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1、,集合的含义与表示,(第一课时),2009.9.25,集合的含义与表示,了解康托尔,德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡(今苏联列宁格勒),1918年1月6日病逝于哈雷。,学习目标,1.了解集合的含义以及集合中元素的确定性、互异性与无序性. 2.掌握元素与集合之间的属于关系并能用用符号表示. 3.掌握常用数集及其专用符号,学会使用集合语言叙述数学问题. 4.掌握集合的表示方法:自然语言、集合语言(列举法、描述法),并能相互转换.能选择适当的方法表示集合.,数集, 如:自然数集合、有理数集合、 一元一次不等式解的集合等;,点集, 如:到角的两边的距离相等的所有点的集合 ;,
2、到线段的两个端点距离相等的所有点的集合 ;,是角平分线,是线段垂直平分线,平面内到一定点的距离等于定长的点的点的集合,圆,初中学习了哪些集合的实例,其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等。大家能不能再举一些生活中的实际例子呢?,一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称集),说明:1、集合是一个整体,已暗含“所有”“全部”“全体”的含义。因此一些对象一旦组成了集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而非个别对象。2、构成集合的对象必须是“确定”的,其中“确定”是指构成集合的对象具有明确的特征,这个特征不是摸棱两可的。3、集合中的元
3、素是互不相同的,即相同的元素归入集合时,该元素只能出现一次。,集合的概念,集合元素具有以下三个特征,确定性:给定的集合,它的元素必须是确定 的,也就是说给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了,互异性:一个给定的集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素不能相同。,无序性:集合中的元素是无先后顺序的,即集合里的任何两个元素可以交换位置,这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.,判断下列各组对象能否描述为集合,若能,则用集合表示出来,若不能,请说明理由。(1)大于3小于11的偶数;(2)我国的小河流(3)很小的有理数;(4)泸高校园的所有大树;,由于集合是一些确
4、定对象的集体,因此可以看成 整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用 小写字母a,b,c等表示集合中的元素.,元素与集合的关系有两种:,如果a是集A的元素,记作:,如果a不是集A的元素,记作:,例如,用A表示“ 120以内所有的质数”组成的集合,则有3 A,4 A,等等。,元素与集合的关系,常用的数集,课堂练习P5 第1题,判断0与N,N*,Z的关系?,解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 弄清这个集合由哪些元素组成的.,(1) 自然语言法用文字叙述的形式描述集合的方法。,(2) 列举法将所给集合中的元素一一列举出来,并用花括号 括起来表示集合的方法。,说明:1、元素间用“,”隔
5、开;2、元素不能重复;3、元素无顺序;4、元素不能遗漏,集合的表示方法,问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?(2) 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合?,1,-2,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋,例1 用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程 的所有实数根组成的集合; (3)由120以内的所有素数组成的集合.,解:(1)A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.(2)B=0,1.(3)C=2,3,5,7,11,13,17,19.,一个集合中的元素的书写一般不考虑顺序(集合中元素的无序性).,1.确定性 2.互异性
6、3.无序性,(注意:元素与元素之间用逗号隔开),(1) 您能用自然语言描述集合2,4,6,8吗? (2) 您能用列举法表示不等式x-73的解集吗?,小于10的正偶数的集合,不能一一列举,(请阅读课本P4例2前的内容),卡盟排行榜 卡盟排行榜,Microsoft Office PowerPoint,是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示,也可以将演示文稿打印出来,制作成胶片,以便应用到更广泛的领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不仅可以创建演示文稿,还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。 Microsoft O
7、ffice PowerPoint做出来的东西叫演示文稿,其格式后缀名为:ppt、pptx;或者也可以保存为:pdf、图片格式等,第一课时完,集合的含义与表示,制作:胡海权,(第二课时),2009.9.25,(2) 用描述法表示下列集合 1,-1 大于3的全体偶数构成的集合.,练习 (1) 用列举法表示下列集合 ,自然语言主要用文字语言表述,而列举法和描述法是用符号语言表述. 列举法主要针对集合中元素个数较少的情况,而描述法主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的情况.,集合的表示方法,基础练习,1.填空题,设集合-2,-1,0,1,2, 时代数式 的值则中的元素是,现有:不大于 的正有理
8、数.我校高一年级所有高个子的同学.全部长方形.全体无实根的一元二次方程四个条件中所指对象不能组成集合的,3,0,-1,2选择题, 以下说法正确的( ) (A) “实数集”可记为R或实数集或所有实数 (B) a,b,c,d与c,d,b,a是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定, 已知2是集合M= 中的元素,则实数 为( ) (A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可,C,c,(3)下列四个集合中,不同于另外三个的是: yy=2 B. x=2 C. 2 D. xx2-4x+4=0,(4) 由实数x, -x, , x, 所组成
9、的集合 中,最 多含有的元素的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5,(1)方程组 的解集用列举法表示为_;用描述法表示为 .(2)集合用列举法表示为 .,3.填空,1. 用描述法表示下列集合,1,4,7,10,13,1/3,1/2,3/5,2/3,5/7.,能力提高题,2.用列举法表示下列集合: (1)A=xN Z(2) B= N xZ ,4. 若-3 a-3, 2a+1, a2+1,求实数a的值.,3. 求集合3 ,x , x2-2x中,元素x应满足的条件。,回 顾 交 流,今天我们学习了哪些内容?,第12页习题1.1 A组 第1、2、3、4题,课堂作业,大学期间康托尔主修数论,但受外
10、尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列(即柯西序列)定义无理数的实数理论,并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金,此后时常往来并通信讨论。1873年他估计,虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应,但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文关于一切实代数数的一个性质中证明了他的估计,并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对
11、应,这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中,他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。,格奥尔格康托尔 康托尔(Georg Cantor,1845-1918,德) 德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡(今苏联列宁格勒),1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学,从学于E.E.库默尔、K.(T.W.)外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。,1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试
12、,后即在该大学任讲师,1872年任副教授,1879年任教授。,康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。 康托尔认为,建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在18791884年发表的题为关于无穷线性点集论文6篇,其中5篇的内容大部分为点集论,而第5篇很长,此篇论述序关系,提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列,并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理(每一集合都能被良序),但未给出证明。 在1891年发表的集合论的一个根本问题里,他证明了一集合的
13、幂集的基数较原集合的基数大,由此可知,没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出,其后在1883年论文里说即将有一严格证明,但他始终未能给出。,在整数和实数两个不同的无穷集合之外,是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索,1877 说,“我见到了,但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦雷蒙和克罗内克都反对,而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系,而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J
14、.布劳威尔给出证明。,19世纪70年代许多数学家只承认,有穷事物的发展过程是无穷尽的,无穷只是潜在的,是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体,例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷,从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击,特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面,康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展,已成为数学的基础理论。 他的著作有:G.康托尔全集1卷及康托尔-戴德金通信集等。 康托尔是德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡,1918年1月6日病逝于哈雷。 康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年入柏林大学,主修数学,1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试,后在该大学任讲师,1872年任副教授,1879年任教授。 集合论是现代数学的基础,康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在,并对无穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较完善的集合理论,为现代数学的发展打下了坚实的基础。,