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1、-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 三角形的知识点-三角形三条中线的交点三角形三条高线交于一点的证明？三角形三条高线交于一点的证明？证法一：运用同一法证三条高两 两相交的交点是同一点。已知：ABC 的两条高 BE、CF 相交于点 O，第三条高 AD 交高 BD 于 点 Q，交高 CF 于点 P。求证：P、Q、O 三点重合证明：如图，BEAC，CFABAEB = AFC = 90 又-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 BAE = CAF ABE ACF ABAE， ACAFFAEB即 ABAF = ACAE 又ADBCAEQ ADC，AFP ADB
2、 AFAPAEAD， ADABADAQDC即 ACAE = ADAQ，ABAF = ADAPABAF = ACAE，ACAE = ADAQ，ABAF = ADAP ADAQ = ADAP AQ = AP-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 点 Q、P 都在线段 AD 上 点 Q、P 重合AD 与 BE、AD 与 CF 交于同一点 两条不平行的直线只有一个交 点 BE 与 CF 也交于此点 点 Q、P、O 重合。证法二：连结一顶点和两高交点 的线垂直于第三边，用四点共圆性质。已知：ABC 的两条高 AD、BE 相交于点 O，第三条高 CF 交高 AB 于 点 F，连结 CO
3、 交 AB 于点 F。求证：CFAB。证明:ADBC 于 E，BEAC 于 EA、B、D、E 四点共圆 1ABE 同理21DCA2ABE-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 ABE+BAC90， 2+BAC90 即 CFAB。注：证法一和证法二是证明共点 线的常用方法。证法三：证两条高的交点在第三 条高线上，建立直角坐标系运用代数方 法证明。证明：如图 6，以直线 BC 为 x 轴，高 AD 为 y 轴，建立直角坐标系， 设 A(0 ,a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线 垂直的条件kBE1kACc1b,kCF akABa则三条高的直线方程分别为：
4、AD：x0cBE：y(xb)-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 abCF：y(xc)aca(1)(2) (3)ba解和得(xb)(xc),(bc)x0bc(b0,c0)x0这说明 BE 和 CF 得交点在 AD 上，所以三角形的三条高相交于一点。注：有时候考虑直角坐标系这一 有力的数形结合工具可以有效地解决问 题。证法四：转化为证明另一个三角 形的三条中垂线交于一点。已知：AD、BE、CF 是ABC 的 三条高。 求证：AD、BE、CF 相交于 一点。证明：过点 A、B、C 分别作 BC、AC、AB 的平行线 ML、MN、NL -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料
5、-感谢阅读- 6 AMBC，MBAC 四边形 AMBC 是平行四边形 AMBC 同理，ALBC AMAL ADMLAD 是 ML 的垂直平分线同理，BE、CF 分别是 MN、NL 的垂直平分线 而三角形的三条垂直平 分线相交于一点AD、BE、CF 相交于一点。注：三角形的三条中线相交于一 点，这事实学生容易理解，也不难证明， 把证明三角形的三条垂线相交于一点的 问题转化为另一三角形的三条中线相交 于一点，这种化陌生为熟悉、化难为易 的转化方法必须让学生理解掌握。NBAF-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 ELDC证法五：运用锡瓦定理证明。已知：AD、BE、CF 是ABC
6、 的 三条高。 求证：AD、BE、CF 相交于 一点。证明：如图，ADBC 于 E，BEAC 于 EABD CBF BDAB BFCBBFAEODC同理，由ADC BEC 得-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 CECB， CDCA由AFC AEBAFAC AEABBDCEAFABCBAC1 三式相乘得BFCDAECBCAABBDCEAF1 即DCEAFBAD、BE、CF 相交于一点。注：锡瓦定理是证明共点线的有 力工具，虽然中学不作要求，但对于学 有余力的学生不妨引导他们自己研究， 激发他们的学习兴趣。锡瓦定理可以用梅涅劳定理证明， 而梅涅劳定理可以由平行线分线段成比
7、例定理轻松得到。在适当情况下适当的 启发有利于学生思维的扩散，有利于培 养学生的创新能力。垂心是三角形三条 高的交点垂心是三角形三条高的交点 内-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 心是三角形三条内角平分线的交点 重 心是三角形三条中线的交点 外心是三 角形三条边的垂直平分线的交点即外接圆的圆心 即内接圆的圆 心旁心,是三角形两条外角平分线和 一条内角平分线的交点正三角形中,中心和重心,垂心,内 心,外心重合!垂心定理：三角形的三条高交于 一点。该点叫做三角形的垂心 内心定 理：三角形的三内角平分线交于一点。 该点叫做三角形的内心。 旁心定理： 三角形一内角平分线和另外两
8、顶点处的 外角平分线交于一点。 该点叫做三角 形的 旁心。三角形有三个旁心。 重心 定理：三角形的三条中线交于一点，这 点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。该 点叫做三角形的重心。 外心 定理：三角形的三边的垂直平分线交于 一点。该点叫做三角形的外心。三角形 中线一条性质的探究-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 三角形中线一条性质的探究、应 用与拓展2016-01-03 17:18:50| 分类： | 标签： |字号大中小 订阅性质：平行于三角形一边的直线 被另两边所截得的线段被这边上的中线 平分。如图，ABC 中，AD 平分 BC，EFBC，求证：AD 平分 EF.证明：EFBCEGBD=AGAD；FGCD=AGADEGBD= FGCDBD=CDEG = FG.结论得证.我们不妨将该结论称为 “三角形中线性质定理”.-精选财经经济类资料-
