和全微分,一、偏导数,二、高阶偏导数,三、全微分,主要内容,河北机电职业技术学院, 高等数学,基本要求,理解偏导数的概念，掌握偏导数的求法；理解高阶偏导数的概念并掌握求法；了解多元函数全微分的概念，掌握计算方法,重点,多元函数偏导数和全微分的运算,河北机电职业技术学院, 高等数学,一、 偏导数,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,二、 高阶偏导数,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院, 高等数学,三、 全微分,1、全微分的定义,河北机电职业技术学院, 高等数学,河北机电职业技术学院,
