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1、第三节 圆的方程,三年5考 高考指数: 1.掌握圆的标准方程与一般方程； 2.初步了解用代数方法处理几何问题.,1.圆的方程的求法、圆的几何性质是高考的重点； 2.常和圆的几何性质结合,重点考查待定系数法、方程的曲线与曲线的方程的概念； 3.题型多以选择题和填空题为主，属中低档题目.,1.圆的定义、方程 (1)在平面内到_的距离等于_的点的轨迹叫做圆； (2)确定一个圆的基本要素是：_和_. (3)圆的标准方程 两个条件：圆心(a,b), _ ； 标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.,定点,定长,圆心,半径,半径r,(4)圆的一般方程 一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0； 方程表
2、示圆的充要条件为：_； 圆心坐标(_),半径r=_.,D2+E2-4F0,【即时应用】 （1）方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 _; （2）圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+ y-3=0的距离为_ _; （3）当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心, 为半径的圆的方程为_.,【解析】(1)x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，所以a2+(2a)2- 4(2a2+a-1)0,解得-2a ; (2)x2-2x+y2-3=0的圆心坐标为(1,0)，它到直线x+ y-3=0的距 离为,(3)直线方程变为(
3、x+1)a-x-y+1=0, 由 所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 即:x2+y2+2x-4y=0. 答案：(1)-2a (2)1 (3)x2+y2+2x-4y=0,2.点与圆的位置关系 (1)理论依据：_与_的距离与半径的大小关系 (2)三个结论 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0) _ 点在圆上； _点在圆外； _点在圆内.,点,圆心,(x0-a)2+(y0-b)2=r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,【即时应用】 (1)请思考下列问题 若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上，则 满足什么
4、条件？ 若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内，则 满足什么条件？ 若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则 满足什么条件？,提示： ,(2)已知点A(0,0)在圆：x2+y2+2ax+a2+a-2=0外，则a的取值范围 是_; 【解析】因为方程x2+y2+2ax+a2+a-2=0表示圆，所以(2a)2-4(a2+ a-2)0，解得:a2, 又因为点A(0,0)在圆外，所以a2+a-20，解得：a-2或a1, 综上可得1a2或a-2. 答案：1a2或a-2,(3)已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线 x-y=0的对称点B
5、也在圆上，则a=_,b=_. 【解析】方法一：点A(1,2)关于直线x-y=0的对 称点为B(2,1)，又因为A、B两点都在圆上， 所以 方法二：易知圆心在y=x上，1=- , 即a=-2,又点A(1,2)在圆x2+y2-2x-2y+b=0上， 12+22-21-22+b=0,b=1. 答案：-2 1,求圆的方程 【方法点睛】 1.求圆的方程的方法 （1）直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； （2）待定系数法： 若已知条件与圆心（a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a、b、r的值;,若已知条件没有明确给出圆心或半径
6、，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值. 2.确定圆心位置的方法 （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在任意一弦的垂直平分线上； （3）两圆相切时，切点与两圆圆心共线.,【例1】(1)过点A(-2,4)、B(3,-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程_; (2)(2012台州模拟）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为_. (3)求经过点A(-2,-4)，且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.,【解题指南】(1)可设圆的方程的一般形式，利用A
7、(-2,4)、B(3,-1)两点在圆上及该圆在x轴上截得的弦长等于6，得出三个方程，解方程组即可确定圆的方程； (2)利用圆心既在AB垂直平分线上，又在已知直线上求圆心坐标得出半径，从而求圆的方程. （3）可先设圆心坐标为C(a,b)，由圆心与切点连线与切线垂直及圆心到圆上点的距离相等得出关于a、b的两个方程，解方程组即可得到圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程；也可直接求出圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程.,【规范解答】（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B两 点的坐标代入得 再令y=0，得x2+Dx+F=0，设x1、x2是方程的两根，由|x1-x2|=6 得，D2-4F
8、=36， 由 因此，所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0. 答案：x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0,(2)AB的中垂线y=-3必过圆心， 故解 得圆心坐标为C（2，-3），|CA|= ， 所求圆C的方程为（x-2）2+（y+3）2=5. 答案：（x-2）2+（y+3）2=5,(3)方法一：设圆心坐标为C(a,b),依题意得：解得： 半径 因此，所求圆的方程为：,方法二：依题意得,圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分 线方程为：x+y-4=0；又因为圆心也在过B且与直线l垂直的直线 上，而此直线方程为：3x-y-18=0， 解方
9、程组以下同方法一.,【互动探究】本例（3）中“经过点A（-2，-4）”改为 “圆心在直线x+y-4=0上”,结果如何？,【解析】方法一：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 依题设有因此，所求圆的方程为:,方法二：依题设可知，圆心也在过切点B（8，6）且与l垂直的 直线上，其斜率为3，所以方程为y-6=3(x-8) 即3x-y-18=0，又圆心在x+y-4=0上， 由 半径 因此，所求圆的方程为：,【反思感悟】1.从题组求解可以看出，确定一个圆的方程，需要三个独立的条件；“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数. 2.
10、解答与圆有关的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.,【变式备选】已知圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是_. 【解析】因为圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好落在 两个坐标轴上，所以，直径的两个端点坐标为(4,0)、(0,-6)， 所以，圆的半径为 圆的方程为：(x-2)2+(y+3)2=13. 答案：(x-2)2+(y+3)2=13,与圆有关的最值问题 【方法点睛】 与圆有关的最值问题，常见的有以下类型 （1）形如 型的最值问题，可转化为过点(a,b）和 点（x,y)的直线的斜率的最值问题； （2）形如t=ax+by型的最值
11、问题，可转化为动直线的截距的 最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题，可转化为动点到定 点的距离平方的最值问题.,【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值； (2)求y-x的最大值和最小值； (3)求x2+y2的最大值和最小值.,【解题指南】充分利用所求代数式的几何意义，运用几何法求 解. 为点(x,y)与原点连线的斜率；而y-x表示动直线y=x+b的 纵截距；x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方；也可以消去 一个元，转化为在函数定义域内求最值.,【规范解答】(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为
12、圆心， 为半径的圆， 的几何意义为点(x,y)与原点连线的 斜率，所以设 =k，即y=kx,当直线与圆相切时，斜率k取最 大值或最小值，此时 ,解得k= .所以 的最 大值为 、最小值为- . (2)y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距，当直线与圆相切时， 直线y=x+b在y轴上的截距取最大值或最小值，此时 解得b=-2 .所以y-x的最大值为-2+ 、最小值为-2- .,(3)方法一：x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方，由平面几 何知识可知，原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取 得最大值或最小值.又圆心到原点的距离为2， 故(x2+y2)max=(2+ )2=7+4 .
13、(x2+y2)min=(2- )2=7-4 .,方法二：由x2+y2-4x+1=0得：y2=-x2+4x-1, 且-x2+4x-10, 即：2- x2+ , x2+y2=x2+(-x2+4x-1)=4x-1, (x2+y2)max=4(2+ )-1=7+4 ; (x2+y2)min=4(2- )-1=7-4 .,【反思感悟】1.本题三问都是求代数式的最值，它们都是利用代数式的几何意义与取最值时所满足的条件得出等式，通过解方程即可得出结论. 2.解答圆的最值问题，应注意数形结合，充分运用直线的斜率、在坐标轴上的截距、几何性质，来寻找解题思路.,【变式训练】已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2
14、=1上运动， 则 的最大值为_；最小值为_. 【解析】 的几何意义表示圆上的动点与(2,1)连线的斜率， 所以设 ，即kx-y+1-2k=0，当直线与圆相切时， 斜率k取最大值或最小值，此时 解得k= .所以 的最大值为 、最小值为- . 答案： -,【变式备选】若点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点， 求(x-2)2+(y+4)2的最大值、最小值. 【解析】方法一：(x-2)2+(y+4)2表示圆上的点到定点(2,-4) 的距离的平方，因为圆心(-1,0)到点(2,-4)的距离为,所以，圆上的点到点(2,-4)的距离的 最大值为6、最小值为4；因此，(x-2)2+(y+4)2的
15、最大值 为36、最小值为16.,方法二：因为点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点， 所以可设 则(x-2)2+(y+4)2 =(cos-3)2+(sin+4)2=26+8sin-6cos =26+10sin(+)(其中tan=- ). 故(x-2)2+(y+4)2的最大值为36； (x-2)2+(y+4)2的最小值为16.,与圆有关的轨迹问题 【方法点睛】 1.求轨迹方程的基本步骤 第一步：建立适当的平面直角坐标系，设曲线上任意点的坐标为M(x,y)； 第二步：写出适合已知条件的点M的集合P=M|P(M)； 第三步：用坐标表示P(M)，列出方程f(x,y)=0； 第四步：化简方程f(x,y)=0为最简形式.,2.求与圆有关的轨迹方程的方法,【提醒】注意轨迹与轨迹方程的区别.,【例3】长为2a的线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动， 求线段AB中点的轨迹方程. 【解题指南】可设AB的中点坐标为(x,y)，再求出A、B的坐标， 由距离公式及线段AB的长即可得出方程；还可由AB的中点与坐 标原点的距离为定长，得出轨迹为圆，从而得出方程.,
