《高中数学复习任意角和弧度制及任意角的三角函数人教版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学复习任意角和弧度制及任意角的三角函数人教版必修4（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、任意角和弧度制及任意角的三角函数,1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止时的射线OB叫做角的终边，按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角,2象限角 把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角,3.象限界角(即轴线角),注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，即为象限界角(或轴线角),4终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内
2、，可构成一个集合S|k360，kZ或S|2k，kZ，前者用角度制表示，后者用弧度制表示,注意：(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍 (2)一般地，终边相同的角或通式表达形式不唯一，如k18090(kZ)与k18090(kZ)都表示终边在y轴上的所有角 (3)应注意整数k为奇数、偶数的讨论,5弧度制 (1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度 (2)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.,6度与弧度的换算关系 周角的
3、为1度的角 即 周角1， 周角1rad 3602rad 180=rad,1= rad,1rad 5718.,7扇形的半径为R，弧长为l，(02)为圆心角 弧长lR，即弧长等于该弧所对的圆心角的弧度数乘以半径扇形面积S lR R2.,8在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做的正弦，记作sin，即siny； (2)x叫做的余弦，记作cos，即cosx； (3)y,x叫做的正切，记作tan，即tan (x0),9利用角终边上任意一点的坐标定义三角函数 设直角坐标系中任意大小的角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原
4、点的距离是r(r0)，那么任意角的三角函数的定义：,注意：要特别注意三角函数的定义域,10各象限角的三角函数值和符号如图所示,三角函数正值口诀：全正，正弦，正切，余弦,11终边相同的角的同一三角函数的值相等，即 sin(k2)sin cos(k2)cos (其中kZ) tan(k2)tan,12三角函数线 图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正切线,注意：当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的正切值不存在,考点陪练,1.已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的角，下列
5、四个命题：ABC，AC，CA，ACB，其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案：A,2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是( ),答案:B,答案:B,4.有下列命题: (1)终边相同的角的同名三角函数的值相等; (2)终边不同的角的同名三角函数的值不等; (3)若sin0,则是第一二象限的角; (4)若是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos=,其中正确的命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,解析:根据任意角三角函数的定义知(1)正确; 对(2),我们可举出反例 对(3),可指出 ,但 不是第一二象限的角; 对(4),因为是第二象限的角
6、,已有x0,应是cos= . 答案:A,5.若sin0,则是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:sin0,是第一三象限的角. 是第三象限的角. 答案:C,类型一 角的集合表示 解题准备:(1)任意角都可以表示成=+k360(0360,kZ). (2)并不是所有角都是某象限角,当角的终边落在坐标轴上时,它就不属于任何象限. (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360的整数倍. (4)注意“第一象限角”“锐角”“小于90的角”是范围不同的三类角,需加以区别.,【典例1】 (1)如果是第三象限角,那么-,2的终边
7、落在何处? (2)写出终边在直线 上的角的集合; (3)若角的终边与 角的终边相同,求在0,2)内终边与 角的终边相同的角. 分析 利用终边相同的角的集合进行求解.,解 (1)由是第三象限角得 +2k +2k(kZ) -2k-2k(kZ). 即 +2k-+2k(kZ). -的终边在第二象限; 由+2k +2k(kZ) 得2+4k23+4k(kZ). 角2的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.,(2)在(0,)内终边在直线 上的角是 终边在直线 上的角的集合为 |= +k,kZ. (3)= +2k(kZ), (kZ).,反思感悟 (1)利用终边相同的角的集合S=|=2k+,kZ判断一个角所在
8、的象限时,只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍,然后判断角所在的象限. (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.,类型二 扇形弧长,面积公式应用 解题准备:设扇形的弧长为l,圆心角大小为(弧度),半径为r,则l=|r;S扇形= |r2. 注意:这里给出的弧长扇形面积公式是在弧度制下的,使用时切记将圆心角用弧度来表示.,【典例2】 已知一扇形的中心角是,所在圆的半径为r. (1)若=60,r=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值c(c0),当为多少
9、弧度时,该扇形有最大面积?,当扇形圆心角为2弧度时,扇形面积有最大值.,类型三 三角函数的定义 解题准备:(1)任意角的三角函数值,只与角的终边位置有关,而与终边上的点的位置无关;(2)当点P的坐标中含字母时,表达r时要注意分类讨论思想的应用.,【典例3】 已知的终边经过点P(-4a,3a)(a0),求sincostan的值. 分析 根据任意角三角函数的定义,应首先求出点P到原点的距离r,由于含有参数a,要注意分类讨论.,反思感悟 (1)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论. (2)熟记几组常用的勾股数组,如(3,4,5),(5,12,13),(
10、7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,会给我们解题带来很多方便. (3)若角已经给定,不论点P选择在的终边上的什么位置,角的三角函数值都是确定的;另一方面,如果角终边上一点坐标已经确定,那么根据三角函数定义,角的三角函数值也都是确定的.,类型四 象限角与三角函数符号问题 解题准备:三角函数的符号如下表,正值口诀:全正正弦正切余弦.,【典例4】 (1)如果点P(sincos,2cos)位于第三象限,试判断角的终边所在的象限. (2)若是第二象限角,则 的符号是什么?,分析 (1)由点P所在的象限,知道sincos,2cos的符号,从而可求sin与cos的符号. (2)由是第
11、二象限角,可求cos,sin2的范围,进而把cos,sin2看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其所在的象限,从而sin(cos),cos(sin2)的符号可定.,解 (1)因为点P在第三象限, sincos0,cos0,故的终边在第二象限.,(2)因为是第二象限角, 所以cos0.故,反思感悟 此处要正确理解sin(cos)的含义,sin(cos)中,是把角的余弦值(一个实数)作为一个角的弧度数,求该角的正弦值,因此只需研究cos这个角的范围(所在象限)即可.,错源一 忽视表示区间角的不等式两端的大小关系 【典例1】 用集合表示终边在阴影部分的角的集合.,错解 由图可知,终边落在射线OA上
12、的角为2k+ (kZ),终边落在射线OB上的角为2k- (kZ).,所以终边落在图中阴影部分的集合为|2k+ 2k- ,kZ.,剖析 上面集合中的关于角的不等式是一个矛盾的不等式,左边的比右边的大.,正解 由图知,终边落在射线OA上的角为2k+ (kZ),终边落在射线OB上的角为2k+ (kZ).所以终边落在图中阴影部分的集合为|2k+ 2k+ ,kZ. 评析 利用终边相同的角的表达式表示区域角要把握两条原则:(1)按逆时针方向书写;(2)表示区域角的不等式两个端点值的差必须是终边落在两条边界射线(或直线)上的最小差值.,错源二 利用三角函数值符号判断角的位置时,忽视轴线角而致错,【典例2】
13、已知sin0,cos0,试确定终边的位置. 错解 由sin0知,终边在第一象限,或第二象限,或y轴的非负半轴上; 又由cos0知,终边在第一象限,或第四象限,或x轴的非负半轴上. 故终边在第一象限. 剖析 错解的解答中由sin0和cos0确定终边位置时,分别遗漏了x轴和y轴的情形,造成错误.,正解 由sin0知,终边在第一象限或第二象限,或x轴,或y轴的非负半轴上; 由cos0知,终边在第一象限或第四象限,或y轴,或x轴的非负半轴上. 故终边在第一象限,或x轴的非负半轴上,或y轴的非负半轴上.,技法一 等分单位圆 一单位圆的二四等分法 在单元圆中,当角=k+ 或=k (kR)(此时|sin|=
14、|cos|)时,其终边分单位圆为二四等份的情况如下图1图2.,表1:,【典例1】 在(0,2)内,使sincos成立的的取值范围为( ),解析 由图1和表1可知此题选B.,答案 B,二标象限法 在单位圆中,当角= (kZ)时,角的终边和坐标轴重合,其终边分单位圆为四个象限的情况如下图.,表2:,3.单位圆的八等分法在单位圆中,当= (kZ)时,其终边分单位圆为八等份的情况如上图.,表3:,特别地,当角终边与坐标轴重合时,sincos的值是1或-1.,【典例2】 若sin2cos2,则的取值范围是( ) A.|2k- 2k+ ,kZ B.|2k+ 2k+ ,kZ C.|k- k+ ,kZ D.|k+ k+ ,kZ,解析 sin2cos2|sin|cos|,由表1,角的终边在图2的区域1,3.故选D. 答案 D,4.结论分析举例 【典例3】 证明:当(2k+,2k+ )(kZ时),sin+cos 证明 如右图,根据三角函数的定义,在单位圆中, sin=MP,cos=OM, 在OPM中, |MP|+|OM|OP|, -MP-OM1,MP+OM-1.,
