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1、第七章 应力状态理论与强度理论,本章重点1、应力状态的概念2、如何建立一点处的应力状态3、平面应力状态分析4、广义胡克定律5、强度理论的概念6、四种主要强度理论及其应用,问题的提出：,铸铁,低碳钢,思考：塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁,低碳钢,思考：为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,圆轴扭转时:,横力弯曲的梁:,p,经过一点不同方位平面上的应力分布不同,7-1 应力状态的概念,一点处的应力状态：,受力构件内一点不同方位面上应力的集合,单元体：,边长为无穷小量的正立方体,（1）每个微面上应力分布可视作均匀； （2）任一对相互平行微面上的应力可视作相等。,轴向拉伸,扭转,梁的弯曲,
2、主平面（pincipal plane) ：剪应力为零的平面 主应力 (pincipal stress) ：主平面上的正应力 主方向(pincipal directions) ：主平面的法线方向,可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。,三个主应力用1 、 2 、 3表示，按代数值大小顺序排列，即 1 2 3,应力状态的分类,单向应力状态(Uniaxial Stress State)三个主应力中只有一个不等于零 二向应力状态（平面应力状态(Plane Stress State) ）两个主应力不等于零 三向应力状态（空间应力状态(Space Stress State) ）三
3、个主应力皆不等于零单向应力状态也称为简单应力状态二向和三向应力状态统称为复杂应力状态,实例一,圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内压力 p 作用,周向,轴向,径向,i,薄壁压力容器,实例二,实例三,圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内压 p 作用。,实例四,圆杆受扭转和拉伸共同作用,按工程应用传统观念，判断构件强度取决于危险点的应力状态。危险点是怎样达到破坏的呢？在什么方向最容易破坏呢？以下将从一点处应力状态分析中，找出哪个截面上有正应力极值，哪个截面上有剪应力极值，以此作出构件强度的判据。,7-2 平面应力状态分析,一、斜截面上的应力解析法,：拉应力为正 : 顺时针转动
4、为正 ：逆时针转动为正,平衡原理的应用微元局部的平衡方程,平衡对象用 斜截面截取的微元局部,平衡方程,t,注：三角公式,讨论：,应力不变量,剪应力互等,斜截面上的应力公式,斜截面上的正应力取极值条件,斜截面上的正应力取极值条件,可确定两个主平面,极值正应力为主应力,极值正应力：,极值正应力所在平面上剪应力等于多少？,零,您会计算极值剪应力吗？ 其所在平面与极值正应力所在平面有何关系？,二、斜截面上的应力图解法,应力圆 莫尔(Mohr)圆,根据已知单元体上的应力 x、 y 、x 画应力圆,利用应力圆求任意斜截面上的应力,三种对应关系,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微单元体上某一方向面的正应
5、力和切应力； 转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致； 二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。,点 面 对 应,A,转向对应、二倍角对应,C,应力圆的画法,在t-s坐标系中，标定 x、y 平面（A、D 面） 上 应力对应的点a和d,连ad交 s 轴于c点，c即为圆心，R为应力圆半径。,A,D,圆心坐标加/减半径即为,应力圆的应用信息源,思维分析的工具 不是计算工具,例1、请您用解析法与图解法求图示单元体 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)极值剪应力值。,单位：MPa,解：(一) 解析法:,x、y平面剪应力共同所指象限为正应力极
6、大值所在象限,(二) 图解法:作应力圆，从应力圆上可量出：,例2、讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。,铸铁,低碳钢,低碳钢,铸铁,解：,例3、A点处应力如图(单位:MPa),试用图解法确定该点处的主应力及所在截面方位。,量得:1=70MPa, 2=10MPa, 3=0,量得:20=47, 0=23.5,7-3 空间应力状态分析,主单元体：六个平面都是主平面,首先分析平行于主应力之一（例如3 ）的各斜截面上的应力。,3对斜截面上的应力没有影响。这些斜截面上的应力对应于由主应力 1和 2所画的应力圆圆周上各点的坐标。,若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:,同理，
7、在平行于 2的各个斜截面上，其应力对应于由主应力 1和 3所画的应力圆圆周上各点的坐标。,在平行于 1的各个斜截面上，其应力对应于由主应力 2和 3所画的应力圆圆周上各点的坐标。,这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。,与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力n和n可由图中阴影面内某点的坐标来表示。,n,在三向应力状态情况下：,max 作用在与2平行且与1和3的方向成 45角的平面上.,例4、单元体各面上的应力如图所示，试求主应力值和最大切应力值。,解：由图知，z平面是一主平面， z 为主应力，另外二主应力与 z无
8、关，,将主应力大小排序为：,最大切应力为：,例5、求图示应力状态的主应力和最大 剪应力（应力单位为MPa）。,解：,例6、求图示应力状态的主应力和 最大剪应力（应力单位MPa）。,解：,50,50,纯剪切应力状态:,练习1：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。,解：,7-4 广义胡克定律,主要讨论各向同性材料的广义胡克定律,可以证明单元体沿坐标轴方向的线应变只与正应力有关，而坐标轴之间的剪应变只与剪应力有关。,在线弹性范围和小变形条件下，可分别考虑单元体上各应力分量单独作用时的应变，再应用叠加原理，即得各应力分量同时作用时的应力应变关系。,：横向变形系数（泊松比）,广义胡克
9、定律,三向应力状态下的主应变和主应力关系,对于二向应力状态：,例7、图示一边长为 a =200mm 的正方体混凝土块，无空隙地放在刚性凹座内，上表面受压力 P =300kN 的作用，已知混凝土的泊松比 =1/6，试求凹座壁上所受的压力。,解：,刚性凹座是不变形的,由受力的对称性知,解上述方程，得,壁所受压力为：,（压力）,（压力）,例8、图示矩形截面拉杆，截面宽为b，高h，材料的弹性常数E、已知。在拉杆表面的图示位置有直角ABC，试求杆受拉力F后线段BC以及直角ABC的改变量。,解：拉杆各点处于单向应力状态， x=F/bh，,由广义胡克定律，BC方向的线应变为：,由应力转换关系有：,BC段的伸
10、长量为：,而直角ABC的改变量就是切应变30o，由Hooke定律有：,7-5 空间应力状态下的比能,物体受外力作用而产生弹性变形时，在物体内部所储存的能量，称为弹性应变能，简称为应变能。,单位体积的应变能称为应变能密度。,应变能密度：,一般情况下，单元体将同时发生体积改变和形状改变。因此，应变能密度可相应分成两部分：体积改变能密度和畸变能密度。,体积改变能密度：,单位体积的体积变化率（体应变）：,畸变能密度（形状改变能密度）：,7-6 强度理论,轴向拉压、弯曲正应力,扭转、弯曲剪应力,一、强度理论的概念,铸铁和低碳钢的扭转破坏说明： 相同的受力方式，材料不同破坏方式不同。,没有考虑材料失效的原
11、因； 没有考虑应力状态。,材料的破坏方式与材料性能有关。,单参数强度条件的局限性：,在复杂应力状态下，材料破坏不仅与各个主应力（含大小和方向）有关，而且和它们之间的比值也有关，不同的主应力组合，对应不同的破坏应力，为此，必须测出在不同主应力比值下的破坏应力，实际上，工程中的受力构件其主应力组合有无限多种，无法一一进行实验。,在相同的应力状态下，进行比较。,到目前为止，实现复杂应力状态的试验机及测试手段仅有有限的几种，对于众多的主应力组合，在技术上难以实现。,需要建立建立一个理论来指导生产实践，即强度理论。,材料破坏的形式,脆性断裂,塑性屈服,断裂面为主应力作用面的拉断。,断裂面为主切应力作用面
12、的剪断。,当危险点处于简单应力状态时的强度条件,当危险点处于复杂应力状态时的强度条件,假设,强度理论,1、脆性断裂破坏；,2、塑性屈服破坏。,无论是简单或复杂应力状态，引起失效的因素是相同的。,利用强度理论可由简单的应力状态的实验结果，建立复杂应力状态的强度条件。,材料失效的原因是应力、应变和变形能等诸因素中的某一因素引起的。,强度理论在不断发展!,二、常用的四种强度理论,材料破坏的基本形式有两种：脆断、屈服， 相应地，强度理论也可分为两类：一类是关于脆性断裂的强度理论；一类是关于塑性屈服的强度理论。,1、最大拉应力理论（第一强度理论）,假定：无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的主应力1
13、 达到单向拉伸断裂时的极限应力u，材料即破坏。在单向拉伸时，极限应力 u =b失效条件可写为 1 b,第一强度理论强度条件：,（一）、关于脆断的强度理论,第一强度理论最大拉应力理论,试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。,2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）,假定：无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点的最大伸长线应变1达到单向拉伸断裂时应变的极限值 u，材料即破坏。发生脆性断
14、裂的条件是 1 u若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工作，则,由此导出失效条件的应力表达式为：,第二强度理论强度条件：,适用条件：材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内,煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。,不足之处：,三向拉好于双向拉,双向拉好于单向拉,?,混凝土压缩,(二)、关于屈服的强度理论,1、最大剪应力理论（第三强度理论）假定：无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的最大剪应力max达到单向拉伸屈服剪应力S时，材料就在该处出现明显塑性变形或屈服。,屈服破坏条件是：,用应力表示
15、的屈服破坏条件：,第三强度理论强度条件：,第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力2的影响，其带来的最大误差不超过15，而在大多数情况下远比此为小。,最大剪应力理论,破 坏 条 件,强度条件,2、形状改变能密度理论(第四强度理论) （畸变能密度）,假定：复杂应力状态下材料的形状改变能密度达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变能密度时，材料即会发生屈服。,屈服破坏条件是：,单向拉伸时：,屈服破坏条件是：,第四强度理论强度条件：,这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。,形状改变能密度理论,四个强度理论的强度条件可写成统一形式：,称为相当应力,一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。,影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。,
