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1、多自由度系统的运动 微分方程,第二章：,2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程,3.用影响系数法建立系统的运动微分方程,第一讲：,第二章:多自由度系统的运动微分方程,建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述,1.多自由度系统运动微分方程的一般形式,建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述,回想单自由度系统运动微分方程的一般形式,多自由度系统运动微分方程的一般形式,Hamilton原理： 主要适用于连续系统,建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述,2.系统运动微分方程的建立方法,牛顿第二定律: 适用于自由度不多的离散系统或简单的连续系统,动量矩定理: 主要适用于自由度不多的离散
2、系统,影响系数法： 主要适用于自由度不多的离散系统,Lagrange方程法：主要适用于离散系统,有限单元法： 离散系统，连续系统都适用，是一种最通用的建模方法,返回,用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程,1.直角坐标形式的牛顿第二定律,列写运动方程时要选定一个正方向，计算各力在正方向的投影。,加速度的正负号是由合外力的正负决定的，因此在列写方程时只要用 或 或 表示就可以了。,1.总体思路,用影响系数法建立系统的运动微分方程,影响系数法,刚度影响系数 ：第 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时，需要在第 自由度处沿着位移方向施加的力。,用影响系数法建立系统的运动微分方程,2.刚度影响系数
3、,【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。,用影响系数法建立系统的运动微分方程,刚度矩阵：,用影响系数法建立系统的运动微分方程,柔度影响系数 ：第 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，在第 自由度上产生的位移。,用影响系数法建立系统的运动微分方程,3.柔度影响系数,【例】用影响系数法写出图示系统的柔度矩阵。,用影响系数法建立系统的运动微分方程,用影响系数法建立系统的运动微分方程,4.阻尼影响系数,阻尼影响系数 ：第 个自由度产生单位速度，其他自由度处的速度为零时，需要在第 自由度处施加的力。,质量影响系数 ：第 个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度为零时，需要在第 自由度处
4、施加的力。,用影响系数法建立系统的运动微分方程,5.质量影响系数,此系统用刚度法方便还是柔度法方便？,用影响系数法建立系统的运动微分方程,6.思考,能否对此系统实施柔度法？,刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了系统约束的数目，求解比较繁。,柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几乎不能实现。,如果系统具有刚体运动自由度，则柔度法失效，但刚度法却可奏效。所以刚度法的应用范围比柔度法要大。,用影响系数法建立系统的运动微分方程,7.小结,【课堂练习】求图示摆的柔度矩阵,用影响系数法建立系统的运动微分方程,用影响系数法建立系统的
5、运动微分方程,用影响系数法建立系统的运动微分方程,第二讲：,Lagrange方程的产生背景,2.利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程,3.课堂练习,第二章:多自由度系统的运动微分方程,Lagrange方程的产生背景,1.牛顿力学方程的缺陷,隔离体1的受力分析,隔离体2的受力分析,隔离体3的受力分析,刚体平面运动微分方程：（见理论力学，范钦珊主编）,Lagrange方程的产生背景,隔离体3的受力分析,Lagrange方程的产生背景,Lagrange方程的产生背景,隔离体的受力分析,Lagrange方程的产生背景,利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程,约束方程不包含质点的速度，
6、或者包含质点的速度，但约束方程是可以积分的约束称为完整约束。,约束方程包含质点的速度且不可积分的约束称为非完整约束。,唯一地确定质点系在空间的构型的独立坐标称为广义坐标。,系统不存在粘性阻尼时,系统存在粘性阻尼时,1.完整约束系统的Lagrange方程的具体形式,利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程,2.利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤, 判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标;, 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；,3. 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点,不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力, 是建立复杂离散系统运动微分方程
7、的首选方法；, 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.,即可用于线性系统，也可用于非线性系统。,利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程,4.【例题】,试求图示双摆系统的运动方程。,解：选取 和 为广义坐标,取 轴为重力势能零点，则系统的势能为,系统的动能为,利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程,利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程,由微振动假设,系统各个广义坐标和广义速度都可以看作是一阶小量,从而导出的微幅振动方程也将精确到一阶小量.利用拉格朗日方程求系统的运动微分方程时，系统的能量要对广义坐标求一阶导数，求导后精度将降低一阶，所以在计算动能和势
8、能的时候必须精确到二阶小量。方同著振动理论及应用,利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程,5.微振动假设下的注意事项,6.思考,在微振动假设下,在用Lagrange方程列写系统的运动微分方程时 有两种处理方式： 在计算动能和势能时就将其精确到二阶小量，然后代入Lagrange方程； 在计算动能和势能时不做任何处理，代入Lagrange方程后最后再化简（线性化）；,问：哪一种方式简便？ 为什么？,利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程,7.【例题】,在微振动假设下，试求图示双摆系统的运动方程。,系统的势能为,系统的动能为,利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程,耗散函数:
9、,势能:,利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程,8.耗散函数的计算,耗散函数：,试列出如下系统的耗散函数：,弹性势能：,利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程,返回,【例1】 建立图示系统的运动方程,解: 取 为广义坐标，则该系统的动、势能分别为：,课堂练习,非保守外力在虚位移上所做虚功之和,课堂练习,【例2】 建立图示系统的运动方程,取小车的绝对位移 和圆柱体的绝对位移 为广义坐标.,运动方程:,课堂练习,【例3】 在微振动假设下建立图示系统的运动方程,取小车的绝对位移 和摆的偏转角 为广义坐标.,课堂练习,求广义力:,课堂练习,让摆锤在水平方向产生一个虚位移 而 在此虚位移下所做的虚功为,运动方程:,课堂练习,
